數形結合與絕對值最值問題的整合及應用

林偉燕

[摘? ?要]絕對值最值問題是需要學生結合絕對值的幾何意義和代數意義進行運算、推理、遷移的一種題型.縱觀近年來各省市的數學中考試題，絕對值最值問題日漸成為新亮點.解絕對值問題要從絕對值的幾何意義與代數意義兩方面去尋找著力點，重點是掌握求幾個絕對值之和的最小值的方法.文章立足絕對值的代數意義與幾何意義通過數形結合解決絕對值最值問題，以培養學生的創新思維，提高學生分析問題和解決問題的能力.

[關鍵詞]絕對值;最值問題;數形給合

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0029-03

數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學.當解決數學問題時，通常會將抽象的數學問題與直觀的圖形結合起來.縱觀近年來各省市的數學中考試題，絕對值最值問題日漸成為新亮點.基于此，教師可引導學生通過數形結合理解絕對值的代數意義和幾何意義，從而破解絕對值最值問題難點，有效掌握數形結合、分類討論、建模、轉化等數學思想.本文通過實例探究來分析數形結合與絕對值最值問題的整合及應用.

絕對值之和求最小值分兩類：

1.未知數[x]系數為1，形如[x+2+x-1];

2.未知數[x]系數不為1，形如[x+2+2x-1].

探究一 未知數x系數為1 的情況

1.求[x+2+x+1]的最小值

解法一：利用絕對值的代數意義.

當[x≥0]時，[x=x];當[x<0]時，[x=-x].

當[x<-2]時，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如圖1）;

圖1

當[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如圖2）;

圖2

當[x≥-1]時，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如圖3）;

圖3

∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值為1.

解法二：[x+2+x+1]的幾何意義是在數軸上找一點x，使它到-2和-1的距離之和最小.

圖4

由圖4可知，根據“兩點之間，線段最短”，當[-2≤x≤-1]時，[x]到-2和-1的距離之和最短，即[x+2+x+1]有最小值，最小值為1.

2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值

解法一：

當[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4]（如圖5）;

圖5

當[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2]，∴[3<-x+2≤4]（如圖6）;

圖6

當[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4]，∴[3≤x+4<5]（如圖7）;

圖7

當[x≥1]時，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5]（如圖8）;

圖8

∴[x+2+x+1+x-1≥3]， 當[x=-1]時，有最小值3.

解法二：[x+2+x+1+x-1]的幾何意義是在數軸上找到一點[x]，使它到-2，-1和1三個點的距離之和最小.

圖9

由圖9可知，根據“兩點之間，線段最短”，當[-2≤x≤1]時， [x]到-2和1的距離之和最短（即[x+2+x-1]有最小值3）;當[x=-1]時，x到-1的距離最短（即[x+1]有最小值0），所以當[x=-1]時，[x+2+x+1+x-1]有最小值，最小值為3.

3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值

解法一：利用絕對值的代數意義求解.

定義：使得[ax+b=0]的變量[x]的值為[ax+b]的 “零點”，即[ax+b]的零點為[-ba].

[x-2]的零點為2.

[x+1]的零點為-1.

[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零點分別是[-2]，[-1]，1，2，

（1）當[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x]，

∵[x<-2]，∴[-4x>8]，即原式[>8].

（2）當[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].

∵[-2≤x<-1]，∴[6<-2x+4≤8]，即 [6<]原式[≤8].

（3）當[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].

（4）當[1≤x<2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].

∵[1≤x<2]，∴[6≤2x+4<8]，即[6<]原式[≤8].

（5）當[2≤x]時，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x]，

∵[2≤x]，∴[8≤4x]，即原式[≥8].

∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6]，當[-1≤x≤1]時，有最小值6.

解法二：利用絕對值的幾何意義求解.

[x+2+x+1+x-1+x-2]的幾何意義是在數軸上找到一點[x]，使它到-2，-1，1和2四個點的距離之和最小.

圖10

由圖10可知，根據“兩點之間，線段最短”，當[-2≤x≤2]時， [x]到-2和2的距離之和最短（即[x+2+x+2]有最小值4）;當[-1≤x≤1]時，[x]到-1和1的距離之和最短（即[x+1+x-1]有最小值2），所以當[-1≤x≤1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值，最小值為6.

4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值

解法一：[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零點分別為[-2]， [-1]， [1]， [2]， [3].

（1）當[x<-2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3]，

∵[x<-2]，∴[-5x+3>13]，即原式[>13].

（2）當[-2≤x<-1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7]，

∵[-2≤x<-1]，∴[10<-3x+7≤13]，即[10<]原式[≤13].

（3）當[-1≤x<1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9]，

∵[-1≤x<1]，∴[8<-x+9≤10]，即[8<]原式[≤10].

（4）當[1≤x<2]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7]，

∵[1≤x<2]，∴[8≤x+7<9]，即[8≤]原式[<9].

（5）當[2≤x<3]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3]，

∵[2≤x<3]，∴[9≤3x+3<12]，即[9≤]原式[<12].

（6）當[3≤x]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3]，

∵[3≤x]，∴[12≤5x-3]，即原式[≥12].

∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8]，當[x=1]時，有最小值8.

解法二：利用絕對值的幾何意義求解.

[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的幾何意義是在數軸上找到一點[x]，使它到-2，-1，1，2和3五個點的距離之和最小.

圖11

由圖11可知，根據“兩點之間，線段最短”，當[-2≤x≤3]時， [x]到-2和3的距離之和最短（即[x+2+x-3]有最小值5）;當[-1≤x≤2]時，[x]到-1和2的距離之和最短（即[x+1+x-2]有最小值3）;當[x=1]時，[x]到1的距離最短（即[x-1]有最小值0），所以當[x=1]時，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值，最小值為8.

總結規律：

1.代數解法——零點分段法

思路：①找出絕對值的所有零點，把數軸分成若干部分進行分類討論.

②根據絕對值的代數意義，把所有的絕對值號去掉并化簡.

③根據所討論的x的范圍，求出化簡后的式子的范圍.

④綜合所有情況，得到原式的范圍，從而得出其最值.

（注意：求零點值時，必須先把零點值按大小排序）

2.幾何解法——數形結合法

[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值（[a1≤a2≤a3≤…≤an]）.

當n為奇數時，[x=an+12]處取最小值，即在n個點的中心點處;

當[n]為偶數時，在區域[an2≤x≤an2+1]處取最小值，即數軸被n個點分成n+1段的中心區域.

口訣：奇數點取中間點，偶數點取中間段.

（零點值按大小順序排序，處于最中間的零點值或區域即為代數式的值取最小值.）

探究二 未知數x系數不為1 的情況

遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情況，又將如何求解？

對于代數式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值問題，我們先將代數式轉化為一般形式：[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]（[a1≤a2≤a3≤…≤an]），然后通過上述方法求解.

如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2]，當[x=12]時，[x-2+2x-1]有最小值[32].

解絕對值的最值問題要從絕對值的幾何意義與代數意義兩方面去尋找著力點，重點是掌握求幾個絕對值之和的最小值的方法.絕對值幾何意義的導出是難點，在課堂上教師要留給學生充足的思考時間，以暴露學生的知識缺陷，通過問題引導學生聯想、猜想，拓寬學生的知識面，加深學生對知識的理解，培養學生的創新意識和發散性思維。教師在教學中要教給學生探索性方法，使學生了解知識的形成過程，并掌握更多的數學思想與方法，做到形數兼備、數形結合.這樣，課堂上往往能取得意想不到的效果.

（責任編輯 黃春香）