從一道幾何題證法談學生發(fā)散思維培養(yǎng)

李阿皇

摘 要：隨著新課改的不斷推進，加快學生學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，成為初中數(shù)學教學改革發(fā)展的重要內(nèi)容。學生發(fā)散思維培養(yǎng)，是數(shù)學學科教學的要求，也是提高學生數(shù)學學習能力的重要途徑。幾何證明題要求學生具有發(fā)散的幾何思維，才能更好地提高學習效率。本文以一道典型幾何證明題為例，就“一題多解”的深入分析，就如何實現(xiàn)學生發(fā)散思維培養(yǎng)提出幾點建議。

關鍵詞：初中數(shù)學; 核心素養(yǎng); 幾何證明; 發(fā)散思維; 培養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? 文章編號：1006-3315（2021）7-016-002

幾何是初中數(shù)學的重要組成部分，是培養(yǎng)學生空間思維的重要載體。在幾何題證明中，不同的切入點，可以實現(xiàn)不同的證明方法，促進學生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。在數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之下，教師的“教”要跳出傳統(tǒng)僵化的教學模式，在開放式多元化的教學空間，促進學生發(fā)散思維，在自主探究與嘗試中，實現(xiàn)有效學習的生成。因此，本文以一道典型幾何的不同證法研究，就如何實現(xiàn)學生發(fā)散思維能力培養(yǎng)，提出科學有效的教學策略。

【題】如圖1：在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連結(jié)DE，過點A作AG⊥ED交DE于F，交CD于點G.

（1）證明：G是DC的中點;

（2）連結(jié)BF，證明：AB=FB.

整體分析：該題是一道典型的幾何題目。題目以正方形為載體，從垂直、中點等要素的構(gòu)建中，求證“G是DC的中點”、“AB=FB”。該題看上去比較復雜，多點、多線的情況之下，更高要求學生應扎實掌握基礎知識，在知識的應用中梳理幾何中的點與線，這是提高幾何證明能力的關鍵。對于（1）的證明，主要考察學生的基礎知識，“全等證明”的運用，可以實現(xiàn)證明目標。問題（2）相比而言具有一定難度，學生局限于現(xiàn)有的點與線，顯然無法獲得證明。因此，以發(fā)散的解題思維，在現(xiàn)有點與線的基礎之上作輔助線，是幾何證明的常用方法，學生應扎實掌握。

問題（1）證明：

很顯然，問題（1）比較簡單，學生只要儲備一定的理論知識，在證明的過程中，就可以很快明確“”的證明方向，即可完成證明目標。

問題（2）證明：

第二題在證明的時候絕大部分的學生受限于能力和知識，考試的時候有很多學生想不出來。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，很大部分學生思維不發(fā)散，僅盯著正方形上現(xiàn)有的點與線，是無法獲得證明。學生要善于分析、發(fā)散思維，巧妙運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”等數(shù)學知識，可實現(xiàn)證明目的。后經(jīng)思考和討論整理出下面幾個證明方法希望看到的學生能有所受益！

法一：

延長AB和DE，兩延長線交于G（圖2）

應該說這樣的方法理論性最強也較容易被優(yōu)秀的學生所想到，但是學習成績一般的學生就不容易想到。因此，學生在幾何證明中，要具備扎實的理論知識，并且通過發(fā)散思維，在“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的理論應用中，完成AB=FB的證明。

法二：

過F點作AC的平行線分別交CD和AB于M，N，（圖3）

于是由勾股定理可得BF=2a=AB.

本法證明思路是：用代數(shù)的方法表示數(shù)量關系，這也是證明相等的方法之一，也是常用的一種思維方式。從學生學習的情形來看，學生對于幾何的認知有所偏見，認為幾何與代數(shù)之間無聯(lián)系。其實，這種數(shù)學思維是錯誤，代數(shù)也可以成為幾何證明的重要方法。在法二中，巧妙的通過F作AC的平行線分別交CD和AB于M，N，為代數(shù)關系比例的建立提供了條件，且整個證明過程比較簡單，這在實際當中，很大部分并未思考到這一證明法。因此，學生要轉(zhuǎn)變思想，強化數(shù)學知識的整體性、系統(tǒng)性應用，提高幾何證明效率。

法三：

過B作BH⊥AG于H（圖4）

法四：

過B作CE的平行線交AG于M，交AC于H（圖5）

法三和法四應該說有異曲同工之處，同的是：用到的證明依據(jù)都是線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;不同的是：輔助線的作法、切入點和角度不同，一個是用證三角形全等來證明線段的相等，一個是用平行線等分線段定理得到線段相等。

法五：

延長BF交CG于

本法的證明依據(jù)是等角對等邊，容易想到，但是具體操作有一定的空間思維要求，所以從這方面講就達到了鍛煉的有效作用。

法六：

連接AE（圖6）

本法的證明思路是利用等腰三角形相似得到線段的相等。因此，該法證明的關鍵，在于巧妙的構(gòu)建“△ABE∽△AFC”、“△ABF∽△AEC”，為理論的應用創(chuàng)造了條件。

以上幾個方法就是證明線段相等常見的方法：（1）等角對等邊;（2）線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;（4）代數(shù)計算;（5）相等的傳遞性。以上是同一道題目從多個不同角進行的證明，可以體現(xiàn)思維的發(fā)散性，以及對空間想象能力的培養(yǎng)和鍛煉，對學生們來說也是一種能力的提高。為此，從“一題多解”的闡述，筆者認為，初中學生發(fā)散思維培養(yǎng)，應著力于以下教學的構(gòu)建。

一、強化理論知識學習，構(gòu)建發(fā)散思維的知識基礎

學生在學習中，實現(xiàn)發(fā)散思維的培養(yǎng)，關鍵在于強化理論知識學習，這是構(gòu)建發(fā)散思維的知識基礎。首先，學生要養(yǎng)成系統(tǒng)性學習習慣，扎實掌握基礎理論知識，為發(fā)散思維提供知識保障;其次，發(fā)散思維培養(yǎng)是一個過程，建立在理論知識的學習之上，能夠為知識的拓展應用提供基礎，促進發(fā)散思維的有效培養(yǎng);再次，學生是教學的主體，教師的“教”要循序漸進，針對學生的思維特點，引導學生建立正確的思維方向，提高學習效率與質(zhì)量。

二、圍繞核心素養(yǎng)培養(yǎng)，引導學生自主探究學習

當前，圍繞核心素養(yǎng)培養(yǎng)，加快學科教學改革，成為初中數(shù)學教學發(fā)展的重要內(nèi)容。為更好地落實學生發(fā)散思維培養(yǎng)，一是要明確核心素養(yǎng)的目標導向性，從發(fā)散思維的培養(yǎng)中，不斷地提高教學效率及質(zhì)量;二是創(chuàng)設開放式的學習空間，引導學生在自主探究、大膽探索嘗試中實現(xiàn)發(fā)散思維的有效培養(yǎng);三是教師要發(fā)揮“學生學習的促進者”角色，幫助學生跳出思維定勢，在拓展應用、多元思考中滿足學生發(fā)散思維的需求。

三、善于觀察與思考，拓展解題的“視域”

觀察也是學習的一種方式與策略，對于初中生而言，在幾何題等的解答中，要善于觀察與思考，缺乏觀察的思考是無法成立的。為此，一方面學生要善于觀察，在觀察中尋找知識應用點，進而為深入思考應用創(chuàng)造條件;另一方面，學生的解題思路要開闊，不能局限于現(xiàn)有的已知條件，而是要發(fā)散思維，主動創(chuàng)造有利條件，促進學生有效學習的生成。

在新課改之下，加快推進學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，成為初中數(shù)學教學改革發(fā)展的重要內(nèi)容。發(fā)散思維作為數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，在教育學的構(gòu)建中，應從學生的“學”中提高發(fā)散思維的能力，跳出傳統(tǒng)條框式學習方式。在本文研究中，通過“一題多解”的深入分析得出，初中學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，關鍵在于掌握扎實的理論基礎知識，在逆向思維等的應用中，實現(xiàn)了知識的巧妙應用，也讓復雜的證明簡單化，這是發(fā)散思維培養(yǎng)及應用的重要意義。

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