芻議模型思想在數學教學中的滲透

周伊雁

【摘 要】模型思想在數學教學中無處不在。以“植樹問題”的教學為例，在教學中一步步地通過感知模型、構建模型、應用模型這三個階段來滲透數學模型思想，培養學生的數學素養。

【關鍵詞】小學數學 模型思想 植樹問題

模型思想是數學課程標準里十個核心概念中唯一以“思想”指稱的概念，也是三種基本數學思想之一，它是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，這一定位充分體現了模型思想本身的重要地位，更顯示了它在數學學習中的重要性。因而，數學課程標準明確指出“在數學課程中，要注重發展學生的模型思想。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義”。數學教學中應有意識地滲透學生的模型思想，培養學生從實際問題中提煉出數學信息的能力，幫助學生建立數學模型，找到解決問題的方法，并運用方法解決生活中的實際問題。

“植樹問題”是五年級上冊“數學廣角”的教學內容，也是小學數學教材中滲透學生模型思想的重要素材。通過對“植樹問題”這一典型情境的學習，建立數學模型幫助學生將來應用到其他同類模型的實際問題中去，觸類旁通，舉一反三。教材通過對兩端都種、兩端都不種和一端種一端不種三種情境的比較，對間距、間隔數、種植棵樹等幾個關鍵概念的理解，引導學生從具體的生活問題中抽象出數學信息，了解這類數學問題的基本特征，感知數學問題模型;并通過比較、分析，發現它們之間的變化規律，逐步得出解決這種數學問題的基本模型，提高學生的數學思維水平。

一、在情境中感知模型，培養建模意識

數學源于生活，又應用于生活。良好的情境能夠引起學生討論的興趣，使學生帶著飽滿的激情參與到課堂探索中來。植樹問題的數學情境在學生的生活中比比皆是，從學生喜聞樂見的生活中提取素材，讓學生在解決問題的過程中發現規律，自主建模。由此展開教學，才能讓學生深刻感受到建模思想的重要性，從而培養學生的建模意識。

師（課件出示學校操場旁的花壇）：為了綠化校園，學校要在一條20米長的操場旁種樹。每隔5米種一棵，要種多少棵？

生1：4棵。

生2（哈哈大笑）：錯了，應該是5棵。

師：哪種是對的？4棵？5棵？大膽地猜想一下，有沒有3棵的？

師：種的棵數跟哪些信息有關？

生1：與全長有關。

生2：跟每隔幾米種一棵有關。

師：數學上把它稱為間距，表示每兩棵樹之間的距離。同樣的總長度，同樣的間距，為什么棵數不同呢？

滲透模型思想首先要培養學生初步的模型意識。面對生活中的實際問題，能剝離其非數學信息，抽象出數學問題結構及特征，初步感知并建立模型，是學生解決數學問題的前提。“植樹問題”是相對獨立的專題性知識，特征明顯，模型清晰，學生自主建模難度不大。教材的編排順序是先基本再變式，充分考慮了學生的知識基礎、認知結構以及數學學習能力，由易到難，螺旋上升。針對如何讓數學問題更接近學生的“最近發展區”，讓每個學生學習“自己的數學”并順利建構這一問題，課例選擇了整體呈現，將三種情境通過一個常見的、開放式的生活問題，引導學生自主抽象出數學信息，發現“棵數”都是與“總長度”“間距”等有關，從而初步感知“植樹問題”的整體模型，猜想“同樣的長度、同樣的間距為什么種植的棵數不同？”初步感知植樹問題的三種基本模型。

二、在自主探究中構建模型，掌握建模方法

在教學中，為學生提供豐富的探究材料，讓他們主動地參與到課堂教學中，經歷操作、觀察、對比、發現等數學過程。在探究活動中，啟發學生發現問題和提出問題，由淺入深，由外到內，引導學生及時地對信息進行加工與整理，最后進行判斷與歸納，逐步將數學問題模型化。這樣才能讓知識在頭腦中完整地構建，建模思想也不斷得到滲透。

師：在一條長20米的小路上，每隔5米種一棵，要種多少棵？請你當一個小小設計師，用自己喜歡的辦法設計出植樹方案，完成后可以與你的同桌交流。

生1：我是這樣想的，用畫圖的方法，20里面有4個5，發現要種5棵樹。

生2：我也認為是5棵，但我是用算式來計算的：20÷5=4（個），4+1=5（棵）。

生3：每隔5米種一棵，一個間隔對應一棵樹，發現有4個間隔，4棵樹，最后還多了一棵樹，所以還要再加1。

數學課程標準指出，不同的學生學習不同的數學，不同的學生在數學上得到不同的發展。面對同樣的數學問題，引導學生用不同的方法來解決問題，如擺一擺、畫一畫、算一算等，充分暴露學生的思維過程，這也是學生真實的課堂生成。荷蘭數學家弗賴登塔爾說過：學習數學的唯一正確方法就是“實行再創造”，也就是由學生把要學的東西自己發現或創造出來。學生不同的解決方法，都是基于對問題模型的初步感知，教師的任務就是順應學生的思路“往下走”，幫助他們進一步順利建構模型。

師：這幾個同學真了不起！不但得數統一，而且想法各不相同！他們長大了不但能當設計師，還能當數學家！在這么多種方法里，你更喜歡哪一種呢？為什么？

生1：我喜歡第一種。這種方法比較簡單，一看就知道。

生2：我喜歡第二種。因為第一種方法太麻煩了，還要畫圖，第二種算一下就好了，比較簡單。

師：你覺得算簡單，他覺得畫一下也很簡單，是不是？有沒有選擇第三種的？

生3：第三種也要畫，也麻煩。

生4：我也認為第二種比較好。這里是20米，如果是100米呢？難道你也畫？

師（把目光轉向生1）：你有什么想說的？如果100米呢？1000米呢？你還能畫嗎？（生1 不語）

生5：我認為兩種方法都好。當數量大的時候，畫的方法比較麻煩;但是數量小的時候，比如10米長，那畫一畫的方法更簡單。

師：你還會根據不同的數據特點，選用不同的方法，更合理，更簡便，真棒！那么算式最后的“+1”表示什么？

生6：表示從頭到尾的最后一棵樹或者從尾到頭的第一棵樹。這里的每一段都表示一棵樹，所以最后剩下一棵樹。

生7：因為兩端都種，棵數要比間隔數多1。

在用不同的方法解決數學問題時，教師適時引導學生比一比：你更喜歡哪一種方法？為什么？從而引導學生用解決數學的一般方法——列式計算。算法優化的過程，實際也是一種數學歸納的過程，由直觀到抽象，由千變萬化的情境歸納到統一的數學模型中去，引導學生在解決問題的過程中感受建模的意義，并在一步步的探究中掌握構建模型的基本方法。

然后教師話鋒一轉，引導到了教學關鍵之處：怎樣理解“+1”？這是本課的重點所在，也是學生的認知難點，更是教師施教的關鍵之處。

師：一定要“+1”嗎？有沒有不“+1”的？

生1：老師，我不但不“+1”，我還“-1”！

師（故作詫異地）：真的？可能嗎？

生2：有可能。如果小路的兩邊都有房子，這樣兩端都不用種了，這時候只要種3棵就夠了。

師：你們明白他的意思嗎？是3棵嗎？

生2：是的。剛才我們已經知道兩端都種的情況下需要種5棵，現在兩端都被房子占了，也就是少種2棵，就是5-2=3（棵），所以兩端都不種只要種3棵就可以了。

師：還可以用我們剛才學的知識來解決新的問題，你真會學以致用。

生3：我是這樣想的，兩端都不種的情況棵數要比間隔數少1，所以20÷5=4（個），4-1=3（棵）。

師：看來剛才那位同學說的“-1”也是有道理的。

生4：老師，那我也可以一端有房子，一端沒有房子，這樣就可以不加不減，間隔數剛好等于棵數。

在重點研究了“兩端都種”基本模型，理解“+1”的本質之后，教師緊接著引導學生思考能不能“-1”或者“不加不減”。在基本模型的基礎上探究模型的另外兩種變式，從基本模型的規律中推理出變式模型的規律，不僅建構起清晰的數學模型，而且在不知不覺中將這三種模型建立起聯系，讓學生認識到其實“兩端都不種”和“只種一端”就是“兩端都種”的特殊情況，從而理解植樹問題模型的本質。

師：現在再來看剛才的問題，你發現了什么？

生：感覺老師故意下了個套。

（師生大笑）

師：說得好！這個套在哪里？

生：沒有說明是哪種類型。

師：能不能用數學的眼光看看這三種類型有什么區別和聯系？

生1：它們相同的地方都有20÷5=4（個），都要先求出間隔數。

生2：類型不同，要種的棵數也不同，如果兩端都種，棵數=間隔數+1;如果一端種一端不種，棵數=間隔數;如果兩端都不種，棵數=間隔數-1。

比較三種模型，也就是找到它們之間的共同點與不同點，讓學生自主尋找其中的規律，把握植樹問題的本質都是總長度÷間距，不同點就是起點與終點的情況，對應的算法就是+1、-1或者不加不減，在對比、匯報、交流、總結中完成從具體的現實植樹情境到抽象的數學模型的轉變，自主構建出屬于自己的數學模型。

三、 在生活中應用模型，感受模型價值

數學課程標準中指出，教師應該充分利用學生已有的生活經驗，指導學生把所學知識應用到生活中去，以體會數學在現實生活中的應用價值。在學習植樹問題后，讓學生把構建好的模型應用到生活中的站牌設置、鋸木頭、爬樓梯、敲鐘等具有現實意義的題目中去，促進學生展開多方面、多角度的思考。在應用模型的過程中發現這類題目的共同之處。這樣的運用不僅可以鞏固學生對“植樹問題”這一模型的理解，而且能讓學生深刻感受到模型的魅力和價值。

師：只要有一雙善于觀察的眼睛，你會發現在我們的生活中還有很多類似的問題。比如：我們每天都要爬的樓梯中也藏著植樹問題呢，你能找出它嗎？學校教學樓每層樓梯有24個臺階，老師從一樓開始一共走了72個臺階。老師走到了第幾層？

師：思考一下，這是植樹問題里的哪一種情況呢？

生：兩端都種，72÷24=3（個），經過了3個間隔，應該爬到了第四層。

師：再看看鋸木頭又是什么類型。一根木頭長10米，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？

生1：鋸木頭應該是兩端都不種，因為木頭的兩端都不用鋸。

生2：分成5段，有5個間隔，那么只要鋸4次，每次8分鐘，需要32分鐘。

師：你能舉幾個生活中應用植樹問題的例子嗎？

……

師：是啊，在現實生活中，植樹問題有著豐富的應用，比如：裝路燈、剪繩子、敲鐘等。我們要運用數學眼光找到它們的“總長度”和“間隔”，這樣所有的問題就可以迎刃而解了。

模型思想在數學教學中有著廣泛的應用，學生數學學習的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、掌握和應用的過程。在教學中，只有適當滲透模型思想，幫助學生將實際生活中的問題抽象成數學模型，經歷感知模型、理解模型并應用模型的過程，才能更好地感受到數學的生命力，不斷地提升學生的思維水平。