高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)列題的解題策略探析

趙新波

摘 要：數(shù)列題一直在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。文章分析數(shù)列的含義和學(xué)習(xí)數(shù)列的重要性，指出數(shù)列中教學(xué)常見(jiàn)的問(wèn)題，從明確高考考點(diǎn)，積極與不等式、解析幾何相結(jié)合，讓學(xué)生牢牢掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握求通項(xiàng)的基本方法，理解并掌握數(shù)列求和方法幾個(gè)方面探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)列題的解題策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)列;解題策略;核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2021）19-0112-02

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了六個(gè)核心素養(yǎng)，技巧性解題內(nèi)容隨之減少，但數(shù)列題一直在高中數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。教師的教學(xué)方式應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，將符合時(shí)代發(fā)展要求的數(shù)列解題策略應(yīng)用到日常教學(xué)中去，適應(yīng)當(dāng)前社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)能力的需求，培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正挖掘和把握數(shù)列知識(shí)，降低學(xué)生數(shù)列題解題難度。

一、數(shù)列的含義

數(shù)列是函數(shù)的一種特殊形式，從本質(zhì)上說(shuō)，數(shù)列也是函數(shù)的一種。相較于函數(shù)而言，數(shù)列的特殊性主要表現(xiàn)在定義域以及值域上面。數(shù)列的定義域可以是單獨(dú)的數(shù)，也可以是兩個(gè)數(shù)之間的連續(xù)范圍。若要真正了解定義域，可通過(guò)函數(shù)的思想以及函數(shù)的三種表示方法與數(shù)列聯(lián)系在一起，因數(shù)列與函數(shù)相同，都有三種表示方法，即列舉法、圖像法和解析法。列舉法指的是對(duì)數(shù)列中所包含的所有數(shù)進(jìn)行列舉，例如三元色內(nèi)所包含的顏色類(lèi)型、水的組成部分等，就是一個(gè)列舉數(shù)列的表示方法。圖像法指的是以圖像為載體，對(duì)所要表示的數(shù)列進(jìn)行展示，這種方法更加清晰直觀。解析法指的是，通過(guò)數(shù)列解析公式，以計(jì)算的方式來(lái)表示數(shù)列的列舉范圍。數(shù)列解析公式主要包括，遞推公式以及通項(xiàng)公式兩種。

數(shù)列可分為等比數(shù)列、等差數(shù)列。若一個(gè)數(shù)列中所包含的數(shù)字有限，則可稱(chēng)其為有限數(shù)列;若一個(gè)數(shù)列中所包含的數(shù)字?jǐn)?shù)量無(wú)限，則可稱(chēng)其為無(wú)限數(shù)列。

二、學(xué)習(xí)數(shù)列的重要性

數(shù)列在日常生活中有著極其重要的作用，例如銀行存款利息的計(jì)算就是數(shù)列的一種表現(xiàn)形式。加之?dāng)?shù)列是反映自然規(guī)律的一種基本模型，真正發(fā)掘數(shù)列與函數(shù)之間的相關(guān)性，對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式、遞推公式靈活運(yùn)用，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中所遇到的數(shù)列難題，積極將不等式思想滲透到數(shù)列習(xí)題中，既是教師教授的難點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。數(shù)列中蘊(yùn)含著多種解題方法以及數(shù)學(xué)模型，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及提高學(xué)生解題能力具有至關(guān)重要的作用。教師必須在日常教學(xué)過(guò)程中積極豐富學(xué)生數(shù)列知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)列解題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

三、數(shù)列常見(jiàn)問(wèn)題

常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題主要有以下幾種。首先是基礎(chǔ)知識(shí)考查，數(shù)列的概念、性質(zhì)以及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，都是對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)考查的主要方面。教師在教授過(guò)程中必須加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，積極練習(xí)以上幾方面內(nèi)容。其次是對(duì)數(shù)列重點(diǎn)知識(shí)的考查，例如等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式、求和公式以及以上兩公式的性質(zhì)，這是數(shù)列知識(shí)的主體內(nèi)容，也是近幾年來(lái)高考的主要考點(diǎn)。教師在教授過(guò)程中需在鞏固學(xué)生數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)之外，加強(qiáng)對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的練習(xí)，以此來(lái)提高學(xué)生數(shù)列解題效率。最后是對(duì)數(shù)列衍生知識(shí)的考查，等差、等比數(shù)列是數(shù)列知識(shí)衍生的基礎(chǔ)，大部分衍生的數(shù)列都可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來(lái)解決。

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)列題的解題策略

1.明確高考考點(diǎn)

明確高考考點(diǎn)是進(jìn)行數(shù)列知識(shí)講解以及為學(xué)生提供高質(zhì)量的數(shù)列解題策略的基礎(chǔ)。只有真正明確高考考點(diǎn)，才可進(jìn)行有針對(duì)性的數(shù)列習(xí)題練習(xí)，從而有效提升數(shù)列教學(xué)效率。筆者在對(duì)多年的高考考點(diǎn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，遞推公式是高考考察的重點(diǎn)，近些年來(lái)，各省高考都或多或少出現(xiàn)遞推公式的相關(guān)習(xí)題。解決遞推公式所衍生的習(xí)題策略主要有以下三點(diǎn)。首先是可將遞推公式所產(chǎn)生的奇跡演化成等差、等比數(shù)列習(xí)題，利用等差、等比數(shù)列進(jìn)行求解，便可極大降低解題難度。其次是研究試題中出現(xiàn)的數(shù)列性質(zhì)，直接利用遞推公式對(duì)其進(jìn)行進(jìn)行求解。最后使用歸納法對(duì)數(shù)列試題進(jìn)行求解。例如對(duì)一個(gè)不等式求解時(shí)，可首先寫(xiě)出不等式的根，當(dāng)不等式根出現(xiàn)后，可進(jìn)一步計(jì)算不等式中未知數(shù)的解。

2.積極與不等式、解析幾何相結(jié)合

在高考中，對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查往往會(huì)結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不等式與數(shù)列結(jié)合就是最為常見(jiàn)的一種試題，同時(shí)也是高考中常見(jiàn)的試題類(lèi)型，因此，教師在日常講解過(guò)程中需提高不等式與數(shù)列的結(jié)合意識(shí)，加強(qiáng)練習(xí)有關(guān)類(lèi)型試題。解析幾何是數(shù)列知識(shí)考查的另一方面，解析幾何與數(shù)列結(jié)合的試題，主要是以圖像的方式展現(xiàn)，對(duì)這種題目，應(yīng)該把問(wèn)題細(xì)分為幾部分，并根據(jù)各部分之間的相關(guān)性，從簡(jiǎn)單入手，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答。

3.讓學(xué)生牢牢掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)

筆者調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，近年來(lái)，數(shù)列知識(shí)的高考考點(diǎn)愈來(lái)愈趨向基礎(chǔ)化，對(duì)數(shù)列知識(shí)的概念、性質(zhì)以及通項(xiàng)公式考得越來(lái)越多，試題難度不高。因此，對(duì)于高中生而言，運(yùn)用數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)數(shù)列習(xí)題進(jìn)行解答，是其重點(diǎn)。例如，數(shù)列知識(shí)基本運(yùn)算題會(huì)經(jīng)常運(yùn)用到等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及變換公式，因此，在求等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，可積極運(yùn)用函數(shù)方程的方法來(lái)解決此問(wèn)題，事實(shí)上，等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和試題，很多時(shí)候都可直接運(yùn)用二元一次方程對(duì)其進(jìn)行解答。第二種常考題目是證明數(shù)列成等差、等比，對(duì)于此種題目最常用的方法均是運(yùn)用數(shù)列定義，但掌握一些其他解題辦法，可進(jìn)一步提高學(xué)生解題速度。例如對(duì)等差數(shù)列的判斷，第一種方法是利用定義，第二種方法是利用等差中項(xiàng)，第三種方法是使用通項(xiàng)法，最后一種方法是使用前n項(xiàng)和的方式。由此可以看出，讓學(xué)生牢牢掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題十分重要。

4.熟練掌握求通項(xiàng)的基本方法

數(shù)列種類(lèi)非常多樣，有的數(shù)列較為抽象，有的數(shù)列較為基礎(chǔ)。而高中數(shù)學(xué)中所選編的數(shù)列形式就是較為基礎(chǔ)的一種數(shù)列展現(xiàn)方式，也是非常重要的數(shù)列知識(shí)。學(xué)生在數(shù)列知識(shí)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)用到等差、等比兩種數(shù)列展現(xiàn)形式。大部分試題都要求學(xué)生通過(guò)一種方式將試題題目轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再運(yùn)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)對(duì)試題進(jìn)行解答。在數(shù)列中求通項(xiàng)公式能充分展現(xiàn)數(shù)列題目的特性，提高學(xué)生數(shù)列解題能力。首先是歸納法，由給出的圖形或數(shù)列前幾項(xiàng)，要求學(xué)生求出數(shù)列通項(xiàng)公式，這種題目可直接運(yùn)用歸納法進(jìn)行解答。第二種方式是公式法，如提供數(shù)列中的某一項(xiàng)，來(lái)求出數(shù)列通項(xiàng)公式，對(duì)這種題目可直接帶入公式進(jìn)行解答。高中數(shù)列題目解題過(guò)程中還有累加法、累乘法等多種方法。