“可視化”教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維看得見

劉樹娜

摘要：理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標，因此通過可視化把原本不可見的思維結(jié)構(gòu)及規(guī)律、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維看得見。本文從三個角度談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視化：可視化問題，促進思維參與;可視化操作，展現(xiàn)思維過程;可視化解題，還原思維路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;可視化;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-033

所謂思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見的思維結(jié)構(gòu)及規(guī)律、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程[1]。目前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在思維缺失化、淺顯化、低效化的問題，不少教師把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維簡單地等同于課堂提問、歸納總結(jié)、題目練習(xí)。針對上述問題，筆者認為通過精心提問和運用信息技術(shù)等途徑實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維“可視化”。

一、“可視化”問題，促進思維參與

案例1 新人教A版第一冊《誘導(dǎo)公式》公式二的探究

師：前面我們利用單位圓的幾何性質(zhì)研究了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系。我們知道，圓最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性也是函數(shù)的重要性質(zhì)。那么，我們能否利用圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性呢？

如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1。

問題1：在單位圓上，點P1有哪些特殊的對稱點？

生1：關(guān)于原點的對稱點、關(guān)于坐標軸的對稱點

師：我們以單位圓上的點關(guān)于原點對稱為例研究三角函數(shù)的對稱性。

問題2：角α的終邊OP1與角β的終邊OP2的對稱關(guān)系？

生2：兩個角的終邊關(guān)于原點中心對稱

問題3：以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？

生3：β=π+α

師：以O(shè)P2為終邊的角只有一個角π+α嗎？

生3：不是，有無數(shù)個

師：好，這無數(shù)個角的終邊都與角π+α的終邊相同，那么怎么用數(shù)學(xué)符號表示呢？

生3：β=2kπ+（π+α）（k∈Z）

問題4：角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

生4：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，只需要探究角π+α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系就可以

師：很好！那怎么探究這兩個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系呢？

生5：三角函數(shù)值由它的終邊與單位圓的交點坐標唯一確定，只需要探究交點坐標間的關(guān)系。

問題5：點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）坐標之間的關(guān)系？

生6：兩個點橫坐標互為相反數(shù)、縱坐標也互為相反數(shù)

師：如何用數(shù)學(xué)符號表示？

生6：x2=-x1，y2=-y1

問題6：那終邊關(guān)于原點中心對稱的角的三角函數(shù)值的關(guān)系如何？

問題7：在公式二的探究過程中，任意角α的終邊落在了第一象限，如果角α的終邊落在其他象限或坐標軸上，我們得到的三角函數(shù)值之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？

生7：終邊的位置發(fā)生變化，但終邊與單位圓的交點的對稱關(guān)系不變。

師：我們一起通過幾何畫板動態(tài)演示來驗證結(jié)論

問題8：一起總結(jié)歸納公式二的探究思路

生（眾）：圓的對稱性→終邊的對稱關(guān)系→角與角的關(guān)系→坐標間的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系

設(shè)計意圖：誘導(dǎo)公式二的探究過程，學(xué)生經(jīng)歷了思維參與的三個階段：思維的“起點”，思維的“路徑”和思維的“終點”。思維的“起點”（問題1、2）是學(xué)生利用單位圓研究了三角函數(shù)的定義和終邊相同的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，同時也利用單位圓得到了同角三角函數(shù)值之間的關(guān)系。思維的“路徑”（問題3、4、5、6）是以四個問題為載體，學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷：角與角的關(guān)系→坐標間的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系，充分體驗了知識的生成過程，同時通過問題的設(shè)置將學(xué)生的點狀的零散思維進行了聚焦，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維可視化，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。思維的“終點”（問題7、8）是對誘導(dǎo)公式二中角α的任意性的進一步認識以及將探究的思路歸納總結(jié)，借助幾何畫板直觀演示，實現(xiàn)從靜態(tài)單一思維到動態(tài)辯證思維，從結(jié)果思維到過程思維，讓學(xué)生的思維走得更深、更遠。

二、“可視化”操作，展現(xiàn)思維過程

案例2 橢圓離心率e=ca的探究過程

（1）將細繩的兩端點固定在焦點處，用鉛筆筆尖拉緊繩子，在平面上畫一個橢圓，然后調(diào)整繩子的長度（分別加長、縮短），觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律;

（2）細繩的長度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓“扁”的程度的變化規(guī)律。

師：請大家分組操作后，由小組代表和同學(xué)們分享交流。

組1：當焦點固定即2c確定時，2a的值越小，橢圓越“扁”。

組2：當繩長固定即2a確定時，2c的值越大，橢圓越“扁”。

師：用什么樣的量刻畫橢圓“扁”的程度呢？

生：這個量與2a成反比;與2c成正比，所以猜想可以用2c2a即ca這個量來刻畫橢圓“扁”的程度。

教師用“幾何畫板”動態(tài)直觀演示，ca越大（接近于1），橢圓越扁;ca越?。ń咏?），橢圓越圓。

師：焦距與長軸長的比ca叫作橢圓的離心率，記為e。

設(shè)計意圖：用2c2a來刻畫橢圓的“扁”的程度，對學(xué)生來講過于抽象，既沒有理性認識又沒有直觀感受。因此，通過“可視化”探究操作，學(xué)生手腦協(xié)同、做思共生，在實際動手操作中觀察、發(fā)現(xiàn)，改變2c和2a的值可以改變橢圓的“扁”的程度，直觀的操作讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維觸手可及、有跡可循，將抽象的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的、動態(tài)的操作。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自然會提出問題：到底用什么樣的量刻畫橢圓“扁”的程度呢？此時借助“幾何畫板”軟件動態(tài)操作，讓學(xué)生看見不可見。

三、“可視化”導(dǎo)圖，還原思維路徑

案例3 解析幾何的綜合問題的可視化解題分析

在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，M是PC的中點，求證：DM⊥平面PBC。

設(shè)計意圖：本例中，證明DM⊥平面PDC的目標直線是DM，在證明DM⊥BC時，目標直線又轉(zhuǎn)化為BC，那么接下來的證明方向清晰明確，即證明BC垂直于DM所在的平面，有這一目標后就可以結(jié)合已知條件尋找與BC垂直的兩條相交直線。在證明BC⊥PC時的思維軌跡和方法和上述過程一樣進行目標直線的轉(zhuǎn)化。借助可視化的思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生將零散的已知條件和已證結(jié)論形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，將思考程序呈現(xiàn)出來，使得思路更加清晰。在此過程中，提高了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象能力。

綜上所述，“可視化”教學(xué)是符合學(xué)生認知規(guī)律的一種教學(xué)方式，學(xué)生通過“可視化”的學(xué)習(xí)可以將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、公式規(guī)律等直觀表征出來，實現(xiàn)零散知識系統(tǒng)化、隱性知識顯性化、解題規(guī)律模型化，進而提高學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象能力。

參考文獻：

[1]劉濯源.當學(xué)習(xí)力遇到思維可視化——基于思維可視化的中小學(xué)學(xué)習(xí)力發(fā)展策略[J].基礎(chǔ)教育參考，2014.

（作者單位：無錫市堰橋高級中學(xué)，江蘇 無錫214000）