借助逆向思維巧解高中數學難題

【摘 要】逆向思維又被稱為求異思維，借助逆向思維，教師可在總結既有的高中數學問題的前提下，從相反的角度引導學生思考，從而獲得解題的新思路。在高中數學解題教學中，部分數學問題難度較大且較為抽象，教師可讓學生在逆向思維的引導下確定解題方向，從而更好地完成解題指導任務。

【關鍵詞】逆向思維;高中數學;解題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0042-02

逆向思維是高中數學解題活動中常用的一種思維意識，借由對解題思路的顛覆，學生能夠選擇假設結果、合理推論、完全否定等多種方式進行解題，依靠“從答案到問題”的全新模式確定解題的基本方向。在逆向思維的推動下，數學解題活動無需被已知條件所限制，學生能夠根據解題的指導要求確定新的解題方法，從而提高解題效率。部分難題是數學教學指導活動中的“攔路虎”，讓學生學會應用逆向思維，才能在源頭上解決數學難題。

1? ?在概念理解環節應用逆向思維，夯實基礎

從定義上來看，概念理解類問題似乎與難題并不搭邊，但對高中數學教學來說，部分概念理解類問題將多個概念融合起來，要求學生對概念、定理與數學關系進行判斷，學生往往容易混淆。引導學生利用逆向思維從相反的角度思考數學問題，能夠有效提升學生的概念辨識能力，加快學生吸收數學知識的速度。部分教師在數學解題活動中要求學生死記硬背，并不重視逆向思維的應用[1]。但對復雜的概念理解問題來說，合理應用逆向思維來講解，能夠幫助學生更為迅速地找到解題突破口，提高解題速度。

以“集合”的教學為例，學生會遇到這樣一道題：現有一個全集U={2，3，a2+2a?3}，其中集合A={|a+1|，2}，CUA={5}，那么a取值為多少？對此，教師可引導學生結合集合的有關概念應用逆向思維來思考該問題。當CUA的值已知，可通過反推得出集合A，隨后根據全集U確定a的取值，保障a2+2a?3等于5。在解答這一問題的過程中，必須強調集合中取值的大小關系，借助集合的概念完成解題任務。在部分情況下，該題以選擇題的形式出現，這種命題模式下，逆向思維的應用更為有效，可將答案代入到各集合當中，確保其符合集合的取值范圍即可。讓學生配合相關概念理解數學知識，以概念為核心應用逆向思維，能夠更為迅速地解決概念理解類問題。

2? ?在數學解題環節應用逆向思維，開發思維

在高中數學教學中，解題活動以計算、歸納和總結為核心，強調學生數學思維在整個解題活動中的表現。在引導學生應用逆向思維解題的過程中，教師必須歸納題目的類型、考查方向與解題要求，嘗試利用逆向思維幫助學生“走直線”，讓學生在逆向思維的引導下主動理解數學解題要求，感受逆向思維便捷、高效的特點，從而形成主動應用逆向思維解題的良好習慣。部分學生對逆向思維的理解停留在“反向解題”的層次，認為逆向思維只是一種從新角度、利用新方法解答數學問題的手段[2]。但實際上，逆向思維能夠將看似沒有關系的事物串聯起來，構建教學指導新思路，能夠更好地開發學生的數學思維。以人教版高中數學教材中的空間幾何問題為例，在這一部分的教學中，幾何問題已經脫離了體積、面積的限制，開始強調空間內點和直線的位置關系。

以下列問題為例：四面體ABCD被平面a所截，對棱AB、CD與a平行且等距，如果a截得截面四邊形的面積為S，對棱AB、CD距離為h，求四面體的體積。在嘗試解題的過程中，學生的思維容易被四面體的形狀所限制，局限于空間幾何的結構，導致解題出現錯誤。教師可引導學生利用逆向思維對四面體進行加工：根據數學定理“等底等高的兩個四面體的體積相等”，可暫時忽略四面體的形狀，在添加幾個等體積的四面體之后，將其組成一個平行六面體進行計算。根據ABCD四條棱和相關平面的平行關系，六個平面相交之后得到平行六面體，減去組成六面體的四面體的體積，即可得出答案。在利用逆向思維解答數學難題的過程中，學生必須大膽嘗試，才能找到解題新思路。

3? ?在數學拔高環節應用逆向思維，調整方向

部分數學問題的難度較大，能夠被歸入拔高題的行列。該類問題在顯性的解題要求之下，一般包含著隱性的解題條件，導致解題流程與解題方法向著復雜的方向發展。教師可借助逆向思維幫助學生突破拔高題，在幫助學生掌握解題技巧的同時，更好地提升學生的解題信心，進一步提高其解題能力。讓學生應用逆向思維獨立解答數學問題，理解逆向思維的應用優勢，才能使其真正接受逆向思維[3]。以下列問題的解答為例：已知x、y∈R+，求證。在求解計算的過程中，學生會嘗試結合方程、幾何的有關知識化簡這一數學問題，但實際上，這一問題重在考查學生應用三角函數知識的能力。對原式進行變形處理之后，和都能夠轉化為三角函數形式，且夾角的關系已知。對于該類數學問題，依靠數字思維進行計算只會浪費更多的時間，教師可引導學生將其轉化為幾何問題，通過繪圖將題中的未知量轉化為線段的長度，將數字求解問題轉化為線段求解問題，提高解題效率。數學問題不應該只有一種解答思路，學生只有學會反思、歸納，才能更好地應用逆向思維打破限制，提升解題能力。

4? ?在測試檢驗環節應用逆向思維，激發靈感

測試是檢驗學生數學學習能力的重要手段，也是對學生數學思維進行開發的有力工具。在測試中，以證明為核心的數學問題并不少見，這類問題在強調培養學生數學分析能力的同時，也能幫助學生查缺補漏。教師讓學生對逆向思維進行合理應用，在分析數學問題的過程中掌握解答數學難題的一般技巧，能夠加快學生吸收數學知識的速度[4]。以高中數學解題活動中的證明題為例，部分問題的解題要求并不復雜，但解題的流程十分復雜，由于這類問題往往沒有給出具體的解題思路，學生很難作出準確的解答。

以下列問題為例：一個整數的平方可以被4整除，

求證這個數為偶數。如果只是重復列舉數字，則根本無法解答這一數學問題。教師可引導學生利用逆向思維導入反證法，證明結論成立，將否定命題視為已知條件進行解題：如果x不是偶數，則x的值可以用整數a來表示，x=2a+1，通過算式得出數學表達式x2=

（2a+1）2=4a2+4a+1，得出x2為奇數，假設不成立，故x為偶數。應用逆向思維能夠從相反的角度解答數學問題，教師在引導學生利用逆向思維解題的過程中，也要對這一特點進行應用，從而使學生掌握解答數學問題的一般思路。

5? ?在課后總結環節應用逆向思維，主動反思

在長期的數學學習中，學生已經積累了一定的數學解題經驗，對逆向思維也有了一定的理解。教師要引導學生在學習中多應用逆向思維，并交流逆向思維的應用方法，在他人的方法中汲取靈感，發展自己的思維能力。此外，教師還要讓學生在課后做好總結，主動反思，這樣學生的逆向思維能力才能得到提升。

教師可引導學生開展總結活動，鼓勵學生分享應用逆向思維解題的經驗。以高中數學教學中的組合問題為例，教師可設計如下問題：大街上有8盞燈，編號分別為1，2，3……8，如果要關閉三個路燈，但不關閉相鄰的兩個路燈或三個路燈，也不關閉兩端的路燈，有多少種關燈方式？在解題的過程中，一些學生的數學抽象能力較差，他們會選擇做圖、匯總等方式解答這一數學問題，這種解題方式耗時較長、效率低、更容易出錯。部分學生則應用逆向思維解題：將問題轉變為“在8個亮著的路燈的空隙中插入三個關閉的路燈，有多少種組合方式”。這部分學生借由逆向思維提高了解題效率，其他學生也能在這種解題方法中獲得靈感，掌握數學解題的一般思路。

總之，合理應用逆向思維能夠幫助學生找到新的數學解題思路，從而提升學生的數學解題效率。教師應該對逆向思維進行合理應用，將逆向思維引入到解題、分析、互動等各環節，加快學生的解題速度，并合理應用已知信息對數學問題進行歸納總結。

【參考文獻】

[1]田肅安.淺談如何在高中數學教學中培養學生的數學思維能力[J].考試周刊，2021（9）.

[2]謝翠琴.借助逆向思維? 巧解數學難題[J].高考，2020（36）.

[3]隆占平.高中數學教學中學生思維能力的培養分析[J].學周刊，2020（31）.

[4]桂凱.高中數學教學中學生數學思維能力的培養探析[J].智力，2020（29）.

【作者簡介】

唐杰（1983～），男，漢族，甘肅慶陽人，本科，一級教師。研究方向：數學教學。