高中學生數學運算能力提升策略探究

【摘 要】數學運算能力是高中學生數學能力的重要組成部分，也是影響學生數學得分的重要因素。高中學生的數學運算能力主要是指學生根據法則、公式進行正確的運算、變形，結合問題中給出的已知條件，制定合理、便捷的解題方案的能力。如何在數學教學中培養學生的運算能力，是眾多一線數學教師需要研究應對的重要議題。

【關鍵詞】高中數學;運算能力;提升策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0084-02

數學運算能力的強弱會直接影響學生的運算準確性，它是學生思維全面性、計算縝密性、數學概念及數學方法掌握有效性的集中體現，教師在數學教學中不能忽視對學生數學運算能力的培養和提升[1]。筆者結合自身教學經驗，對高中學生解題中常見的運算問題展開分析解讀，探究高中學生數學運算能力的提升策略。

1? ?高中學生解題中的常見運算問題

1.1? 因為概念混亂不能理解運算對象而導致的運算出錯

例1：已知集合A={y|y=2x}，B={x|y=}，那么A∩B=（? ）。

A.{ y| y>1}? ? B.{ y| y ≥1}? ? C.{ y| y >0}? ? D.￠

問題分析：拿到這一問題后，部分學生認為集合A是在討論字母y的相關問題，而集合B是在討論字母x的相關問題，由于兩個集合討論的問題不同，那么它們的交集則為空集。還有的學生分別計算出了兩個函數的值域，進而去求兩個集合的交集。出現這些問題的主要原因就是學生對于集合相關部分的概念掌握不夠牢固。

1.2? 在同時處理多個問題時，運算法則出現錯亂

例2：函數 y=的定義域為（? ）。

A.[1，+∞）? ?B.[，+∞）? ?C.[，1]? ?D.（，1]

問題分析：在解決這一問題時，根據題意可知

log（3x-2）≥00<3x?2≤1，但部分學生在對數函數的定義域和對數函數求解過程中出現思維混亂，致使解題結果為0≤3x?2≤1。學生在學習了新知識或長時間沒有接觸已學知識后，在一些問題上就會出現記憶不準確的情況，面對問題時難以快速回憶起正確的運算法則，從而選擇一個不正確的運算法則進行運算，尤其是需要思考多個問題時，就易出現思維混亂，從而導致解題錯誤。

1.3? 基本運算方法錯誤

例3：已知函數 y=cos （x+）的周期不大于2，那么函數中正整數k的最小值是（? ）。

A.10? ? ? ? B.11? ? ? ? C.12? ? ? ?D.13

問題分析：解決這一問題的關鍵是利用公式T=，多數學生能夠知道解題思路，但在求解中會把不等式的符號弄錯，導致解題出現錯誤。學生在初中階段學習了部分不等式的知識，在高一的數學練習題中也會出現一些不等式的運算，但是真正系統地學習不等式知識是在必修五中，這就要求教師在高一階段的數學教學中，要適當地向學生滲透一些不等式的知識，教給學生部分不等式運算的基本方法，降低學生在數學學習中的難度。

2? ?高中學生數學運算能力提升策略

2.1? 糾正不重視運算的教學心態

在高中數學教學中，不重視運算的教學心態在教師和學生中都有體現。在教學中，教師應在每一節課中都選擇一些詳細的例題重點講解解題方法，在三角函數、不等式、圓錐曲線等對學生運算能力要求較高的章節教學中，應選取一些具有運算技巧的題目，重點鍛煉學生的運算能力[2]。

如在學習函數單調性這部分知識時，可以選擇適當的例題來專門鍛煉學生利用定義法證明函數單調性的能力。此外，還要培養學生良好的書寫習慣和檢查習慣。在教學中，教師可以從學生日常的書寫大小、順序、行間距等環節入手，培養學生良好的書寫習慣，讓學生通過清爽的書寫和規整的版面來降低運算的出錯率。

2.2? 借助技巧簡化運算

首先，通過各種解題技巧提高學生的數學運算能力。解析幾何部分包含了很多公式，學生計算時比較困難，教師可借助靈活的方法，幫助學生更快解題。

例4：（數形結合法）雙曲線?=1的漸近線與圓x2+（ y?2）2=1相切，則雙曲線離心率為（? ）。

A.? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? C.2? ? ? ? ? ? ? D.3

問題分析：既是已知圓與雙曲線的漸近線相切，故不妨先畫出圖形再考查其數量關系。如圖1，圓C的圓心為C（0，2），且半徑r=1，雙曲線的漸近線l：y=x切圓C于點A，則△AOC是含30°角的直角三角形，∠AOx=60°，于是=tan 60°=，

故=3，即e=2，選C。

圖1

其次，培養學生“取巧”的能力。在高中數學解題過程中，有時學生利用常規的解題方法很難解答部分較獨特的問題，這就需要學生學會“取巧”。

例4：證明當x>1時，x+1->0。

問題分析：多數學生拿到這個問題后的第一思路就是令F（x）=x+1?，通過這樣的思路來進行解題，F'（x）=。做到這一步后，學生就難以再進行下去了。如果繼續求導就會變得更加復雜，學生沒有足夠的精力和能力去完成這一過程就會選擇放棄。還有部分學生會在求導之前就對原有的不等式進行變形，當x>1時，ln x>0，通過簡單的變形將分式變成整式：x+1?>0（x+1）ln x>2（x?1），令G（x）=（x+1）ln x?2（x?1），G'（x）=ln x+（?1），G''（x）=>0，G'（1）=0，那么G（x）在（1，+∞）上為增函數，所以G（x）>G（1）=0。這樣的解題方法僅限于部分數學運算能力較強的學生。還有部分學生難以完成解題，這就需要教師教授學生“取巧”的方法。可以在上述解題思路中將ln x剝離出來，避免二次求導，這樣就可以極大地降低運算量。因為（x+1）ln x>2（x?1）ln x>，令H（x）=ln x?，H'（x）=>0，所以H（x）在（1，+∞）上為增函數，所以H（x）>H（1）=0。相比較于前一種方法，最后一種“取巧”的方法能夠避免二次求導，極大地提高了學生運算的準確性。

2.3? 教授學生多種解題方法

很多情況下，解題“通法”能夠解決多數數學問題，但有時候卻需要大量的運算，這就給學生的解題帶來了障礙。在教學中，教師可以教授學生一些解題思路，幫助學生有技巧地簡化運算，進而提高學生正確解題的

能力。

首先，可以采用一題多解的形式。如在分式不等式部分的解題中，解決>1這樣的問題時，通常先通過移項將其轉化為>0或<0的形式，再將分式轉化為整式不等式來進行計算求解，或者引入“穿針引線”的方法來計算分式不等式。此外，還可以通過分類討論分母x>2或x<2來降低運算量，進而實現解題。

其次，可以通過一題多變讓學生體驗多種解題方法，從而有技巧地避開大量運算，提高運算能力。如函數恒成立的相關問題中就包含了眾多的小公式和方法，可以通過以下形式來幫助學生學習。

如已知函數f（x）=mx2+（m?3）x?3。

對于任意x∈（1，3）， f（x）>0恒成立，那么實數m的取值范圍是多少？

對于任意x∈[?，3]， f（x）<0恒成立，那么實數m的取值范圍是多少？

對于任意m∈[1，3]， f（x）>0恒成立，那么實數x的取值范圍是多少？

對于任意m∈[m?1，m]（m<0）， f（x）<0恒成立，那么實數m的取值范圍是多少？

完成上述題目的講解后，可以讓學生繼續思考：如果將“任意、恒成立”修改為“存在、使得成立”，怎么解題呢？借助該題的一題多變，學生學到了參變分離法、分類討論法、主元變更法、恒成立（存在性）的解題通性通法等，開拓了自己的思維，掌握了降低運算量的方法。

綜上所述，在高中數學教學中，教師可以多通過以上各類問題的設計，幫助學生掌握降低運算量的方法，提升學生的運算能力。

【參考文獻】

[1]蔣福兵.不經歷風雨，怎能見彩虹——淺談高中生數學運算求解能力的突破[J].中學數學，2013（23）.

[2]黎華高.高中生數學運算能力的培養策略研究[J].素質拓展，

2019（7）.

【作者簡介】

葉青雷（1980～），男，江蘇鹽城人，本科，中學副高級教師。研究方向：高中數學教學與教學研究、學校德育工作。