基于HPM的“雙曲線及其標準方程”教學設計及其分析

吳夕鳴

【內容摘要】雙曲線定義及其標準方程是中學數學的重要概念，也是學生學習的難點內容。通過HPM的適當引入和教學，能夠加強學生對雙曲線軌跡定義和截線定義的聯系認識，從而提高學生解析幾何的直觀想象、數學運算的核心素養。

【關鍵詞】數學史 雙曲線概念 核心素養

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出“數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應適當反應數學的歷史、應用和發展趨勢……幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。”[1]將數學史融入數學教學之中，是培養學生數學素養的重要途徑。

然而由于教學的壓力和對數學史認識的缺乏，一些教師很少將數學史融入課堂教學，或者僅僅是通過對數學人物和故事的簡單介紹，未將其中所蘊含的數學發展思想傳授給學生。例如，在“雙曲線及其標準方程”的教學中，教師往往通過“拉鏈法”引入第一定義，再采用類比橢圓方程的“二次平方法”推出標準方程。采用上述方法固然正確，但可能引起學生對雙曲線定義原來的疑惑，以及之后對第一定義和第二定義的脫節，推導方程的計算過程也較為機械。針對以上問題，筆者通過HPM的角度，將歷史中出現的雙曲線定義和方程的推導方法進行挖掘和提煉，結合日常教學經驗，對雙曲線及其標準方程這一內容進行教學設計，以期望取得更好的教學效果和相關思想方法的滲透。

設計意圖

圓錐曲線是一個古老的話題。在1830-1969年間出版的英美早期解析幾何教科書中，多達93種對雙曲線進行了不同形式的推導。在教科書中主要出現雙曲線的4種定義方式，其中，通過旦德林雙球模型來揭示雙曲線的定義，其中蘊含的知識皆有助于培養學生的直觀想象和邏輯推理。方程推導方法涉及幾何、代數、三角等多領域，蘊含大量數學知識。因此，HPM視角下的教學設計可從以上方面入手。

學情分析

學習本節之前，學生已經掌握了橢圓的定義和標準方程的推導，橢圓的定義推導過程中向學生介紹了旦德林模型推導。本節課主要是要通過類比橢圓的旦德林雙球模型推導雙曲線定義，以及在標準方程的推導上選擇較為巧妙的方法較少計算量。

教學過程

（一）復習回顧，引入課題

問題1：在上幾節課中，我們已經學習了橢圓的定義以及其標準方程。在定義的推導中，我們感受到了古人的智慧，并通過旦德林雙球模型，連接了橢圓的軌跡定義和截線定義。請先回憶一下，我們是如何通過旦德林模型，推導出了橢圓的軌跡定義呢？

問題2：橢圓的軌跡定義是什么？截線定義是什么？標準方程是什么？

設計意圖：通過回顧，讓學生回憶通過旦德林模型推導橢圓的定義推導過程，為之后通過此模型類比得出雙曲線定義做鋪墊。在推導過程回顧的基礎上，再加深橢圓定義和標準方程的理解。

（二）類比橢圓，生成定義

問題3：雙曲線的截線定義在第一課中我們已經介紹過，古希臘人是如何截出雙曲線的呢？

問題4：回顧通過旦德林雙球模型得到橢圓的過程，即通過在圓柱得橢圓截面上下兩側放入兩個與截面相切的球，通過球的切線、切點性質得到長度的等價，從而得到橢圓上點軌跡的性質。那么，雙曲線是否可以設計類似的模型呢？

設計意圖：問題4教師需要對學生進行一系列引導。首先可以思考為何橢圓可以通過圓柱截出，雙曲線是否可以？若不可以，那么可以通過什么圖形得到？從而引導學生想到雙曲線截線得圓錐圖形。通過GeoGebra等幾何軟件，畫出圖形讓學生有一個直觀的認識。其次，通過橢圓模型的切點即為橢圓的焦點，通過切點切線性質得到PQ+PR=PE+PF，從而引導雙曲線的雙球模型如何放球？切點和切線之間有何關系？最后，可引導出雙曲線焦點性質： PF2-PF1=常數

問題5：通過上述模型得到了雙曲線焦點的性質，那么滿足這個性質的一定是雙曲線嗎？我們能夠通過這個性質在平面上機械的作出雙曲線嗎？

設計意圖：教師可以先回顧橢圓的機械作圖，然后用一根拉鏈，拉鏈兩邊的差為F1F2，以F1 ，F2為焦點作雙曲線，由此作出雙曲線，歸納出雙曲線的軌跡定義。歸納過程中，教師可以追問：“PF1-PF2=2a表示的軌跡是？定長等于F1F2怎么樣？大于F1 F2？小于F1F2？”從而加深學生對定義的理解。

（三）借鑒歷史，導出方程

問題6：橢圓有標準方程，我們是如何最簡單地建立出標準方程的呢？

問題7：怎樣建立雙曲線的方程呢？

設計意圖 通過類比橢圓標準方程的推導，確立建系、設點、列式、化簡的步驟，以及分析雙曲線圖像的對稱性質，得到雙曲線的軌跡方程，也更好的理解“標準”的所在。

問題8：如何化簡上述所得方程呢？有沒有更好的化簡方法呢？

設計意圖 學生已經在橢圓標準方程的學習中得到了一個化簡方法：移項后兩次平方。然而此種算法較為繁瑣。教師可以介紹Young（1830）采用的平方差法，由：

通過上述方法，拓寬學生的視野，在學有余力的情況下，還可以介紹洛必達的“和差術”方法來化簡。

問題9：雙曲線中的a，b，c有怎樣的等量關系呢？

問題10：焦點在y軸上的雙曲線方程是怎樣的呢？

設計意圖 通過橢圓的類比，得到雙曲線參數的關系，以及焦點在y軸上的方程，從而完成雙曲線定義和方程的概念生成。

（四）學以致用，運用方程

例1，求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

設計意圖 例1為常規題型，旨在讓學生進一步理解雙曲線的參數、標準方程的方法，教師給予板書書寫解題過程，并歸納一般求雙曲線方程的方法（待定系數）

對于例2，旨在讓學生進一步通過數形結合的思想來思考，由形助數，而不是一味地進行復雜的化簡。也讓學生進一步感受到數形結合的運用能讓解題如虎添翼。

對于例3，是數形結合的進一步運用，教師可進行適當分析，畫圖，板演一道后再進行相關變式練習。

總結與反思

（一）基于歷史，讓學習過程更自然

在雙曲線的教學中，教師一般是通過橢圓學習的類比思想，利用拉鏈法得出定值的結論，歸納出雙曲線軌跡定義，再利用二次平方法，化簡出標準方程。但是，拉鏈法的使用學生并不能很自然地想到，并且無法和雙曲線的截線定義聯系，從而有一定脫節，對之后的統一定義學習留有障礙。其次，方程的化簡方法也和第一課類似，無法提起學生的興趣，不利于學生深入理解雙曲線的知識。

在以HPM為基礎上，本節課依舊是通過橢圓類比，在學生已經有橢圓旦德林雙球模型知識的基礎上，再進行適當變化，可以讓學生對知識的獲取更加符合思維拓展的順序（歷史序）。其次，利用多媒體技術也可以增強學生的空間感官，讓學生充分探究。最后，利用旦德林雙球模型，將截線定義和軌跡定義統一起來，體現了數學知識的互相聯系。

（二）運用史料的方法更加多元化

以往教師在運用史料時，一般是對數學家、數學故事的補充介紹，只是增加了一些課堂的趣味性，但沒有將古人的數學思想融入課堂。以HPM為基點的教學，希望能將史料中的數學思維融入課堂，通過史料來解決一系列數學問題。本課的旦德林雙球模型，即是一種讓學生能夠更好接受圓錐曲線軌跡定義的方法，以形助數。而在算法中，古人的智慧也是無窮的，洛必達的和差術、Young的平方差法等，都是拓展學生計算思維的優秀案例。教師在基于書本的基礎上，拓展出更多巧妙地解法，可以鍛煉學生的數學思維，同時也能讓學生體會到數學的精妙，提高對數學的領悟。鼓勵學生再探究、再思考，加深對數學積極的情感態度。

（三）不足之處

本節課利用旦德林雙球模型，學生需要較強的空間想象能力。因此在教學的過程中，除了使用多媒體之外，教師還應研究如何讓學生能夠更好地想象出旦德林雙球模型。在化簡方程過程上，如何更加自然地想到平方差法，也是需要進一步探討的。

【參考文獻】

[1]教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2016：10+38.

[2]程琛.雙曲線的發生教學研究[D].華中師范大學，2014.

[3] 張佳麗.HPM視角下高中圓錐曲線的教學研究[D].江西師范大學，2018.

（作者單位：蘇州市第三中學校）