高中數學應用題中最值問題的探析

李文娟

摘要 ：數值最大問題不僅是高中數學教育的重點，也是大學入學考試中出現頻率較高的重要考試點之一，但在其實際授課中，面臨著授課時間少、類型多、知識難、方法繁雜等問題。許多高中生對最有價值的問題類型缺乏全面認識，無法靈活地使用該方法解決問題。本文通過高中數學應用題中最值問題的解題步驟、與圓有關最值問題、與二次函數有關最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關最值問題、與概率統計有關最值問題等方面進行探析高中數學應用題中的最值問題。

關鍵詞 ：高中數學;應用題;最值問題

中圖分類號：G633.6;G434? 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2021）16-069

研究表明，在實際的教學過程中，學生對高中數學應用題中的最值解析興趣缺乏、得分點掌握不明、應用題解法存在誤區;此時，教師應在課堂教學中予以重點指導，注重啟發與探究雙管齊下，發揮教師課堂導學者的功能，以學生為主體，傳授知識的同時也要讓學生感受到數學文化，將思想滲透到教學中去，發散思維，研究多種解題思路，有效地提升學習成績。本文將從高中數學應用題中最值問題的解題步驟、與圓有關最值問題、與二次函數有關最值問題、不等式中最值問題、與幾何模型有關最值問題、與概率統計有關最值問題等方面來探析高中數學應用題中的最值問題。

一、高中數學應用題中最值問題的解題步驟

1.審題

審題是高中數學應用題中最值問題解題步驟的第一步。審題是解決最值問題的開端也是必要的關鍵點。高中數學應用題的題目大多都很復雜，文字內容較多，高中學生在解題時一定要認真審題，不要讀錯題目的含義，要明確題目中的已知條件、已知結論以及所有數字之間的聯系。教師在平時可以通過一些方法來培養學生的審題能力，例如“引導高中學生多進行課外閱讀，提高學生的閱讀能力和對文字信息的敏感程度”“在平時的高中數學的教學中，帶領學生熟悉了解數學模型，如一次函數模型、指數函數模型以及三角函數模型等”等，通過這些方法都能夠提高學生的審題能力，讓學生在做題時能夠更加輕松和快捷。

2.構建數學模型

構建數學模型是高中數學應用題中最值問題解題步驟的第二步。構建數學模型可以更直觀地將數學問題中的文字題目轉化為數學語言，讓學生能夠看到更加明顯和直觀。對數學模型的正確構建與否很大程度地影響了解決數學應用問題的順利程度和成功與否，對中數學應用題中的最值問題來說是至關重要的。數學模型包含有概念、公式、符號以及方法等，是一種可以很好的數學結構。在解決高中數學應用題中最值問題時，可以先找到所有數字之間的聯系，觀察這些聯系和哪一個數學模型貼合，從而準確地進行數學模型的構建。

3.求解

求解是高中數學應用題中的最值問題解題步驟的第三步。在進行了對數學模型的成功構建之后，需要對問題進行求解，從而順利地解決這個應用問題。在進行求解時，要重視理解數學模型中的各個數字的具體含義，從而選擇最合適實用的解題過程。教師在平時的教學中要重視培養高中學生的變化和轉換代數式的能力，做到更靈活地運用自身的變形推理，更加成功地解決高中數學應用題中的最值問題。

4.還原

還原是高中數學應用題中的最值問題解題步驟的第四步。通過審題、構建數學模型、求解之后會得到一個數學結論，通過對這個數學結論進行還原，可以得到解決現實生活中實際問題的方法和結論，真正地達到運用高中數學知識來解決生活問題的目的，提高高中數學的生活化，將高中數學知識融入生活。

二、與圓有關最值問題的探析

在教授與圓有關的最值問題時，教師往往面臨知識困難，方法復雜，種類多，等問題。首先，教師應制定符合學習的指導案例，培養學生的主動學習意識。學生可以提前復習既往知識。通過為問題設置各種方式，可以引導學生自主探索相關問題的概念、解法等。然后，教師應正確設置教學時數分布和對接所對應的定向案例。教師對這些方法進行分析總結，逐步進行設計和組織教學，這樣更有利于學生的理解。例如，人教版高中必修中《與圓有關的最值問題》教學中，形如μ=（y-b）/（x-a）型的最值問題，可轉化過定點（a，b）的動直線斜率的最值問題求解。典型例題如下：

已知實數x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求y/x的最大值。在這種最值題型之后中，教師首先應提出啟發性問題提問，“原方程可以轉化為我們熟悉的哪種形式？”在教師的啟發之下，學生會進入已有知識的思索，在思索過程中建立自己的知識建構。

學生1：“原方程可化為（x-2）2+y2=3，y/x也就是我們曾經學過的圓上的動直線的斜率，因此，y/x就是求（2，0）為圓心， 3 為半徑的圓的斜率問題。”這樣的啟發性問題之下，原題就從抽象的方程式轉化為學生熟悉的圓的斜率的問題。

三、與二次函數有關最值問題的探析

21世紀正處在互聯網迅速發展的信息時代，網絡在線平臺和多媒體技術的新型教育模式被運用到中學數學課堂之上，個性化的學習環境為學生提供自主學習和小組學習的時間和機會，適時因材施教，引導學生自主學習，課堂表現非常好。例如，人教版高一數學中《二次函數的基本性質》最值問題的教學中，二次函數是高中學習的重要基礎，重難點是：了解并會處理二次函數含參數的最值問題。因此，教師可采取分組討論結合信息化設備進行數形結合的演示來闡釋解題思路。例如，一已知函數y=-x2-2x+3且x∈[0，2]，求函數的最值？教師可先令學生分組討論，然后由數學課代表組織觀看網絡教學視頻，分小組討論，先進行小組內討論，進而進行組間談論，由課代表并將重難點反饋給教師，教師根據問題在課堂上予以解決。并以小組為單位畫出函數的坐標圖，然后在多媒體上展示正確的圖示。解析如下：y=-x2-2x+3=-（x-1）2+4，因為x∈[0，2]，繪圖如圖一所示：則ymax=f（0）=3，ymin=f（2）=-5。在求最值時，也可以看所給區間與對稱軸的距離遠近。開口向上的二次函數，離對稱軸越近，函數值越小;開口向下的二次函數，離對稱軸越近，函數值越大。

在課堂上配置預習方案，分小組完成預習內容，通過討論解決了大部分的計算問題，在課堂上通過學生展示教師發現預習中存在的問題，在課堂上及時糾正，學生理解本節課堂的重點難點也變得容易多了。

四、不等式中最值問題的探析

有關于證明不等式的對稱型或者輪換型不等式的最值問題，常見于選擇填空中，在實際的教學之中，發現學生對此類問題的第一反應是直接套用已有解題經驗，這是解題中的一大誤區，這樣的誤區要及時地在課堂之中進行解決，要讓學生養成認真審題，而不是在解題中“投機取巧”。例如，在使用不等式的問題“如果實數x和y滿足x2+y2+xy=1時找到x+y的最大值”中，獲得最大值的條件是內部元素相等。在不對稱不等式中，出現了ma=nb的情況，其中a，b是不等式的元素，m，n是系數，尤其是在對稱旋轉不等式中，值相等的條件是兩個元素相同，但不是絕對的。特別是在有限的條件下，當等式一側的常數與不等式的最大值不同時，可能無法獲得最大值。在上一個問題中，其中的x和y可以旋轉，并且可以通過設置x=y以獲得x+y的最大值來獲得x+y的最大值。

五、與幾何模型有關最值問題的探析

與幾何模型有關的最值問題一般都是光的折射、橋梁設計以及人造衛星等，這種類型的問題一般都是通過先建立直角坐標系，再解決實際問題的程序來解決，既需要利用關于面積、體積以及空間問題等的數學知識，也需要利用關于三角函數的知識結合起來進行解決。

例如，人造衛星A與地球地面的電視信號B的傳播方式是直線形式，其中電視信號能夠達到的地球區域被叫做衛星覆蓋區域。衛星A距離地球表面約36 000千米，地球的半徑為6400千米，在衛星覆蓋區域之中取任意兩個點，求這兩個點之間的球面最大距離為多少？想要解決這個關于幾何模型的最值問題，就需要先建立直角坐標系，再使用關于面積、體積以及空間問題等的數學知識和三角函數的知識結合起來解決問題。

六、與概率統計有關最值問題的探析

解決與概率統計有關的最值問題時需要學生擁有關于隨機變量、概率、抽樣以及頻率分布的知識來解決問題，在進行解題時，要認真理解題目中給出的已知條件，結合自己掌握的幾何知識，選擇合理的解題方式。概率統計類的最值問題，既具有十分復雜的特質，也具有比較廣泛的覆蓋程度，但是其解題方式和普通應用題的解題方式比較類似，在解題時要十分地認真的審題和思考，避免出現錯誤和紕漏。

例如，某農戶對一塊田地的N個坑進行播種，每一個坑播種三個種子，每個種子的發芽概率都為二分之一，并且每一個種子是否發芽都是相互獨立的。對每一個坑來說，如果至少會有兩個種子發芽，則不需要進行補充播種;反之，則需要進行補充播種。試問，當播種多少時，有三個坑需要補充播種的概率才為最大？當解決這個問題時，要認真審題，理解題目中給出的已知條件，找到數字之間的聯系，構建數學模型，結合數學知識找到最合適的解題方法，從而能夠順利地解決這個問題。

綜上所述，本文對高中數學應用題中最值問題的解題步驟、與圓有關的最值、與二次函數有關的最值、不等式中的最值、與幾何模型有關的最值、與概率統計有關的最值等問題進行了探析，得出了一些有效的觀念。在高中最值問題的教學過程中，教師應加強素質教育理念，以全面發展教育為導向，為了更好地實施優化課堂結構的方案，應把突出數學主線作為發展的前提，重視數學思想方法的培養，讓學生學會知識的遷移。高中數學中的最值問題通常都是以綜合題型出現的，這就對學生的解題能力提出了更高要求，也為教師的教學指明方向。在最值問題的教學上要從教學的整體出發，發展學生數學解題全局觀，培養良好的數學思維和總結歸納能力。

參考文獻：

[1] 向克民.翻轉課堂模式在高中最值問題教學中的運用[J].考試與評價，2021（2）：81.

[2]曹鋒.高中數學最值問題題型與解法未探[J].數學大世界（下旬），2020（12）：13.

（作者單位：甘肅省天水市甘谷第一中學，甘肅 天水 741200）