普通高中數學“高立意、高思辨、高互動”教學探索

王永慶

摘? 要：在普通高中新課程新教材實施與教學改革視野下，高中數學教學要想有效落實“立德樹人”根本任務、發展學生核心素養，就需要在新課程新教材實施中凸顯“高立意、高思辨、高互動”教學特點。“高立意、高思辨、高互動”教學的實現，需要教師在課堂教學實踐中，從較高的教學立意上調動學生學習積極性，滲透數學文化;抓住學生數學學習中較高層次的錯誤，引導其思考、探究、反思，進行思辨分析，讓學生逐漸養成借助直觀理解概念進行邏輯推理的思維習慣;與學生在高階思維層面進行“對話”，并在主題活動背景下進行互動合作等。

關鍵詞：高中數學教學;高立意;高思辨;高互動;生本理念

2020年6月，教育部發布了《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》和各學科課程標準，給予普通高中在新課程新教材（以下簡稱“雙新”）實施的方向性指引。依據新課標，不同類型普通高中需要結合自身實際與學生發展需求，進行學科教學探索。上海市普通高中非統編數學教材（以下簡稱“新教材”）根據教育部頒布的課程標準（2017年版）編寫，并經國家教材委員會專家委員會審核通過，自2020年秋起在上海各高中全面實施。新教材為高中數學教學活動提供了學習主題、基本線索和具體內容1，為提升學生數學學科核心素養、落實“立德樹人”根本任務提供了良好載體。作為上海市第一期、第二期課程改革實驗校，上海市上海中學在20余年的創新素養培育實踐研究基礎上提出“高立意、高思辨、高互動”（以下簡稱“三高”）的教學模式，指向課堂教學，對課堂生成過程中的教學立意、思辨方式、互動形式提出較高要求。實踐證明，“三高”教學為資優生的進一步發展提供了良好的土壤。在新的課程改革背景下，如何突出數學學科本質，在新課程新教材實施中把握“三高”的數學教學要點，并創造性地進行課堂教學實踐，是值得研究者及一線教師關注的重要課題。

一、“雙新”視野下高中數學“三高”教學的內涵要點分析

1.“雙新”視野下數學課程標準有關“三高”教學的要點解讀

2001年啟動的課程改革提出了三維教學目標：知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，課程目標設置的三維目標是一種并行結構。2 2013年教育部啟動普通高中課程修訂工作，凝練了學科核心素養，一些學者如李藝1、呂世虎2 等把學科核心素養構建了多個層面，基于學科核心素養的水平劃分，提出以層次結構替代并行結構構建數學核心素養體系，并在此基礎上建構課程目標體系。新課程凸顯了數學教育目標上的高立意變化：更加關注學科本質和人的發展。

2019年，教育部發布的《中國高考評價體系》依據高校人才選拔要求和國家課程標準，明確了“一核、四層、四翼”三部分內容，回答了“為什么考”“考什么”與“怎么考”的問題，指出考查要求要體現基礎性、綜合性、應用性、創新性，其中創新性要求可以概括為三個方面：敢于質疑和批判的思維能力、自主決策并發表見解的能力和獨立自主設計方案的能力。3 而數學核心素養的水平劃分可以以層次化的結構構建學生素養發展體系。本源是知識，以知識的理解作為邏輯起點，能夠將知識遷移到數學情境、現實情境、其他學科情境中去解決問題;能夠提出問題，對知識進行拓展，形成數學思維。4可見，新課程凸顯了數學教育內容上的高思辨變化：關注學生的數學思維能力培育。

如何實現從理解到遷移，再到創新，從而達成發展學生數學核心素養的目標？這是一個從課程設計到課堂教學實現的關鍵問題，需要師生的交流與互動，這也是新課程凸顯師生“高互動”的特點所在。在課堂教學中，教師要從體現核心素養的四個方面（情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思）進行有效突破，關注學生的知識、能力、思維與情感態度，設計具有一定挑戰性、障礙性和開放性的問題，以促進在不同學習階段的學生核心素養的達成。數學新課程要求的落實，需要從知識的高立意背景出發，通過高思辨的課堂對話，提升學生能力，發展高階思維，以高效互動的教學形式，促進學生交流與反思，內化知識與方法，提升數學素養。

2.“雙新”視野下上海高中數學新教材“三高”教學要求分析

新教材依據教育部發布的《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標準”）編制。新教材較之上海“二期課改”教材，偏向于數學知識發生、發展過程的再現，揭示了數學知識的生成，意圖從一定程度上激發學生創造與發現的靈感。新教材在閱讀、探究、編寫主線、數學建模等部分均體現了需要“三高”教學的驅動。

新教材的例習題和“探究與實踐”“課后閱讀”等專欄中包含各種熱點和重大主題教育的內容，體現育人功能。許多章節介紹了數學史的相關內容，既體現人類文化知識的積累和創新過程，也幫助學生理解和掌握相關數學知識。新教材從多處（如“探究與實踐”“課后閱讀”“拓展與思考”等）滲透數學探究內容，突出“問題”作為數學核心素養培養的重要載體;新教材將“函數”“代數與幾何”“概率與統計”三個主題作為教材編寫的主線，形成層層遞進的章節設計，體現整體性與連貫性，凸顯高立意的要求。新教材注重“從特殊到一般，再指導特殊”的認識論規律，按照課程標準不涉及“原命題、逆命題、否命題與逆否命題”內容，而引入反證法，提升學生邏輯推理素養，體現了高思辨的特點。新教材中對數學建模活動的教學，強調活動性、探索性和綜合性，在過程中不斷提高學生分析問題、解決問題以及綜合應用數學知識的能力，充分激發學生的創新精神和創造意識，促進高互動的生成。

要想利用好新教材，發揮新教材引領作用，需要教師具有“高立意、高思辨、高互動”的教學風格。首先，教師要有高立意的眼光，才能從高立意的視角引導學生。教師要挖掘教材所體現的背景和思想，對教材的各個章節思考其立意、地位和作用，核心概念的教學價值及其在數學發展過程中的重要影響;其次，教師要開展高思辨的教學，對教材內容進行深刻理解和充分思考，使學生對知識的掌握從理解躍升到遷移，再到創新;最后，教師要激勵學生高互動地表達與交流，培養學生的互動合作精神與團隊意識，并適時反思。

在新的高考評價背景下，評價是為了更好地教與學。在日常的教學活動中，特別是在探究性活動與建模活動中，教師要重視過程性評價;關注知識技能的范圍和難度，設計有利于考查學生思維過程、思維深度和思維廣度的開放性試題，設計有利于考查實踐能力與創新意識的應用問題和探究性問題，關注數學核心素養的分布與水平。

3.“雙新”視野下聚焦課堂教學的“三高”傳承與內涵拓展

（1）“三高”教學與“雙新”要求的融合

從課程標準和新教材特點可以看出，以“生本理念”為教學意識，通過“重視過程”的教學和評價，著力數學核心素養的提升，落實“立德樹人”根本任務，正是“雙新”所指明的教學方向。上海中學在“雙新”視野下，推進“高立意、高思辨、高互動”教學的發展，在教學中進一步凸顯“三高”教學與“雙新”要求高度融合，體現在以下幾個方面：

第一，“三高”教學關注“人”的發展。“高立意、高思辨、高互動”將激發學生的數學學習興趣，培養學生良好的思維品質，引導學生感悟數學核心價值。因此可以說，對數學資質較好的學生群體進行“三高”教學，就是“生本理念”的最好體現。

第二，“三高”教學關注層次與方式。“高”是相對的，對數學基礎不夠好的學生而言，過高的立意、過難的思辨、過頻的互動皆是無益的。教師與學生之間需建立良好的教學動態平衡，教師隨著學生思維的變化而隨時調整教學，因勢利導，這正是“重視過程”的體現。

第三，“三高”教學關注課堂生成。“三高”教學追求高階思維的生成，追求實踐能力與創新意識的形成，追求數學核心素養和科學精神的達成。這樣的目標決定了“三高”需要落實于每一個單元、每一節課，充分關注教學目標，關注課堂生成。

高立意、高思辨、高互動教學模式相對獨立，但又相互作用、相互影響，是打造高效課堂，促進學生高階思維形成，發展數學核心素養，培育理性精神的驅動器，其中，“高立意”是教學意識，“高思辨”是教學方式，“高互動”是教學呈現。

（2）“三高”教學內涵的拓展

“高立意”內涵要求教師能意識到學習主題或內容在數學學科中的地位與價值，能從系統性與一致性角度指出問題的實質，給出思想、方法層面的引導。注重激發學生的數學學習興趣，重視數學強潛能學生的早期識別與體系化培育，重視學生在大中學銜接教學中進一步發展核心素養。

“高思辨”內涵要求教師能提出引起學習者高度關注的問題，能引導學生積極參與其中進行自主思考、探究與反思。學生在長期的高思辨學習過程中自覺形成良好的思考習慣或思維意識，指導學習和解決問題。高水平、高質量地深化數學基礎知識與基本技能教學，并強化數學思維與數學邏輯運用，使不同能力層次的學生都在不斷“試錯”的過程中提高自己。

“高互動”內涵要求教師與學生、學生與學生能在高層次問題上互動，通過語言、眼神、動作等進行思維“對話”，發生思維碰撞，激發思維火花，關注情感態度，培育合作精神與團隊意識。注重在數學實踐與探究過程中的高質量參與和合作，重視數學教學的校本教學指南、發展型課程的系統匹配，重視建立診斷、反饋、提升的數學教學系統。

“三高”教學關注數學思維的立意挖掘與人的視野拓展，關注數學能力的互動提升與人的層次發展，關注數學知識的思辨激活

與人的情感表達。“三高”教學內涵拓展見圖1。

二、“雙新”視野下高中數學“三高”課堂教學實踐

如何在課堂教學中深入貫徹新課程標準與新教材理念，實現“高立意、高思辨、高互動”的教學追求，是課堂教學改革需要深入挖掘的內容。筆者認為，可以從以下幾個方面進行探索：

1.高立意：單元、學科內涵與文化的凸顯

（1）單元整合視角下的序言課教學

單元序言課教學可以為本單元后繼學習確定目標、設計路線、明確方法、提供動力。或者說，單元序言課教學應首先解決為什么學、學什么、如何學的問題，然后再視教學實際進行相關新知識的教學。1

在單元序言課中，教師要構思好本單元的教學邏輯，設計好本單元結構圖并進行展示。以新教材必修第一冊第2章為例，單元序言課應首先明確為什么要學習“等式與不等式”內容——數量關系是數學重要的研究對象，相等關系與不等關系是最基本的數量關系，而等式與不等式則是表示相應數量關系的基本工具，在日常生活中也有廣泛的應用。學的內容——等式與不等式的性質、不等式的求解、基本不等式及其應用。如何學——通過類比的方法，學習有關等式與不等式的性質，并借助集合和邏輯的語言，求解和證明一些基本的不等式。可見，單元序言課具有整體性、“統領”性的特點，為學生初步了解本單元結構和內容提供宏觀上的指導。

從單元整合角度進行序言課教學，可以培養學生的學科意識、單元意識和自主學習精神。從教學邏輯、學生感興趣的內容入手，借助計算機多媒體技術，從較高的教學立意上調動學生學習積極性，并做好感情鋪墊，以利于上課時學生的全情投入和積極參與。

（2）學科知識背景下的觀點揭示

體現“國家標準，上海特色，國際水平”的新教材多次提出了類比的思想。布爾代數的創立者布爾思考“類”的概念：用x代表白的，用y代表綿羊，那么xy就表示白綿羊，用現代的數學術語xy類比成的是交集。再如xx=x這個代數式子經過變形后為x（1-x）=0，從邏輯代數的觀點看，體現了這樣一個含義：沒有任何東西可以同時屬于又不屬于某個類，這剛好體現了亞里士多德的排中律。教師應鼓勵學生進行類比，必要時引導方向或揭示，然后對類比后的數學對象進行研究，提高學生合情推理的能力，激發其創造性。

案例1? 已知過點P（4，1）的動直線與橢圓[x24+y22=1]交于不同兩點A，B，在線段AB上取點Q，滿足|AP|[?]|QB|=|AQ|[?]|PB|，證明：點Q總在某條定直線上。

筆者除使用中學數學的方法（如使用定比分點公式）予以解決外，還指出其蘊含的高等幾何背景——調和點列。在高等幾何中有如下定義：一點P關于圓錐曲線[Γ]的所有調和共軛點的軌跡為一條直線p，稱p為點P（關于[Γ]）的極線，點P稱為直線p（關于[Γ]）的極點（簡稱為極），特別地，圓錐曲線焦點的極線就是與之對應的準線。當P在[Γ]外時，其極線p是從點P所引曲線[Γ]的兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）。2

在新教材中存在大量這樣的素材，如函數概念的發展——三種定義，解析幾何中換元的實質——圖形的變換，函數零點的“二分法”與“牛頓切線法”——現代計算數學的迭代方法，圓錐曲線概念的由來——圓錐截線等，我們揭示其思想觀點就是站在更高的角度上指出問題的學科知識背景，引導學生查閱相關資料，進行自主探究。同時也整合了大學與中學的知識，從更大的領域上理順知識結構。

（3）數學文化的課堂融入

與上海“二期課改”教材相比，新教材更強調數學知識的發生、發展過程，而數學知識生成的過程蘊含著豐富鮮活的方法、思想、精神，即數學文化。例如新教材講述“指數冪的拓展”時，先從指數為正整數拓展到整數，再到有理數，最后拓展至實數，充分展示了數學發展的過程。筆者在實際教學時強調了這一過程，并講述了數學發展過程歷經的種種困難與挑戰，關注數學文化的滲透。

張奠宙教授認為，數學教學“既要講推理，更要講道理”1，這些道理中就包括數學文化底蘊，例如，新教材利用趙爽弦圖證明等式與不等式以及利用邊框對數學家進行介紹等，圖文并茂，文化韻味濃厚。在實際教學時，教師可以把數學文化作為對教學內容的有益補充，如在教學“一元二次方程”時，可介紹三次方程求根公式的推理過程、背景，以及當時作為中學生的阿貝爾（N.H.Abel，1802—1829）對五次代數方程求解的探索故事。在教授“對數”內容時，介紹英國數學家納皮爾（J.Napier，1550—1617）的貢獻。在數學求解的過程中，揭示問題背景，如秦九韶公式、楊輝三角、3x+1問題（角谷猜想）、曼哈頓距離等。還可以通過對數學文化試題的講解，介紹數學在人文藝術、科學技術和實際生活中的應用。通過數學文化的滲透，展現我國和世界豐厚的文化底蘊，拓寬學生視野，增強學生的民族自豪感和文化自信;引導學生學會運用數學知識，成為有社會責任感的新時代公民。

2.高思辨：能力與素養的提升

（1）從錯誤走向正確，引發共鳴，提升能力

高思辨的教學要求教師充分關注課堂氛圍、學生心理與思維特點，于變化中抓住瞬間機會，恰當進行引導與思辨。

案例2? 在一次單元測驗中有下列問題（記為題1）：

圍繞著這個錯誤解法，筆者設計了以下思辨問題：

思辨1：學生A的解法是否正確？若不正確，在哪里出了問題？

思辨2：題1與題2“函數f（x）對任意實數a，b都滿足2f（a）-f（b）=2a-b，求f（x）的解析式”的區別在哪里？

思辨3：題1與題3“函數f（x）對任意實數x都滿足2f（x）-f（x-1）=2x-（x-1），求f（x）的解析式”是否有區別？區別在哪里？

思辨4：在學生A的解法中m、n之間存在怎樣的關系？你能否通過對自變量x進行賦值，使得m與n對換？對換后如何得出f（x）的解析式？

思辨5：仍以二次函數為背景，能否給出你的設計，使m、n具有與題1不同的對稱性，并解決你設計的問題。

思辨1至4實質是為學生理解、解決問題搭建多個階梯，教師則引導與幫助學生積極思考。整個思維過程需學生自主完成。而教師需抓住學生數學學習中較高層次方面的錯誤，引導學生進行思辨分析，總結思想方法，能讓學生對數學問題的理解提高到新的層次。思辨5可以從中心對稱角度來設計問題，幫助學生從理解進一步躍升到遷移、創新。

（2）從直觀走向抽象，融合上升，發展素養

數學總是雙重的，既是抽象的，又是直觀的。抽象體現在它的高度概括性及形式化、符號化特征，直觀則反映其概念形成及證明過程未經充分的邏輯演繹論證而外顯的本質，是對客觀世界的一種喚醒與回歸，可以說數學是抽象與直觀的結合體。1

以函數性質為例，新教材對函數性質（如冪函數）的介紹先采用了直觀描述（“觀察圖4-1-5所示的冪函數y=xa（a>0）在第一象限的圖像，可發現圖像由左至右是上升的”），然后用第二句話轉換到數學表達（“也就是說，隨著自變量x的不斷增大，函數值y也不斷增大”），最后進行嚴謹論證（“這是因為……，從而由冪的基本不等式，得……”）的教學模式。后續對指數函數也采用了這樣的描述與表達方式，引導教師與學生關注數學概念理解及邏輯推理所需要借助的直觀載體，從而為學習帶來簡單易懂的體驗。對數學直觀的領悟，能揭示隱藏的抽象關系，識記與洞察數學對象的內在結構。

案例3? 根據單調性定義，設計問題：

首先，應畫出各種函數圖像，檢驗是否符合條件，從直觀上給出判斷。

這樣，我們先從直觀的視角理解了函數F（x）的單調性，然后通過推理得到結論，這是對課程標準要求的理解。從高思辨的要求看，由于圖像未必能完全反映函數的性態，上述推理過程借助了在數學中的直觀，學生從直觀上升到對單調性的抽象認識，其思維經歷記憶、理解、分析與評價過程。

通過對函數定義的重新表征，獲得解決問題的新設計，形成一個連貫的整體，讓學生體驗創造的思維過程，發展數學抽象與邏輯推理素養。為使學生思維進入創新階段，提升數學核心素養的高水平，可進一步設計問題“解決了這個問題后，你能否提出一些新的問題，并解決你提出的一個問題”。要提出新的問題，可以根據新教材提出的“類比”思想，思考函數的其他性質，比如可以從奇偶性、最大值最小值角度考慮，從而培育學生的創新思維。

當然，過于抽象的概念與推理晦澀難懂，不利于教學工作的開展。教師應首先理解抽象問題的本質，然后充分利用語言藝術，通過抽象結論的幾何意義詮釋、抽象語言的直觀表達、抽象推理的直觀翻譯等途徑實現直觀化，從而降低數學的抽象性對學生的消極影響。

3.高互動：高階思維與團隊意識的形成

（1）高階思維層面上的課堂“對話”

數學課堂上的“對話”主要圍繞著問題展開，問題是課程標準中體現核心素養的一個重要方面。杜威認為，“問題的性質決定思維的目的，而思維的目的則控制思維的過程” 1，可見，在課堂上，問題決定了思維的過程與深度。傳統的問題常常是封閉的、孤立的，較難建立學生思維與其他知識或現實情境的聯系，無法有效培養發散思維。在“雙新”視野下，教師應聯系情境，提出開放性的問題，與學生在高階思維層面進行“對話”，有效提升學習質量;也應當鼓勵學生提出具有上述特點的問題，師生進行課堂“對話”，并將“對話”延伸到課外。

這里的“對話”，強調的是思維層次與高質量。“對話”的合理性、高效性決定了一堂課的質量，決定了學生思維被“激發”的程度。2 教師應多從策略性知識角度，從數學思想和高觀點出發，激發學生思維，發生思維碰撞，擦出思維火花，引起強烈反思，促成高階思維形成。

案例4? 意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”。那么[a21+a22+a23+…+a22021a2021]是斐波那契數列中的第_______項。

筆者在特殊與一般、猜測與發現等高階思維層面上設計問題，通過如“是否可以將所求式中的下標2021一般化為n”“上述觀察只能給出初步的歸納結論，如何做出證明”“還有其他不用求通項的途徑嗎”等問題，以激勵的話語引導學生摒棄不良學習習慣，克服畏難情緒，積極進行猜測探究，形成良好的研究問題的態度和嚴謹的探究精神。

研究者指出，注重高階思維教學、關注學習過程的課堂有三個可以觀察到的特征：能聽到學生在解釋、推測、描述模型或交流他們的觀點;能聽到教師詢問學生有關為什么、是什么以及如何做的問題;能觀察到學生對如下內容做出選擇：使用哪些程序，如何將知識整合到新的、非常規的任務中，監督發展和評估解決策略。3這三個特征正是一線教師在課堂“對話”中需要掌握的原則。

（2）主題活動背景下的互動合作

課程標準指出，數學建模活動與數學探究活動是數學內容的主線之一，這條主線不僅能夠幫助學生更好地掌握知識技能，更能幫助學生學會數學地思考和實踐，是學生形成和發展數學學科核心素養的有效載體。

以建模活動為例，一個完整的建模活動有較多環節，主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型。針對這么多環節，教師必須采用分工合作、分解任務的方式逐一解決，才能使建模活動行之有效，施之有序。所有的步驟都應體現高互動性，在互動合作中落實建模活動，提升建模素養。通過活動，也可以培養學生的合作意識與團隊精神。

案例5? 乘出租車去“一大”會址。上海出租車在凌晨5時至當天晚上23時計費如下：起步里程為3km，費用為14元;超過起步里程至15km（含）內，每千米費用為2.5元;超過15km，按超起步里程的單價加50%計單價。低速等候費用為每4分鐘收1km超起步里程單價。在假期中你打算乘出租車去“一大”會址。

在這個建模活動過程中，筆者設計了多個步驟，強調互動合作，將建模問題分解細化，便于有效開展活動，具體表現為：

步驟一：明確任務，師生分工。在這個步驟中，教師的職責是設計建模活動任務單，與備課組教師合作，并在學生完成任務的過程中給予指導，學生在完成三個任務的過程中如果遇到困難，可以向教師或同伴尋求幫助，完成后上交任務單。

步驟二：小組合作，討論改進。學生由于觀察問題角度不同，因而提出的模型具有多樣性。在這個步驟中，教師與學生一起對模型進行分類，將相同或相似的放在一起，分成若干組，小組互動討論，教師引導學生對模型進行改進，使之更接近真實，同時也為第三個步驟做好準備。

步驟三：匯報總結，撰寫報告。學生進行匯報展示，同組學生進一步討論匯報細節。教師可以邀請校內外專家、社會人士、家長等參與聆聽由學生主導的展示課，教師點評，并對建模活動及時評價，突出活動意義，要求學生完成相應的成果報告，針對個體在小組活動中的作用注重多元評價，存入學生個人學習檔案。

“雙新”實施已在全國各地呈全面鋪開之勢，高中數學教育改革新的要求隨之而來。教師應立足教材，理解教材，以學生發展為本，把握好數學的學術形態與教育形態。以課程標準的理念作為行動目標，關注體現核心素養的四個方面，通過高立意、高思辨、高互動的“三高”教學，實現國家課程目標與數學核心素養的可視化、可操作、可評價，切實提高學生的“四能”，使學生達到會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界的“三會”目標，落實“立德樹人”根本任務，培養社會主義的建設者與接班人。