探究數學模型 促進深度學習

馮紅蕓

摘? 要：空間觀念、推理能力、刻畫圖形模型是實施“圖形與幾何”領域教學的核心理念。文章以“認識三角形”為例，嘗試在教學中怎樣引導學生在刻畫圖形模型的基礎上，發展空間觀念和推理能力，從而對學生形成模型思想方面進行探究。

關鍵詞：小學數學;空間觀念;深度學習;模型思想

人教版《義務教育教科書·數學》四年級下冊“認識三角形”是“三角形”單元的起始課，學生之前已經對三角形和三角形的高有了初步感知，本節課要認識三角形的特征、三角形的構成要素，并掌握畫三角形高的方法，在操作、想象、聯系情境解決問題的過程中，引導學生從形的方面加深對周圍事物的認識，發展學生的空間觀念和幾何直觀，構建數學模型思想。

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。在小學數學教材中，數學模型無處不在。小學生學習數學知識的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、把握的過程。

一、創新教學模式，引導深度學習

學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑、生動和富有個性的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中，科學、合理、有效地建立數學模型。在“認識三角形”一課的教學中，教師創設了“螞蟻過馬路，怎樣爬行距離最短”的問題情境。

1. 動手操作內化知識，引導理性思維

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

教學片斷1：初步感知三角形的高。

課件出示問題情境：如圖1，一只螞蟻要過到馬路對面去。

師：這時候，你們看到三角形了嗎？

生：看到了，將螞蟻看成一個點，馬路看成一條線段，連起來就形成一個三角形了。

教師在課件中完善三角形。

師：螞蟻怎樣爬，路程最短？你贊同哪種選項？

如圖2 ～ 圖4，課件出示以下三種不同的選項。

生1：第三種情況螞蟻爬行最短，因為第三種是垂直的，其他兩種是斜的。

師：第三條是不是垂直線段？

生2：用三角尺的直角比一比就知道。

師：你會比嗎？

生2徑直走向黑板，一邊用手在黑板上比，一邊說：從螞蟻這里開始，畫出一條到馬路的垂直線段。說完后，生2先是看向教師，教師又示意他問其他同學，大家有的點頭，有的說“不對”。

師：大家意見不統一，到底應該怎么比？

教師話音剛落，表示不贊成意見的生3走向黑板，拿起三角尺，用三角尺的直角和圖中的直角進行重合，這一條就是垂直線段。

師：你是怎樣比的？

生3：找到三角尺的直角，一條直角邊和馬路對齊，看看螞蟻爬的這條路會不會與另一條直角邊對齊，這里是對齊的。

師：看來只靠觀察還不夠，需要借助工具才行。現在能不能判斷這一條是不是垂直線段？

學生都同意了。

教師在大家統一認識后，及時梳理：要知道螞蟻爬行的最短路程，可以把螞蟻看成一個點，馬路看成一條線段，從這個點向線段畫一條垂直線段，這條線段的長度就是螞蟻爬行的最短距離。

畫三角形的高是需要學生掌握的操作技能，也是以前學習的“點到直線的距離”的應用與延伸。因此，教師通過創設“螞蟻過馬路，怎樣爬行距離最短？”的問題情境，接著從情境中抽象出圖形，以問題“第三個選項是不是垂直線段？”“你會比嗎？”引領學生復習舊知識，真正掌握用三角尺的直角畫垂直線段的技能，為接下來畫三角形的高做充分的準備。

在此環節中，學生一開始選擇第三個選項是螞蟻爬行的最短距離，依靠的是觀察和猜想，所以教師引導學生用三角尺判斷垂直線段的操作活動就特別有意義了。動手操作的價值是可以對通過觀察得到的猜想進行驗證，通過“說一說你是怎樣比的？”有意識地將盲目而淺顯的操作變得理性而細致，訓練學生的理性思維，引發學生進行深度思考。

2. 動靜結合梯度設問，引發深度學習

教學片斷2：理解同底等高的三角形。

師：現在螞蟻向右平移一段距離后，再去對面的馬路，要怎樣爬行距離才會最短呢？

生4：螞蟻和馬路也形成一個三角形，爬行的最短距離還是從螞蟻出發，向馬路畫一條高，它沿著這條高爬行，就是最短距離。

生5：和螞蟻在第一個點爬行的距離相等。

師：螞蟻和馬路之間的距離是15米，如果要使距離保持不變，螞蟻還可以在哪個位置？指一指。

學生心中都有了答案，躍躍欲試，搶著要上黑板前面來指。

隨著學生確定了螞蟻的位置時，教師課件直觀展示出一個新的三角形。

教師繼續追問：螞蟻還可以在哪個位置？

生6：螞蟻還可以在這里，還可以在這里，這里。

學生一邊說，手一邊在線上左右移動。

教師課件呈現不同的三角形。

生6：只要螞蟻在上面這條線上的任何位置，到馬路的最短距離都是15米。

師：螞蟻停留的位置不同，為什么螞蟻到馬路的最短距離卻是相同的？

生7：因為從螞蟻到馬路畫的垂直線段都一樣長。

師：大家發現了什么？

生8：這些三角形的高相等。

生9：螞蟻向左或者向右爬行的線和馬路是互相平行的。

生10：這些三角形都是同一條底。

師：是的，這些是同底等高的三角形。

對于三角形高的認識，前面還是側重在畫高的步驟和操作技能方面，此環節的設計旨在引導學生從動態的角度認識三角形的高，既包括“點到直線的距離”與“三角形高”的新、舊知識之間的轉化，也包括現實生活與抽象圖形之間的轉化。

教師的教學改變直接示范畫高或者課件演示畫高的方法，而是把圖形的認識與圖形的變換結合在一起認識高，才會出現課堂上學生的手在螞蟻爬行的那條線上左右移動的畫面，才能聽到學生用自己的語言解釋并推理“平行線之間，垂線段最短”“平行線之間，垂線段處處相等”。蘇霍姆林斯基曾經說過，每一個兒童的思維發展都有其獨特的道路，每一個兒童的聰明才智都各有各的特點。學生靈動的雙眸，跳躍的思維，堅定的眼神，是多么生動和誘人，帶給教師巨大的動力和滿滿的成就感。

二、重視概念本真，構建模型思想

《標準》指出，空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。

1. 去非存本，注重概念內涵

教學片斷3：概括三角形的定義。

師：接下來畫一個三角形，畫三角形之前，先想象一下，你想畫一個怎樣的三角形。

教師展示收集來的學生按照不同位置畫的三角形。

師：一起來看看這幾名學生畫的三角形，這些三角形一樣嗎？它們有什么共同點？

生11：這些三角形不一樣，有的大，有的小。

生12：有的三角形是平的，有的三角形是歪的，還有一個是倒著的。

教室里頓時發出了笑聲。

生13：相同的地方是都是由3條邊圍成的。

教師強調這3條邊是3條線段，并板書：由三條線段圍成。

教學片斷4：轉動圖形，體會高的數學意義。

學生已經掌握了畫三角形高的方法，教師課件出示轉動前后的圖形，如圖5所示。

師：轉動后，AD還是BC邊上的高嗎？

生：是。

師：為什么？

生14：因為高沒變。無論三角形平著放，還是歪著放，都是那條高。

當說到三角形歪著放時，生14還把手和身子也跟著歪起來。

師：仔細對比，這個三角形旋轉前后的底和高，什么變了？什么沒變？

生15：三角形放的方向變了，但還是那條高。底沒變，所以高也沒變。

生16：都是畫點A到BC邊的垂直線段，和三角形擺放的位置沒有關系。

四年級學生已經具備了一定的抽象思維能力，教師引導學生在比較抽象的水平上認識三角形和三角形的高，并進行探索。學生個性化地畫三角形，觀察和對比不同形狀、不同擺放方向的三角形，并抽象出三角形的本質特征;通過比較轉動前后三角形的高，幫助學生鞏固三角形高的數學意義。學生積極參與各種形式的實踐活動，而且對活動過程和結果進行判斷分析，促使學生多角度、多元化、多維度地認識和理解圖形的數學意義，建構模型。

2. 借助想象，構建數學模型

教學片斷5：從3個頂點想象三角形。

師：這是用小棒擺的三角形，現在把三角形的3個頂點用圓形磁鐵代替，移開小棒，現在你還能看到三角形嗎？

生：能。

師：隱藏了什么？

生17：隱藏了3條邊，3個角。

師：隱藏的部分在哪兒？

生17：在我的腦子里。

師：只有3個頂點，看不到完整的三角形，隱藏的部分可以想象，3條邊、3個角是學生想象出來的，你們的想象力真強。

教學片斷6：從一個頂點和一條邊想象三角形。

教師再次出示課件：這是螞蟻，這是對面的馬路。

師：你們能看到三角形嗎？

生18：能，把螞蟻看成三角形的一個頂點，馬路看成一條邊，三角形就形成了。

生19：有3個頂點就可以想象出一個三角形，有一個頂點和一條邊也可以想象出一個三角形。

生20：沒有的頂點和邊都可以放在腦子里。

當看到一個實物時，能想象出它所對應的平面圖形;反過來，當看到某個圖形時，能想象出它所對應的幾何體或實物的形狀，想象物體或圖形的運動變化，并且可以表達出圖形。在觀察、對比、想象、分析的過程中，學生的空間觀念得到培養，三角形的模型也已經深深地印在了學生的腦海中，使學生真正體會了圖形的含義。

3. 溝通聯系，發展空間觀念

教學片斷7：將平行四邊形、梯形、三角形的高聯系起來。

教師課件出示[?]ABCD，并從頂點D畫高，如圖6所示。

師：點D作平移運動，其他的頂點都不動，試想一下會變成什么圖形？

生21：形成的是一個梯形。

生22：我認為點D向左平移會變成梯形。

師：生22的回答還說明了點D的平移方向，更加具體了。

課件隨著學生的回答，點D向左平移，形成梯形。話音剛落，就有學生立刻站起來補充。

生23：向右平移也會變成梯形。

教室里馬上出現“咦”“怎么會”等質疑的聲音。

教師這時并沒有立刻否定，而是把目光投向生23，靜靜地等待他去答疑。

生23直接走到講臺前模擬，說：如果點D向左平移，形成的梯形是上短下長的;如果點D向右平移，形成的梯形是上長下短的。模擬完，看了看大家，說：不是嗎？

此時，學生恍然大悟，沒有想過點D向右平移的情況，思維定勢地想象點D向左平移，不禁佩服生23的空間想象能力和縝密的思維。

師：梯形的高和平行四邊形的高有什么關系？

生24：梯形的高和平行四邊形的高相等。

師：繼續平移點D，還會形成我們認識過的什么圖形？

生25：三角形。

生26：當點D和點A重合時，就是三角形。

師：此時三角形的高、平行四邊形的高和梯形的高有什么關系？

生26：它們的高都相等。

生27：它們是同底等高的圖形，與前面學習的同底等高的三角形是一樣的。

教師巧妙設計，將平行四邊形、梯形、三角形的高放在同一個問題情境中，鼓勵學生將觀察、操作、想象、推理、表達相結合，溝通三種不同圖形的高，借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，促進學生思維的發展，養成有條理思考和表達的習慣。

綜觀本節課，創設情境，以問題為起點實現了生活情境與數學知識之間的無縫對接;動靜結合轉換，加強新、舊知識之間的聯系，引導學生深度學習。在學習如何刻畫圖形的基礎上，發展空間觀念和推理能力，從而形成模型思想。

基金項目：江西省教育科學“十三五”規劃2020年度普通類一般課題——深度學習視角下小學四年級學生模型思想的教學研究（20PTYB105）。

參考文獻：

[1]王永春. 小學數學與數學思想方法[M]. 上海：華東師范大學出版社，2014.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.