用由易入難的數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展

沈慶華

[摘? 要] 任何事物的發(fā)展都需要過程，思維的培養(yǎng)亦是如此，教學(xué)中切勿急于求成，一蹴而就，而應(yīng)由易入難逐層滲透，讓思維螺旋上升. 文章以“同旁內(nèi)角”的教學(xué)為例，運(yùn)用類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)對概念內(nèi)涵和外延的學(xué)習(xí)，以期培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維.

[關(guān)鍵詞] 過程;創(chuàng)新思維;全面發(fā)展

筆者以“圖中有幾組同旁內(nèi)角”為思維發(fā)展的主線，采用數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生經(jīng)歷了由易到難、由特殊到一般的過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

觀察特征，鞏固概念

眾所周知，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一環(huán)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著舉足輕重的作用，因此概念的學(xué)習(xí)不能以熟練背誦為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)重視概念的理解. 只有理解，才能掌握其本質(zhì)屬性，才能應(yīng)用其解決問題. 因此，在概念教學(xué)中，教師要從學(xué)情出發(fā)，采用不同的教學(xué)方法，以幫助學(xué)生鞏固概念.

例如，“同旁內(nèi)角”的概念過于抽象，學(xué)生理解起來有一定的難度，于是教師結(jié)合圖形讓學(xué)生去尋找、去觀察、去總結(jié)，從而領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性. 這樣不僅鞏固了概念，也讓學(xué)生對突破重難點(diǎn)有了信心.

問題1：圖1中有幾組同旁內(nèi)角？

生1：兩組，∠1與∠2，∠3與∠4.

師：說得很對，那么這兩組角有什么共同特點(diǎn)呢？

生2：它們都在EF同側(cè).

生3：它們在兩條線之間.

師：很好. 如果擦除構(gòu)成∠1與∠2以外的線，你覺得剩余的線最像哪個字母？

生4：像字母“U”.

師：很好. 看來以后多了一種驗(yàn)證“同旁內(nèi)角”的方法.

教學(xué)分析？搖 首先，教師設(shè)計(jì)了一個所有學(xué)生都夠得著的問題來調(diào)動學(xué)生的積極性，即尋找圖中的同旁內(nèi)角. 學(xué)生找到兩組同旁內(nèi)角后，教師的教學(xué)沒有結(jié)束，而是讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，并用自己的語言更加形象地總結(jié)其本質(zhì)屬性，讓學(xué)生自己理解概念，因?yàn)樽约豪斫夂图庸さ母拍顟?yīng)用起來會更加靈活. 此外，教師還讓學(xué)生用字母“U”來形象地體會同旁內(nèi)角，這不僅生動了課堂，還為以后觀察復(fù)雜的圖形做了鋪墊.

突破表象，豐富外延

要想充分理解和掌握概念，只理解其內(nèi)涵，而不懂其外延，那么對概念的理解可能存在偏差，從而引起錯誤. 概念的內(nèi)涵與外延是相輔相成、相互依賴的，只有同等對待才能準(zhǔn)確和全面地掌握概念.

問題2：圖2有幾組同旁內(nèi)角？

生5：根據(jù)上題的思路，AC，DE為兩線，BE為截線，可以得到∠ABE與∠E是一組同旁內(nèi)角.

生6：AC，DE為兩線，BD為截線，可以得到∠CBD與∠D是一組同旁內(nèi)角.

師：現(xiàn)在我們找到了兩組同旁內(nèi)角，是否還有其他同旁內(nèi)角呢？（大多數(shù)學(xué)生都找到了兩組，教師以問題為指引，讓學(xué)生再仔細(xì)觀察）

生7：∠DBE與∠E是不是也是一組同旁內(nèi)角呢？

師：請?jiān)敿?xì)說明一下.

生7：可以將DB和DE看作兩條線，把BE看作截線.

師：很好. 誰來總結(jié)一下圖2一共有幾組同旁內(nèi)角呢？

生8：一共有5組. ∠ABE與∠E是一組，∠CBD與∠D是一組，根據(jù)生7的思路，△DBE應(yīng)該有3組同旁內(nèi)角，所以總共5組同旁內(nèi)角.

教學(xué)分析 ？搖根據(jù)“問題1”的思路，學(xué)生輕松地找到了兩組同旁內(nèi)角. 由于學(xué)生對概念的理解局限于單一的兩條不相交的直線被一條直線相截的情況，而忽視了兩條直線相交的情況，所以在尋找△DBE中的同旁內(nèi)角時，陷入了思維定式. 這說明學(xué)生對概念外延的理解還不夠深入，思維僅停留于表象，而未關(guān)注其本質(zhì)，從而限制了思維的發(fā)展. 當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維定式時，教師應(yīng)適時地引導(dǎo)，并留給學(xué)生足夠的時間去體會，從而突破兩條直線不相交的局限. 因此，教師要在概念內(nèi)涵學(xué)習(xí)后，通過巧妙的變化，讓學(xué)生突破固定思維的束縛，充分地掌握其外延，加深學(xué)習(xí)的深度，拓寬學(xué)習(xí)的廣度，從而提升學(xué)生解決問題的效率.

類比歸納，化難為易

通過特殊發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)所必須具備的能力之一，有所發(fā)現(xiàn)才能有所收獲，有所收獲才能有所提高，這是學(xué)習(xí)所必須經(jīng)歷的過程.

例如，為了讓學(xué)生充分地掌握同旁內(nèi)角的外延，教師采用了類比法，即由三角形和四邊形的同旁內(nèi)角數(shù)量來推導(dǎo)n邊形有多少組同旁內(nèi)角，從而有效地將知識進(jìn)行串聯(lián)，化難為易，使知識學(xué)習(xí)更具程序化，使思維更具系統(tǒng)化，使學(xué)習(xí)變得更有趣.

問題3：請繪制一個三角形和一個四邊形，看看各有幾組同旁內(nèi)角. （有了上面外延的擴(kuò)展，學(xué)生很快有了答案）

生9：三角形有3組同旁內(nèi)角.

師：如圖3，我們將三角形和四邊形的各邊都延長，它們是不是就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的圖形了？（有上面題目的鋪墊，學(xué)生直接說出了三角形有3組同旁內(nèi)角，但是未對其內(nèi)涵有更加深刻的理解，此時教師及時進(jìn)行引導(dǎo)）

生10：四邊形有4組同旁內(nèi)角.

師：如果是多邊形，會有多少組同旁內(nèi)角呢？

生11：我猜多邊形有幾條邊就有幾組同旁內(nèi)角.

接下來，學(xué)生又繼續(xù)驗(yàn)證了五邊形和六邊形，證明了該猜想的正確性. 解決完“問題1”之后，學(xué)生對概念的外延有了初步的認(rèn)識，但未根深蒂固，在分析四邊形有多少組同旁內(nèi)角時產(chǎn)生了阻礙. 當(dāng)數(shù)學(xué)語言解答問題過于抽象時，筆者借助圖3，用數(shù)形結(jié)合思想，使試題變得更直觀，又將線段變?yōu)橹本€，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的圖形，從而使學(xué)生解決問題變得水到渠成. 當(dāng)學(xué)生得出三角形有3組同旁內(nèi)角、四邊形有4組同旁內(nèi)角之后，筆者讓學(xué)生探索多邊形有多少組同旁內(nèi)角. 借助類比、歸納等方法，學(xué)生總結(jié)出：若多邊形為n邊形（n≥3），則其有n組同旁內(nèi)角.

教學(xué)中，教師通過精心設(shè)計(jì)，運(yùn)用圖形化難為易，并運(yùn)用類比歸納、化特殊為一般等方法，讓學(xué)生充分體驗(yàn)了類比、歸納的意義，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維奠定了基礎(chǔ).

運(yùn)用變式，培養(yǎng)發(fā)散思維

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，可以有意識地添加或修改試題的條件，提升學(xué)生的應(yīng)變能力和應(yīng)用能力.

例如，為了激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，師生共同探究問題“若添加一條對角線，對同旁內(nèi)角的組數(shù)有何影響”，從而讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的知識發(fā)現(xiàn)新知識，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

問題4：如圖4，連接四邊形ABCD的對角線AC，圖中共有多少組同旁內(nèi)角？

師生共同分析：通過上面的問題，我們已經(jīng)知道四邊形有4組同旁內(nèi)角，增加一條對角線后，就相當(dāng)于增加了4個新角，而這4個新角與其同側(cè)相鄰的角組成一組同旁內(nèi)角，同時本身這4個新角也組成了2組同旁內(nèi)角，因此四邊形多加一條對角線就多了6組同旁內(nèi)角.

問題5：若是五邊形和六邊形，添加一條對角線后是否也增加了6組同旁內(nèi)角？

運(yùn)用歸納法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，任意多邊形增加一條對角線后都會產(chǎn)生4個新角，4個新角只能與其相鄰的角組成一組同旁內(nèi)角，因此4個新角會產(chǎn)生4組同旁內(nèi)角，加上4個新角本身構(gòu)成2組同旁內(nèi)角，因此n邊形增加一條對角線后共有（n+6）組同旁內(nèi)角.

教學(xué)中，采用師生共同探究的模式，可以有效地拉近師生的距離，探究從易到難、螺旋上升，能有效地發(fā)展學(xué)生的思維，同時運(yùn)用類比、歸納的數(shù)學(xué)方法，能使學(xué)生的思維得到全面發(fā)展.

運(yùn)用“跳一跳”，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

讓有能力的學(xué)生通過“跳一跳”來發(fā)展其創(chuàng)新思維，不僅是學(xué)習(xí)個體發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要. 只有通過“跳一跳”，才能讓學(xué)生的思維從解決一個最近發(fā)展區(qū)問題跳到下一個最近發(fā)展區(qū)問題，從而提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

問題6：若n邊形內(nèi)有一點(diǎn)，請將該點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連，則圖形有多少組同旁內(nèi)角？若該點(diǎn)在n邊形外，又有多少組同旁內(nèi)角？（可采用不完全歸納法進(jìn)行驗(yàn)證）

分析：結(jié)合上面的問題可以發(fā)現(xiàn)，若四邊形增加一條對角線，其增加2個三角形，而每個三角形有3組同旁內(nèi)角，于是兩個三角形有6組同旁內(nèi)角. 五邊形增加一條對角線，則將其分為一個三角形和一個四邊形，三角形有3組同旁內(nèi)角，四邊形有4組同旁內(nèi)角，但有1組重復(fù)，因此也是增加6組同旁內(nèi)角. 學(xué)生可以從這個思路出發(fā)，將n邊形分為多少個新的多邊形，用數(shù)多邊形同旁內(nèi)角的思路去解題，這樣會更加快捷. 該題比較復(fù)雜，不適合基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，可以讓有能力的學(xué)生“跳一跳”，從而不斷提升思維能力.

總之，無論解決簡單的試題還是復(fù)雜的試題，都要抓住試題的主要屬性，尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，通過總結(jié)和歸納構(gòu)建完整的知識體系，從而提高學(xué)生解決問題的能力.