數學核心素養視角下概念課的思考

謝風連

摘 要：高中數學概念課是高中數學教學的重要組成部分。通過對《獨立重復試驗與二項分布（第1課時）》概念課的設計和實施，筆者認為要在數學概念課中提升學生數學核心素養，應該要“吃透”教材，充分研究教材、活用教材，在此基礎上精心設計課堂問題，重視教學評價，并關注學生在不同階段的發展。

關鍵詞：核心素養;數學概念;概念教學

一、數學核心素養視角下，“吃透”教材是概念教學的基本點

教材是數學學習的重要教學資源。在教學中要充分研究教材、做到活用教材，讓學生感悟數學概念形成與運用的過程。

筆者在本節課中活用教材的引入，設計投硬幣游戲：同桌甲、乙兩人拋硬幣，甲連續拋5次硬幣，乙猜正面朝上或反面朝上，若乙猜對至少3次則乙勝，否則甲勝。讓學生嘗試從概率的角度判斷該游戲規則是否公平，每次乙猜對的概率是多少，每次猜測的結果是否相互獨立。讓學生親身體驗“相互獨立”含義，讓學生感受到學習數學的樂趣。

通過簡略介紹伯努利試驗的由來，讓學生了解數學發展史，感受概念是從實踐中來，又應用于生活實踐。通過整合課本的例題與課后習題，引導學生探索超幾何分布與二項分布的區別與聯系，引導學生辨析、深入理解不同的概率模型，提升邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養。

二、數學核心素養視角下，課堂問題的設計是落實概念教學的關鍵點

合適的問題對創設情境、理解概念、形成定理、實際應用都是十分重要的。問題能驅動情境開展，能引導學生思考，能保證課堂效率，引領探究與發現。

（一）設計問題指向明確

設計問題1：這些試驗有什么共同的特點？（1）投一枚質地均勻的硬幣，共投了15次。（2）某人射擊一次，擊中目標的概率是0.8，共射擊10次。（3）盒子裝有大小相同的3個紅球和2個黑球，從中有放回地依次抽取4個球。

針對問題1，筆者設計了四個追問：（1）上面各個試驗的條件如何？（2）每次試驗的關系如何？（3）每次試驗有哪些可能的結果？（4）若事件A發生的概率為p，每次試驗的概率如何？

創設簡單的生活實例，以問題串的形式提示學生歸納試驗的共同特點，抽象形成獨立重復試驗的數學概念，在歸納過程中提升學生的數學抽象和數學建模素養。

（二）設計問題注重梯度

由于教材的思考題難度比較大，學生理解有所困難，筆者將教材的問題分解成由淺入深的小問題，降低思考難度，順應了學生的認知特征。

設計思考1：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續擲3次，求恰有1次針尖向上的概率。

針對思考1，筆者設計了三個追問：（1）連擲3次圖釘，恰有1次針尖向上共有幾種情況？（2）這幾種情況存在什么關系？它們的概率分別是多少？（3）投擲3次，恰有1次針尖向上的概率是多少？

設計思考2：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續擲3次，出現k（k=0，1，2，3）次針尖向上的概率是多少？設計思考3：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續擲n次，恰有k（k=0，1，2，3）次針尖向上的概率是多少？思考2是思考1的推廣，思考3是思考2的推廣。設計有梯度的問題，符合學生的認知規律，落實數學建模、邏輯推理素養的提升。

（三）設計問題注重關聯性

在實際問題背景并不明顯地反映模型的特征時，學生在選擇正確的概率模型中存在困惑，易產生畏懼心理。教學中，教師要重視概率模型的區分。

設計題組一：

1. 設諸葛亮解出題目的概率是0.9，三個臭皮匠各自獨立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出題目即勝出比賽，諸葛亮和臭皮匠團隊哪個勝出的可能性大？

2. 在某批含有4件次品的10件產品中，（1）有放回地依次抽取3件，計算恰好抽出2件次品的概率;（2）無放回地依次抽取3件，計算恰好抽出2件次品的概率。

3.（拓展延伸題）某批n件產品的次品率為2%，現從中任意地依次抽出3件進行檢驗，問：（1）當n=500，5000，50000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（2）根據（1），你對超幾何分布與二項分布的關系有何認識？

先通過第1題加深學生對二項分布概率公式的理解，掌握解題的一般步驟，鞏固基礎知識。再通過第2題讓學生探究二項分布模型與超幾何分布模型的區別：在產品總數比較小時，有放回依次抽取是二項分布模型，無放回依次抽取是超幾何分布模型。以第2題為鋪墊，結合學生的認知水平設計第3題，引導學生深度思考二項分布模型與超幾何分布模型的聯系：在產品的總數很大時，無放回可近似看成有放回，超幾何分布可近似看成二項分布。通過這兩題的對比，循序漸進地引導學生理解超幾何分布與二項分布的區別與聯系，讓學生加深對新概念的理解，促進數學建模、邏輯推理核心素養的提升。

另外，筆者整合課本的例4、課后練習3和習題B組1設計了題組二：

1. 某射手每次射擊擊中目標的概率為[13]，求這名射手在5次射擊中，（1）恰有3次擊中目標的概率;（2）至少有3次擊中目標的概率;（3）前2次未擊中目標，后3次擊中目標的概率;（4）第5次射擊完成時，恰好3次擊中目標的概率。

2. 甲、乙兩名選手參加羽毛球比賽，每局比賽甲勝的概率為0.6，不出現平局，規定5局3勝制（即5局內誰先贏3局就算勝出并停止比賽），甲打完4局才勝的概率為（? ）。

A. C32×0.63×0.4? ?B. C32×0.62×0.4

C. C43×0.63×0.4? ?D. C42×0.62×0.42

3.（拓展延伸）甲乙兩名選手參加羽毛球比賽，每局比賽甲勝的概率為0.6，不出現平局，規定5局3勝制。（1）求甲獲勝的概率;（2）若比賽還可以規定3局2勝制，試比較3局2勝制和5局3勝制，哪個對甲更有利？你對局制長短的設置有何認識？

第1題讓學生在相同的背景下，分析不同的概率模型，不僅能培養學生對概率模型的識別能力，還能通過概念來挖掘概率模型的深度，有利于掌握不同的概念之間的關聯。第2題為第3題做好鋪墊，讓學生在綜合性的、情境化的數學活動中協同運用數學核心素養，靈活地解決問題，逐步學會用數學思維解決實際應用問題，同時提升數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養。

三、數學核心素養視角下，教學評價是反饋概念教學的落腳點

數學課堂教學，應把數學學科核心素養的教學與評價作為顯性的主線來指導和貫穿數學教學過程。通過教學評價，診斷、改進學生的學習行為，進而改進教師的教學行為，促進學生數學核心素養的達成。

本節課中筆者主要采用：教師發起——學生回應——教師評價的模式。通過課堂提問、課堂觀察、課堂練習及課后作業的方式，及時了解學生的進展與學習目標之間的差距，診斷學生的問題及需要加強的地方，調整和改進自己的教學。在探究二項分布的概率公式時，通過課堂提問，讓學生展示想法，即時診斷部分學生對二項分布的概念理解存在困難，筆者及時將思考題分解成由淺入深的小問題，幫助學生循序漸進地思考與理解，最終達成教學目標。通過題組的練習，展示個別學生的解法，了解學生對二項分布模型的解題思路及方法的掌握情況，及時改進學生的學習方法與思維習慣。同時關注學生有沒有積極參與到教學活動中，以及學生是否“聽懂了”。另外，利用課后作業鞏固基礎知識及解決部分學生在課堂中仍存在的問題，為調整和改進第二課的教學做準備。通過教學評價，筆者診斷學生可以基本掌握新知與技能，落實數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養的提升。

四、數學核心素養視角下，關注學生的發展是概念教學的根本點

學生的知識掌握、數學理解、學習自信、獨立思考等是隨著學習過程而變化和發展的，只有通過觀察學生的學習行為和思維過程，才能發現學生思維活動的特征及教學中的問題，及時調整教學的行為，改進學生的學習方法和思維習慣。

在本節課的教學中，在游戲情境、實例探究和課堂小結等環節，教師創設學生自由思考和交流、自我發現和自我發展的數學活動，關注和照顧學生興趣和能力的差異，尊重課堂的生成，加強師生之間和生生之間的交流，這極大地幫助了學生理解概念的形成和本質，對提升學生的數學核心素養也極有意義。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍，程海奎.高中必修課程中概率的教材設計和教學思考——兼談“數學核心素養如何落地”[J].課程·教材·教法，2017（05）.