核心素養新視角下絕對值解題的多角度探究

摘 要：絕對值是初中數學的重要概念，相關知識難以理解且題目多變，解題方法多樣。文章從教學案例入手，展示了一題多解、一題多變等教學方式在絕對值內容講解上的具體應用，以及對絕對值知識相關內容和方法的拓展、延伸。這種絕對值解題的多角度探究不僅可以提高學生的解題效率，增強學生的解題能力，還能提升學生的邏輯思維能力和數學素養，培養學生的數形結合、轉化的核心素養。

關鍵詞：絕對值;多角度;數形結合;核心素養

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）09-0091-02

引言

數學學習的有效性是每位教師關注的焦點，如何讓習題講解有效、有深度、有延展性？這也是教師提高課堂效率，學生提高學習效率需要探究的問題。羅增儒教授曾說：“一個數學問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認識上的局限性。只有在尋得兩個或更多的解法之后，才會對問題的實質有真正的了解。”因此，對于一道題目，不同角度地思考很重要，這樣的解題方式會提升解題的品質，提高學習的效率，提升數學素養。

絕對值的幾何意義是指數軸上表示數a的點A到表示數b的點B之間的距離，用符號語言表示：AB=∣a-b∣或者∣b-a∣。首先，學生要理解的是距離是絕對值的含義。其次，學生要理解到某一點距離為幾的點在數軸上的位置有兩個，因此，在解絕對值這類題目的時候既要用到圖形思維，即要及時切換到數形結合的思想，又要學會用代數的方法解決。因此這部分內容用不同的方法難易程度各不同，學生如果用對方法就會輕而易舉解決問題，但這部分題目數形結合思想必不可少。形會讓數更直觀，數會讓形更具體。

下面筆者主要通過絕對值題目講解中的點滴感悟進行說明。

一、問題呈現

類型1：題目：在數軸上表示的數，離-1.2距離為3的點表示的數是? ? ? ? 。

本題是筆者在講蘇教版課課練時歸納題目類型時所發現的，原來課課練和試卷上的題目從本質上來說是同一道題，可以讓學生觸類旁通，因此，在講完題目后，筆者在復習時，將這幾題，用不同的形式歸納出來，讓學生探究，并且鼓勵學生在學習中歸納，分享不同解法，剖析題目中用的不同知識點，提升學生的思維品質，提高課堂效率。課后，筆者對有關絕對值解的幾道題目進行歸納和總結，并做了深入思考。

二、思路分析

第一種解題方法是數形結合法。絕對值的幾何意義就是指表示數x到-1.2距離為3的點，通過畫數軸以及絕對值的幾何意義知道有兩個點，一個在左邊一個在右邊。通過數形結合抽象成一個規律。

本人在教學中做了如下評析：

（1）學情分析：部分學生能想出這個方法，對于剛學習數軸的學生來說，做題想到畫數軸較難，因此部分學生不畫圖漏解現象嚴重。后期的學習中要加強學生的作圖能力。

（2）體現了數形結合的思想：利用這種方法解題體現了數形結合的思想，要求學生畫出數軸，在數軸上觀察出兩個解。

第二種解題方法是代數法。 右邊的數-1.2+3=1.8，左邊的數-1.2-3=-4.2，通過有理數的加法得出答案。

本人在教學中做了如下評析。

學情分析：學生觀察發現在左邊的數小了3個單位長度，在右邊的數大了3個單位長度，從而將有理數的加法歸納成代數方法。但這種方法的前提是學生學習了加減法。如果學生加減法的基礎不好，錯誤率會很高。

歸納總結的歸類思想：學生通過觀察，歸納總結數軸上點的平移規律。一個點向左移動幾個單位就是減去幾，向右移動幾個單位就是加上幾。簡單記憶，點的平移就是左減右加，這能夠為今后的數軸及坐標系中點的平移奠定了一定的基礎。

知識學習的方法缺點：在新授絕對值的定義的時候，這種方法不適合，適合已經學過有理數加減或復習的時候才可以用，對學生的歸納能力的要求較高。

三、變式拓展

根據絕對值的定義，這道題可以轉化成符號語言。

第三種解題方法是解絕對值方程 | x+1.2 |=3，

具體解題方法為：

x+1.2= ±3

x= ±3-1.2

x1=3-1.2=1.8

x2=-3-1.2=-4.2

本人在教學中做了如下評析：

學情分析：學生要熟悉互為相反數的兩個數的絕對值相等。學生對于這一點經常會遺漏。

方程知識的運用，用到了移項，學生要注意移項變號。

要分類解出兩個解。

這一題的不同解法主要讓學生理解數學題的解法不止一種，而不同時期可用不同方法，對于知識的鞏固和靈活運用都有著舉足輕重的意義。只有將一道題研究透徹，才會觸類旁通，舉一反三。這道題如果讓學生做，學生容易漏解。既然是數軸上的點，教師就要告訴學生畫圖非常重要，畫了圖，生不容易漏解。第三種方法需要學生理解的是絕對值的定義，其次會把絕對值方程轉化成一元一次方程，從而理解劃歸的思想。在對這一道題目解答過程中，學生通過一題多解從點線面不同角度學習數學知識，復習了各個知識點，從中了解到不同的表達方式，其實可以劃歸為一類題的解法，從而感覺到變式練習的重要性、深度理解知識的重要性。

類型2：題目：|x-1|+|x-3|的最小值是? ? ? ? ? ? ? 。

解法1：借用數軸，數形結合思想

本人在教學中做了如下評析。

學情分析：這種方法學生很難想到，因為用到數軸，學生要想到把數軸畫出來，對絕對值定義的理解較難，要把一個代數的問題劃歸成圖形，學生不太會轉化，因此理解后解題簡單，但學生較難鞏固。

數形結合思想和轉化的思想：主要利用絕對值的定義，就是距離。理解|x-1|+|x-3|表示的含義就是x到1和3的距離和，轉化成數軸上1和3之間的距離。學生能夠從距離角度理解絕對值，利用數軸只要觀察就可以得到最小值。

解法2：借用課課練上的課后題結論， |a |+|b|≥

|a+b|，其中a，b同號或者同時為0，

|x-1|+|3-x|≥|x-1+3-x|

|x-1|+|3-x|≥2

x-1﹥0，3-x﹥0，所以最小值是2。

本人在教學中做了如下評析。

學情分析：這種方法學生很難想到，因為要用到學過的習題中的結論，七年級的學生剛學新知識，歸納和轉化能力有限。

代數思想轉化成定值：通過利用|a|+|b|>|a+b|成立的條件，消去x得到定值，可以得到最小值。

這種思維方式的難度太大，學生只能拓展思維，不能鞏固和理解。

解絕對值方程、求最值的方法很多，合理地利用方法，可以提高解決題目的效率，因此，在以上題目的拓展中，筆者讓學生認識到的是解題一定要學會從不同角度思考問題，并選用簡單直觀的方法解題，學會數形結合、轉化的思想。另外，在做題時，讓學生從過不同角度解題，鞏固不同的知識點，如相反數、絕對值、解方程的方法、數軸上點平移規律，多角度解題，多方面鞏固，做到點、線、面地復習知識點，從而在多角度的思考問題中，提升數學做題的靈活度，激發學生數學核心素養和鉆研問題的能力，提升數學題閱讀題目的興趣。

結語

數學思想方法教學的關鍵在于讓學生把握核心概念，準確應用不同的解題方法，明確不同方法的解題范圍。數學教學的核心就是在數學概念、方法、原理下，采用不同的概念、方法等教學方式，讓學生學會用數學的語言觀察、解決生活中的數學問題，進一步認識生活中的數學。著名數學家華羅庚先生曾經說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休。”絕對值知識雖然在初中數學中屬于重要的知識，在解題過程中選擇不同的解題方法、解題思路，會產生不同的求解方式，內容方法的拓展、延伸較多。選擇不同的方法、轉化思想，解題難度也會有明顯的區別。最佳的方法會提高學生的解題效率。因此多角度地研究問題有利于提升學生的數學修養，提高學生的解題效率，從而提升思維品質。教師要鼓勵學生采用不同的方法解題，增強學生的數學核心素養。學生從不同角度類比、歸納，學會用合理的方法解決問題，可以進一步體現出數學的核心素養。數學核心素養就是學生能夠圍繞基本概念建構數學模型，利用數學方法合理解決問題，因此在數學教學和實踐活動中重要的是讓學生掌握數學思想方法，這是解決數學問題的核心和靈魂。學生在解題過程中要通過反復地類比、推理、遷移出新的方法。只有在數學教學中學會一題多解、一題多變等，提高他們運用數學思維方法的能力，他們才能最快地找到合適的方法。教師在教學中要幫學生歸納出數學方法適用的范圍，讓學生在同一主題下、不同的情境中學會解決問題的不同方法，豐富解答數學問題的情景體驗，區分數學知識間的聯系，培養學生的思維，從而提升學生創新、探索等數學思維能力。

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作者簡介：范萍莉（1978— ），女，陜西周至人，中學一級教師，本科，研究方向：數學教學。