聚焦抽象 落實素養

邢虎

[摘? 要] 文章以高中“函數單調性”概念教學為例，探究了數學抽象素養培養的策略. 認為高中數學概念教學中，應聚焦數學抽象素養，以關鍵概念的形成為核心，引領學生在親歷探究數學概念知識的形成過程中積累從具體到抽象的活動經驗，培養和發展數學抽象素養，提升理性思維.

[關鍵詞] 高中數學;抽象素養;函數單調性;教學

作為六大核心素養之首，抽象素養能夠促使學生從數學問題中舍棄非數學的屬性，運用符號、數量、圖形等數學語言描述實際生活情境中抽象出來的數學規律，從而達到更好地掌握數學本質的目的. 而在當前高中概念教學中，教師往往忽視了基于發展學生數學抽象素養的視角去引領學生數學化地思考和探索，致使學生從實際情境中抽象出數學問題的能力較弱，在將有關問題用數學語言表達并用所學知識解決問題方面并不理想. 因此，高中數學概念教學中，應聚焦數學抽象素養，以關鍵概念的形成為核心，引領學生在親歷探究數學概念知識的形成過程中積累從具體到抽象的活動經驗[1]，培養和發展數學抽象素養，提升理性思維.

[?]高中數學抽象素養培養策略

1. 創設問題情境，抽象數學問題

為了拓展學生的認知領域，將所學知識與生活經驗有機結合起來，教師應立足于學生思維的最近發展區創設問題情境，并深刻挖掘問題情境中所蘊含的抽象素養，鼓勵學生運用數學的思想和方法表達和理解問題情境，從而有效地將學生帶入生活化、社會化、科學化的學習氛圍之中.

例如，在“函數的單調性”創設問題情境時，教師結合學生的生活實際，為學生呈現了某一地區24小時內的氣溫曲線圖，并通過純幾何表述、幾何強代數弱、代數強幾何弱、純代數化表述引導學生觀察曲線圖，逐漸抽象出函數值是如何隨著自變量的變化而變化等函數單調性內容.

2. 巧用數形結合，促進抽象概括

教師應摒棄灌輸式教授方式，注重“數”與“形”描述事物本質的兩個方面，引導學生不斷在抽象思維和形象思維之間轉換，并且結合不同的例證，在分析和比較的基礎上抽象出數學知識的本質屬性，從而實現復雜問題簡單化、簡單問題具體化的目的.

例如，“函數單調性”是說明函數在某一區間內的變化規律這一論述比較抽象，針對這種情況，教師可以從學生較為熟悉的簡單函數入手，從“形”出發引導學生直觀得出函數圖像的“上升”或“下降”就是體現了函數的單調性. 在此基礎上，進一步引導學生追本溯源思考如何用代數表示上升或下降，從而抽象出函數單調性的本質屬性.

3. 善用符號語言，發展數學抽象

數學符號語言本身相當抽象，而在學生得到數學知識的本質屬性之后，教師還應將實例中表述屬性的自然語言及時轉化為數學語言，明確說明每個符號所表示的含義，從而達到發展數學抽象素養的目的. 值得說明的是，數學抽象素養的培養是有長期性的，為了使學生理解和加強符號語言的本質屬性，促使學生在今后學習其他符號中產生正遷移，教師還應注意控制非本質特征的數量和強度，并且注重變式的運用. 例如，在組織學生學習“函數單調性”時，教師應明確向學生強調f（x）、自變量x、f（2020）等各個符號的意義，理解應用符號語言的便捷性.

4. 運用正反例，促進數學抽象

為了將抽象的數學知識變成存在于學生自己思維中的具體知識，教師還應合理地利用正反例，有效明確概念的內涵和外延. 值得注意的是，在概念形成之前，教師應盡可能地呈現正例，隨著概念的學習的深入，為了排除非本質屬性的干擾，教師應多呈現反例. 例如，在組織學生學習“函數單調性”時，教師應將在區間內的任意自變量這個關鍵字與感性材料建立聯系，運用正反例幫助學生準確理解函數的單調性和單調區間.

5. 注重概念聯系，提升數學抽象

為了促使學生從多個角度上看待問題，教師應強化抽象知識的應用，結合相關的練習題目讓學生辨別數學抽象結果，并及時對整個抽象過程進行反思總結. 例如，在具體解題之前，教師應注重對相關題目的分析，促使學生尋找出題目中所隱藏的隱含條件，使學生對抽象概括的能力得到進一步提高.

[?]基于數學抽象素養的高中數學教學實踐

僅有相關理論是不夠的，而函數的單調性一直是歷年高考的重點，不僅糅合了數形結合思想，而且函數的單調性概念比較抽象，特別是在應用數學符號將自然語言上升到定義時比較困難. 因此，基于以上教學策略，為了強化理論聯系實際，本文以“函數的單調性”為例進行深入探究.

1. 情境導入，激發求知欲

為了讓學生充分感受數學源于生活而又服務于生活，教師呈現了如下學生較為熟悉的生活情境：某地一天氣溫T隨著時間t變化的圖像如圖1所示，要求學生仔細觀察圖像，并引導學生通過以下幾個步驟逐漸抽象出這個幾何情境，了解氣溫T隨時間t變化的大致規律.

第一步（幾何表述）：請問什么時間氣溫達到最高，什么時間氣溫達到最低，最高氣溫和最低氣溫分別是多少攝氏度.

第二步（代數少幾何多）：根據圖像請說出8時、16時、24時的具體溫度.

第三步（幾何少代數多）：引導學生觀察曲線在t∈[0，4]時呈下降趨勢，在t∈[4，12]時呈上升趨勢，在t∈[12，24]時又呈下降趨勢.

第四步（純代數）：在t∈[0，4]，t∈[12，24]時，函數值T隨著自變量t的增大而減小，在t∈[4，12]時，函數值T隨著自變量t的增大而增大.

2. 構建新知，形成概念

為了讓學生體驗函數單調性概念的形成過程，自主感受新知的抽象過程，教師應從學生已學函數的幾何直觀入手（如圖2至圖4所示），再結合情境導入的溫度圖像，引導學生從“形”的角度描繪函數f（x）隨自變量x的變化規律. 在此基礎上，要求學生從數的角度精準刻畫出上升、下降等“形”的規律，從而引出函數的單調性，并要求學生應用準確的語言表述增函數、減函數的定義.

隨后，要求學生觀察如圖5所示的函數圖像，并根據上述所學知識，判斷該函數在定義域內是否是增函數、是否是減函數，進而幫助學生結合圖像進一步剖析概念，厘清函數單調性是針對函數的某個區間而言的，并且對于區間內的自變量x的要求是“任意取值”.

3. 學以致用，強化理解

概念的應用需要實踐，為了進一步強化課堂上對函數單調性的理解，培養學生應用所學知識解決實際問題的能力，教師還應通過如下類似的練習題幫助學生總結出判斷函數單調性的方式，即“取差—變形—判號—得出結論”，從而不斷強化學生的抽象素養.

如：已知函數f（x）=x+，試證明f（x）在區間（2，+∞）上是單調遞增.

同時，為了強化變式和構造反例訓練，幫助學生有效體驗函數單調性概念符號化的建構過程，加深由直觀到抽象的認知過程，教師還應引導學生通過以下練習題理解函數單調性的內涵和外延.

如：對下列說法進行判斷，請畫圖說明理由.

（1）已知函數y=f（x），若f（3）>f（4），則能否判斷該函數是單調遞減函數，能否說明該函數一定不是單調遞增函數.

（2）x為區間（0，+∞）上的任意實數，若恒有f（x）>f（0），則該函數是否在區間（0，+∞）上單調遞增.

4. 歸納總結，提高認識

以函數單調性概念形成過程中的收獲為主題，要求學生總結出增函數（減函數）圖像的特點，以及如何應用定義證明函數的單調性. 同時，學生對于函數單調性的理解不可能一次性完成，教師還應設置以下練習題目，鼓勵學生自行完成.

如：（1）已知函數y=f（x），當0<1<2，恒有f（0）

（2）畫出下列函數圖形，并指出該函數的單調區間和單調性：①y=-x2+2;②y=（x≠0）.

（3）已知函數y=f（x），若該函數在區間（-2，3）上是增函數，則函數y=f（x+5）的遞增區間是什么？

[?]結語

總之，抽象素養的培養并不是一種簡單的傳授和給予，而應引領學生在親歷數學化的過程中進行自我體驗、自我感悟、自我升華[2]，獲得理解性掌握，并通過創設問題情境、巧用數形結合、善用符號語言、注重概念聯系等方式，根據學生的知識現狀、認識水平、心理特征精心打磨，只有這樣，才能使高中數學課堂散發出迷人的光彩，才能促使數學抽象素養在高中數學教學中生根開花.

參考文獻：

[1]? 莊麗育. 立足數學核心概念，發展數學抽象素養——以“整式的規律探究”為例[J]. 福建中學數學，2020（01）.

[2]? 胡昌亮. 高中生數學抽象素養培養的實踐研究——基于導數教學的思考[J]. 數學教學通訊，2020（12）.