優化“分與合”數學解題策略

趙寧

【摘要】本文論述優化“分與合”的數學解題策略，引導學生在筆算乘法運算法則中，感受“先分后合”的數學轉化思想、理解算法、優化計算方法;利用分與合數學解題策略解決平面圖形中的復雜問題，為學習高階數理化知識做鋪墊。

【關鍵詞】數學思想 分與合 建構模型

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0139-03

數學解題策略是人們為實現數學解題目標而確定的具體方法，是更重要、更高級的思維能力。和其他事物一樣，數學解題策略有著內在的規律性。在小學階段，數學教學的根本任務是提高學生的綜合素養，而教師指導學生掌握一些數學解題策略，則能幫助學生提高分析問題、解決問題的能力。以下，筆者就如何培養學生學會用“分與合”的數學解題策略去分析數學問題，談談具體的策略。

一、探究筆算乘法的運算法則

（一）口算中體現“先分后合”，感受轉化的數學思想

人教版四年級上冊教材中，第四單元《三位數乘兩位數》例1充分運用了分與合的數學解題策略，教師要利用好教材，引導學生熟悉這一數學解題方式。

例1.李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該城市到北京有多少千米？

在學生正確列式“145×12=? ?”后，筆者先讓學生進行口算。學生經過思考，得出：

把12分成10和2。

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

學生口算的過程就是一種解題策略——先分后合，即把12分成10和2，分別去乘三位數145，然后把兩次乘得的積合起來，得出問題的答案。運用這種策略，也是實施了轉化的數學思想，把新知識轉化為舊知識，易于學生理解和吸收。

學生在口算過程中體驗到了“先分后合”方式給解決問題帶來的便利，從中體會到了成功的快樂。

（二）筆算中學習“先分后合”，理解算理、掌握算法

筆者引導學生進行三位數乘兩位數的筆算方法自主探究，目的是讓他們充分利用已有的知識經驗（兩位數乘兩位數）探求新知。雖然大部分學生都能夠正確計算出得數，但也要讓他們在理解的基礎上進行方法內化。

總結三位數乘兩位數筆算的方法是本節課教學的重點，也是難點，教師要讓學生充分地理解與掌握。對此，可以適時提問：145×12你是怎樣筆算的？

學生答：相同數位要對齊，從個位乘起，先用兩位數12中個位上的2去乘145，得出290個一，得數的末位要與因數的個位對齊;再用兩位數12中十位上的1去乘145，得出145個十，得數的末位要與因數的十位對齊;最后把兩次乘得的積加在一起。

根據學生的回答，筆者適時總結：145×12在筆算時，把12分成2和10，也就是把12小時分成了2小時和10小時。先用兩位數中個位上的2去乘145，計算出火車2小時的路程;再用兩位數中十位上的1去乘145，計算出火車10小時的路程;最后把兩次乘得的積合起來，算出火車12小時的路程?？梢?，乘法筆算的過程體現了“先分后合”的數學解題策略。

（三）學會“先分后合”，優化計算方法

“先分后合”數學解題策略的運用為學生解決了數學計算的難題。有的學生在列豎式時，把兩位數放在上面、三位數放在下面，發現了把145分成5、40和100時，分得的數多了一個，計算的步驟也多出一步，這樣計算起來比較麻煩。由此得出：將位數少的那個數作為要分的數，計算起來步驟少且簡便?？梢?，“分與合”也能優化算法，使學生少走“彎路”。

（四）感受“先分后合”，體驗數學的內在聯系

筆者接下來讓學生觀察兩組算式并進行比較。一組是三位數乘兩位數的口算與筆算;一組是兩位數乘兩位數與三位數乘兩位數的筆算。學生通過仔細對比發現：三位數乘兩位數的口算與筆算，都是把12小時分成2小時和10小時，分別去乘三位數，然后把兩次乘得的積合起來，即運用了“先分后合”的解題策略。

第一組：? ? ? （口算）? ? ? ?（筆算）

把12分成10和2

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

第二組：? ?（兩位數乘兩位數）? （三位數乘兩位數）

兩位數乘兩位數與三位數乘兩位數的筆算時，也是把第二個因數分成幾個一和幾個十，分別去乘第一個因數，然后把兩次乘得的積合起來，還是運用了先分后合的數學解題策略。學生通過觀察兩組算式的特點，解釋了科學計算的合理性，解題時有規律可循、有方法可依。

（五）運用“先分后合”，建構數學模型

利用好分與合的數學解題策略，就可以讓學生學一道題、解決一類題。如：1145×12，學生自然迎刃而解：把12分成2和10，先用2去乘1145，再用10去乘1145，最后把兩次乘得的積加起來。筆者再出示題目：11145×12，學生很快說出了方法。學生在“解決具體問題—抽象出數學模型—解釋并說明模型—用模型解決問題”這一系列的數學活動中，建立初步的模型化數學思想方法。一旦學生的數學模型思維建立起來，這類題目的框架就會根植學生的腦海中。

（六）學習格子乘法，深化“先分后合”

課的結尾，筆者引導學生觀看15世紀意大利的一本算術書介紹的“格子乘法”，如下圖所示。

格子乘法，顧名思義，是用方格進行乘法計算。如果是兩位數乘兩位數就打2×2的格子，如果是三位數乘兩位數就打3×2的格子，以此類推。把因數分別寫在格子的上方和右側，使格子和數字對齊。先用最高位上的兩個數字相乘，得數分別寫在第一格的左上角和右下角;再用第一個因數最高位上的數和第二個因數次高位上的數相乘，得數分別寫在第二格的左上角和右下角，依次算下去;最后把格子左斜線上的數加起來，寫在格子的左邊和下邊，依次把數字連在一起，就是乘得的積。

學生通過看視頻感受到了格子乘法的奇妙，也發現意大利的格子乘法與我們本節課學習的筆算一樣，都體現了先分后合的解題策略?！跋确趾蠛稀钡臄祵W解題策略有規律可循，學生在解題過程中明白了筆算三位數乘兩位數每一個步驟的意義，理解了算理，又掌握了算法，從中形成了合理、靈活的計算能力，而且培養了學生的數感、分析綜合能力及推理能力。

二、解決平面圖形中的復雜問題

（一）數一數，下圖中有幾條線段

剛開始接觸這樣的題目時，學生都感覺無從下手，被這個四邊形中復雜的端點所迷惑。首先，筆者先幫助學生梳理思路、看懂圖意，明確線段的特征是有2個端點，兩點之間就有一條線段。其次，把這個四邊形分成幾大塊，學生通過觀察發現，可以將四邊形分成三部分：第一部分是四邊形的四條邊，第二部分是四邊形中的一條對角線，第三部分是四邊形中的另一條對角線。這樣就是把四邊形分成6條線段，這個四邊形的四條邊都有一個共同的特點，就是有3個端點，每條邊有幾條線段，可以列式為2+1=3（條），共有四條邊，那就是3×4=12（條）。再看其中一條對角線，上面有四個端點，這條對角線上的線段可以列式為3+2+1=6（條）。學生馬上掌握了規律，把四邊形的每條邊和對角線都看作一條獨立的線段，有助于分析問題和解決問題。另一條對角線上面有五個端點，列式為4+3+2+1=10（條）。最后，把三部分中的得數加起來：12+6+10=28（條）。

通過這道題，學生明白了做這類題型的時候，要把多邊形拆分成獨立的線段，然后逐一計算出每條邊上的線段總數，最后把所有的線段數合在一起就得出了答案。這里也用到了重要的數學解題策略——先分后合。在平面幾何中，運用“先分后合”的解題策略可以化難為易、化繁為簡，把復雜的知識簡單化。學生在解決問題的過程中體驗到了成功的樂趣，有助于培養學生學習數學的興趣，提高其數形結合的解題能力。

（二）求下列圖形中陰影部分的面積

這是一個組合圖形，求組合圖形的面積可以用分割法，就是把一個組合圖形根據它的特征和已知條件，分割成幾個簡單的規則圖形，分別算出各個圖形的面積，再求出它們的面積的和。從圖中我們可以看到，可以把這個組合圖形分割成1個正方形和2個長方形，分別算出它們的面積。

正方形的面積：3×3=9cm2

小長方形的面積：（9-3）×（9-3-3）=18cm2

大長方形的面積：9×3=27cm2

組合圖形的面積：9+18+27=54cm2

由這類題型可知，分割法是求不規則圖形的重要方法，恰當的分割能夠讓復雜的題目迅速得解，而分割的宗旨就是先分成規則圖形，再把面積合在一起，體現“先分后合”的數學解題策略。

三、為學習高階的數理化知識做鋪墊

在小學階段，“湊十法”“乘法分配律”等數學方法，都暗含著“先分后合”的策略;而在初中階段，“拆分”與“合并”在代數式化簡中至關重要;到了高中階段，學生將要學習牛頓力學中的平拋運動等。由此，小學階段的知識是基礎，學生只有打好“地基”，才能牢固“上層建筑”。從小學一年級起，數學教材就出現了“分與合”，主要是以數的組成呈現的，比如：10可以分成1和9，1和9組成10?！胺峙c合”是重要基石，學生初步明確幾個數之間的關系，利用好“分與合”為后面學習加減法做好了充分的準備，體現了整體與部分之間最基本的關系。

“分與合”是數學思想的起步階段，學好了這種數學思想方法，學生的思維能力會得到有效提升。教師在教學中滲透數學思想方法，能夠系統整合學生的綜合能力，使學生在學習中帶著數學的眼光去觀察、帶著數學思維去思考問題、用數學語言去交流總結，并在頭腦中形成數學模型，為學習其他數學知識奠基，讓學生終生受益。

（責編 楊 春）