針對“數學運算”的課堂教學探索

吳穎康

摘? 要：執教教師以指對冪運算為內容載體，針對數學運算素養進行了有益的課堂教學探索. 在前期指對冪運算測試的基礎上，該節課通過對測試題分類、規范地進行指對冪運算操作、針對指對冪運算的糾錯和改正等三個主要的數學任務，提煉并闡述數學運算的內涵，鞏固和加強對數學運算內涵的理解和運用. 該節課的教學過程遵循活動原理，即教師指導下的學生嘗試與鼓勵，為學生提供了較多時間和機會進行探究、表達和分享.

關鍵詞：數學運算;核心素養;指對冪運算

以運算為中心、具有程序性和機械性的算法化模式和以演繹推理為特征的公理化模式是推動數學發展的兩條線索. 我國學校數學課程一直高度重視數學運算，從原來的三大能力到現在的六大核心素養，數學運算始終占有一席之地. 自《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）提出包括數學運算在內的六大數學學科核心素養以來，如何在課堂教學中落實數學學科核心素養始終是數學教育教學領域關心的重點問題.

數學學科核心素養的培養不能脫離具體的知識內容. 在進行教學設計時，需要分析具體教學內容背后所反映的數學學科核心素養，將抽象的素養轉化為與具體教學內容緊密聯系的教學目標，并通過恰當的數學任務和教學法在課堂中加以落實. 從具體內容的學習中形成的數學學科核心素養（或者大觀念、思想方法等），則應被用來進一步指導和促進相關新內容的學習和理解. 也就是說，從具體的知識內容到抽象的數學學科核心素養，再用抽象的數學學科核心素養去指導具體內容的學習，這是促進數學核心素養形成和發展所應經歷的過程. 執教教師的這節課就是這樣一個關于數學運算素養從具體到抽象、再用抽象指導具體的教學案例.

一、目標定位

雖然這節課是在一次關于指對冪運算的測試后進行的，但它并不是一節傳統意義上的測試卷講評課. 筆者認為這是一節以指對冪運算為內容載體的、以數學運算素養（能力）為主題展開的研究課.

這樣說的原因主要基于以下三點.

第一，執教教師在研讀《標準》和解讀數學運算能力的基礎上，構建了數學運算能力水平框架. 該水平框架包括三個維度，分別是運算對象、運算規則和運算過程，每個維度下有若干類別. 本節課中關于指對冪運算的測試卷就是依據該水平框架編制和開發的. 這不僅在一定程度上保證了測試卷的質量，也為測試結果的分析提供了方向.

第二，本節課的學情分析是建立在學生測試和問卷調查的基礎上的，用數據說話，準確有據，有利于開展針對性教學. 一方面，執教教師對學生在三個維度上的得分率進行了統計，了解到學生在運算過程上的表現最為欠缺;另一方面，執教教師還通過問卷了解到學生運算錯誤歸因的典型回答是“粗心”“馬虎”和“不知道怎么計算”. 這說明學生并沒有從數學運算的本質出發梳理自己的運算錯誤. 這些信息有助于教師確定本節課的教學難點和教學策略.

第三，本節課并不是要就題論題地分析測試題，而是旨在提煉數學運算的構成要素和涉及的數學活動，明確數學運算的內涵，為學生分析審視指對冪的運算，甚至其他的數值運算和符號運算提供一套話語體系，即“明晰運算對象，依據運算法則，完成運算過程，解決數學問題”，并用這套話語體系來表達和交流指對冪運算的過程和運算中出現的問題.

二、數學任務

本節課的數學任務主要有三個：第一，學生以小組合作的方式對測試題進行分類;第二，師生共同完成一道指對冪的運算題;第三，學生對教師給出的測試卷中的錯誤解答進行糾錯并分析錯誤原因. 這三個任務貼近學生的數學現實，且具有較好的連貫性.

任務1的設置目的在于幫助學生從具體的指對冪運算中提煉數學運算的構成要素和涉及的數學活動，形成對數學運算內涵的初步理解，掌握“明晰運算對象，依據運算法則，完成運算過程，解決數學問題”這一用于描述數學運算的話語體系. 任務2通過師生問答和教師板演規范地呈現了如何在一道具體的指對冪運算題中明確運算對象，依據運算法則，完成運算過程. 該任務是對數學運算內涵的運用和深化，抽象的數學運算內涵在這道問題的解答過程中具體化了，學生對運算對象、運算法則和運算過程的含義有了操作層面的認識和感受. 如果說任務1是從具體的指對冪運算的測試題中抽象出數學運算的內涵，那么任務2就是將抽象出的數學運算內涵作為指導原則運用到具體的指對冪運算題的解決中. 任務3有兩個子任務，第一個子任務是讓學生糾正兩道指對冪運算題中的錯誤，第二個子任務要求結合同一位學生在涉及同一個運算法則的兩道運算題中的不同表現，用聯系的眼光診斷該學生的錯誤原因. 該任務要求學生運用數學運算的內涵，審視和分析指對冪運算中的錯誤，并進行合理歸因，是因為運算對象辨識不清，還是運算規則混淆，抑或是運算過程不規范出現過失等，從而幫助學生明確提高自身運算能力的改進方向. 如果說任務2是用數學運算的內涵規范指對冪運算的解題過程，那么任務3則是用數學運算的內涵反思矯正指對冪運算中的錯誤.

總的來看，本節課的三個任務中，任務1和任務3分別涉及分類和反思的思維活動，對學生的認知水平要求較高. 盡管任務2是一道指對冪運算的常規題，但其用意是從數學運算內涵的視角，分析和呈現數學運算的規范化過程，在整節課中同樣具有重要作用. 同時，這三個任務較好地處理了具體的指對冪運算和抽象的數學運算內涵之間的關系，把數學運算本身作為了可教可學的獨立教學內容.

三、教學法

顧泠沅先生指出，我國的數學課堂在長期的改革歷程中逐漸積累并形成四條基本教學原理：讓學生迫切而有自信地學習——情意原理;針對不同學生有層次推進的教學——序進原理;教師指導下鼓勵學生的嘗試與探索——活動原理;通過作業和輔導及時反饋并改進教學——反饋原理. 這四條基本教學原理在執教教師的課上或多或少都有所體現，其中最為明顯的是活動原理. 教師要在課堂教學中設計有意義的數學任務，在思維關鍵處設疑啟發，而學生的嘗試與探索則強調要充分發揮學生的自我意識和主觀能動性，確立學生在學習過程中的主體地位，讓不同水平的學生共同參與、獲得發展.

在本節課中，執教教師根據學生已有的知識經驗基礎，精心設計了如上所分析的三個教學任務. 在教學實施的過程中，學生參與度較高，有較多時間和機會進行探究、表達和分享，課堂氛圍輕松活躍. 在時長約45分鐘的課堂教學中，有約28分鐘用于學生的討論、分享和展示（任務1，17分鐘;任務3，11分鐘），有約8分鐘用于師生問答共同完成任務2的指對冪運算題，剩余的9分鐘則用于教師的引入、講解（包括任務1數學運算內涵的呈現和解釋），以及最后的小結和作業布置. 盡管學生活動在整節課中占據了大部分時間，教師講授的時間相對較少，但教師實際上一直在關注學生的學習表現，并能據此做出相應的教學調整. 例如，在進行任務1，即對測試題進行分類的小組活動時，執教教師在巡視中發現有的小組從指數、對數等知識內容的角度對測試題進行分類，并不符合預設的對數學運算內涵的探索方向. 于是，執教教師讓討論方向符合預設的小組代表分享他們小組是如何對測試題進行分類的，這一干預有助于全體學生明確探索方向，為提煉數學運算的內涵鋪設臺階、打下基礎.

四、問題討論

就本節課的設計和實施而言，有以下兩個問題可供進一步探索. 第一，需要明確指對冪運算的測試題與構建的數學運算能力水平框架之間的細目關系，即每道測試題考查了數學運算能力水平框架中哪個維度下的哪個類別？這道測試題真的考查了該類別嗎？該類別還可以通過其他測試題來考查嗎？等等. 換言之，即要通過科學手段建立測試卷的信度和效度，使測試卷的結果能如實反映學生在指對冪運算上的表現. 第二，該堂課是以指對冪運算為載體，將數學運算的內涵本身作為獨立教學內容的教學嘗試. 盡管我們從目標定位、數學任務和教學法這三個方面對本節課進行了分析和肯定，但該節課的實際教學效果究竟如何還得學生說了算. 學生明白數學運算的內涵了嗎？他們會運用數學運算的內涵進行運算操作和反思糾錯了嗎？數學運算內涵的顯性化與學生實際的數學運算能力之間有關系嗎？這種關系有多大的關聯強度呢？這些問題需要通過設計測試卷和訪談提綱，在數據收集和分析的基礎上獲得解答，而這些問題的解答應該有助于教師反思和改進本節課的教學設計和實施.

如果我們把數學運算從指對冪運算拓展到更大范圍的數學內容中加以考慮，則會出現更多值得討論的問題. 例如，如果從數的運算延拓到符號的運算，那么以數學運算為主題的課堂教學的目標定位、數學任務和教學法會有什么不同？如果從針對具體對象的運算延拓到針對抽象對象（如抽象函數）的運算，那么又該如何進行教學呢？更為寬泛的問題還包括：該如何來理解運算本身？運算作為一種對象，它在數學課程中發生、發展的過程是怎樣的？數學運算的學習進階又是怎樣的？希望這些問題能引發數學教育教學工作者的思考和研究，以期達到拋磚引玉的效果.

參考文獻：

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