一線三等角幾何模型在數(shù)學(xué)解題中的探究

摘 要：數(shù)學(xué)在初中教育中占據(jù)著非常重要的地位，幾何是數(shù)學(xué)最基本的研究內(nèi)容之一。因此，初中數(shù)學(xué)教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維和幾何能力。近年來，一種幾何基本模型隨著江蘇省的一道中考題受到了人們的廣泛關(guān)注——一線三等角幾何模型。本文將從以下三點(diǎn)闡述一線三等角幾何模型在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何模型;一線三等角;解題探究

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2021）17-0061-02

引 ?言

數(shù)學(xué)模型是指把一種事物的特征和關(guān)系高度概括抽象，用數(shù)學(xué)中獨(dú)有的語言描述出來的結(jié)構(gòu)[1]。數(shù)學(xué)模型對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提出了更高的要求，加之新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感度和符號、空間、集合、運(yùn)算等觀念、思想和能力，因此，數(shù)學(xué)模型成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。教師在教學(xué)中應(yīng)善于從整體出發(fā)，重點(diǎn)講授建立數(shù)學(xué)模型和求解的過程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其中的模型思想。

一、引導(dǎo)拓展探究

2011年江蘇省鹽城市的一道中考題引發(fā)了教師的思考。教師在教學(xué)一線三等角幾何模型時可以將這道問題呈現(xiàn)給學(xué)生，然后讓學(xué)生展開相應(yīng)的探究，最后進(jìn)行拓展延伸。整個過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入，使學(xué)生對這一模型的理解呈螺旋式的上升趨勢，進(jìn)而逐漸掌握這個模型，題目如下所示：

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A'C'D，如圖1所示，將△A'C'D的頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A'）、B在同一條直線上，如圖2所示。

觀察圖2可知：與BC相等的線段是 _________，∠CAC'=_________°。

問題探究：

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

拓展延伸：

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

問題探究的部分，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況選擇出題。在△ABC中，AG與BC相互垂直交于點(diǎn)G，在此基礎(chǔ)上以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，以AB、AC兩條邊為直角邊，向三角形ABC外作等腰直角三角形，過點(diǎn)E、F做射線GA的垂線（見圖3），垂足分別為P、Q，讓學(xué)生自主探究EP和FQ之間的關(guān)系。之后，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況和思考情況進(jìn)行拓展延伸。在解析時教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行情景觀察，根據(jù)兩個三角形相似，非常容易就可以得到兩條相等的線段及一個直角，這樣便可以順利開展教學(xué)。問題探究部分的題目類似，同樣運(yùn)用相似三角形得到兩條相等的線段，進(jìn)而同理得到另外兩條相等線段，最后就可以得出結(jié)果。拓展延伸部分的教學(xué)和解題方法同上。在此過程中，教師要注意先給出學(xué)生第一道題目，然后讓學(xué)生獨(dú)立思考，判斷學(xué)生的答題情況后再給出問題探究的題目。因此，教師需要提前準(zhǔn)備多道備選題目，以便即時做出調(diào)整。但三個問題之間的難度一定是逐漸遞增的。學(xué)生能夠不斷突破自己的心理認(rèn)知，從而展現(xiàn)自己的能力。教師可以給學(xué)生畫出具體的圖形，也可以讓學(xué)生自己畫，這樣可以考查學(xué)生的空間幾何能力，讓學(xué)生自己動手操作，從而提高數(shù)學(xué)解題的樂趣，體現(xiàn)自主探究的思想。在解題之前，教師也可以讓學(xué)生嘗試猜想，在猜想的基礎(chǔ)上探尋解題過程，可以大大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和幾何的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

二、建立相應(yīng)的模型

在問題情境與拓展的基礎(chǔ)上，教師要給學(xué)生建立一線三等角的模型，讓學(xué)生腦海中可以對這個模型形成明確的認(rèn)知，并對這個模型進(jìn)行整體上的講解，最后進(jìn)行變式的拓展和應(yīng)用。在拓展和應(yīng)用部分，教師可以給出比較經(jīng)典的例題，讓學(xué)生活學(xué)活用。

三、構(gòu)造轉(zhuǎn)化模型

圍繞一線三等角模型的題目非常多，而且難度較高。因此，基本的模型學(xué)習(xí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。教師可以在上課時對例題進(jìn)行精心講解，對學(xué)生的思路進(jìn)行引導(dǎo)。

教師可以讓學(xué)生觀察圖形，然后通過折疊的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)三個直角三角形，可以構(gòu)成一線三等角的基本模型。學(xué)生發(fā)現(xiàn)一線三等角后便能順利解題。教師點(diǎn)題式的講解，能夠?yàn)閷W(xué)生解題提供良好的思路，可以讓學(xué)生嘗試用鉛筆在原圖形上面畫出一線三等角模型，然后在完成第一道題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)第一題的結(jié)論可以幫助解決第二道題，但第二道題對學(xué)生來說有一定的難度。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：求解三角函數(shù)值可以轉(zhuǎn)化為什么？學(xué)生認(rèn)為可以轉(zhuǎn)化成線段比，可以利用相似和折疊的條件，但還要學(xué)會引入未知數(shù)。經(jīng)過這道題，學(xué)生基本上對這一模型有了更為深入的了解，但與靈活運(yùn)用模型仍存在一定差距。因此，接下來教師可以給學(xué)生出一些隱形模型的題目，進(jìn)行構(gòu)造轉(zhuǎn)化。2011年的安徽卷、浙江卷中也出現(xiàn)了類似的題目，這道題的得分率非常低，但考查的也是一線三等角模型。如今，中考題注重考查學(xué)生的綜合能力，將其與二次函數(shù)、全等三角形等知識點(diǎn)相結(jié)合，這就要求教師善于總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生徹底掌握一線三等角模型。

結(jié) ?語

綜上所述，在教學(xué)一線三等角模型時，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，切忌過分強(qiáng)調(diào)建模的結(jié)果而忽視過程。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷探索，避免學(xué)生過分依賴某幾種解題方法，要使學(xué)生學(xué)會舉一反三，練就火眼金睛。與此同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，對學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和方法不斷內(nèi)化，直至熟練掌握，進(jìn)而延伸拓展到其他內(nèi)容，鞏固基礎(chǔ)知識，這樣才可以真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

[參考文獻(xiàn)]

李廣偉.注重基本圖形教學(xué) 提升學(xué)生解題能力：以“‘一線三等角’基本圖形及其應(yīng)用”教學(xué)為例[J].江蘇教育，2017（43）：36-37.

作者簡介：陳麗冰（1974.9-），女，福建莆田人，本科學(xué)歷，一級教師，研究方向?yàn)閹缀文Ｐ徒虒W(xué)。