基于學習進階的高中數學教學研究

王琳 吳華

摘? 要 介紹學習進階的起源、內涵和構成要素，解讀新課標和人教B版教材中有關對數函數的要求，以布盧姆教育目標分類學理論為基礎，構造對數函數學習進階，并基于學習進階，開發對數函數教學設計模型，為教師開展有效教學提供參考。

關鍵詞 學習進階;數學教學;對數函數;教學改革;教學設計;GeoGebra

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2021）11-0056-04

0? 前言

學習進階強調學生的認知發展，在設計連貫一致的中小學科學課程方面具有很大價值，能使教育研究與教學緊密結合[1]。因此，將學習進階引入數學教育領域，與我國數學教學相結合，具有一定的研究價值。本文以高中階段的概念對數函數為例，說明如何開展基于學習進階的對數函數教學研究。

1? 學習進階的內涵與發展

1.1? 學習進階的起源

近十年來，學習進階（Learning Progressions，簡稱LPs）逐漸發展為科學教育界的研究熱點之一，它與評價、課程、教學這三個領域都有密切聯系[2]。其最先起源于美國，定義于2004年由Smith等人首次提出。2005年，美國國家研究委員會（NRC）發布的研究報告認為，在課標、教學和評價這三者的一致性方面，學習進階能發揮重要作用[3]。

2007年，NRC發布名為《將科學帶進學校》的研究報告，其中明確提出學習進階的定義，并提倡可以用學習進階來進行科學教育改革，引起研究者的廣泛關注，成為研究的熱點問題，正式進入大眾視野。而2013年頒布的新一代科學教育標準，更是進一步提升了學習進階在教育領域的研究地位。

1.2? 學習進階的內涵

從學習進階提出至今已有十多年的時間，不少研究者根據自己的理解嘗試對其進行定義，大致可以分為方法說、過程說、本質說、假設說、序列說等幾類觀點，但是迄今為止仍然沒有得到一致的、被廣泛認可的結論。雖然研究者目前對學習進階的研究內容和方法可能不盡相同，但多數引用的是2007年NRC提出的學習進階定義：“在較長時間內，學生對某一主題或概念不斷深入、精致發展的思維方式的描述。”[4]NRC的概念界定方式得到多數人的認可，因此，本文也將引用NRC的定義對學習進階進行概念界定，從而進行相關研究。

1.3? 學習進階的構成要素

學習進階的構成包括五個要素：進階維度、進階終點、成就水平、學業表現和測評工具。這是目前科學教育界的普遍觀點[5]。

1.3.1? 進階維度? 進階維度主要指進階層級中蘊含的核心概念，研究者可通過追蹤核心概念掌握情況或進階維度來掌握學習進階進程。

1.3.2? 進階終點? 進階終點即學習目標，是指在某一階段學習結束時希望學生達成的水平，也是學習進階的最終水平。

1.3.3? 成就水平? 成就水平存在于學生的進階發展路徑上，具有多個中間層級，能夠反映學生認知發展過程中不同的思維階段。

1.3.4? 學業表現? 學業表現是指學生在完成某類學業任務后，對應達到的成就水平所表現出的特征。

1.3.5? 測評工具? 測評工具主要用于檢測學生預期成就水平的達成情況，從而完善和改進學習進階。

1.4? 基于學習進階的教學設計模型

筆者將學習進階應用于高中數學教學實踐，為保證教學的順利進行，基于學習進階，開發了教學設計模型，如圖1所示。

2? 基于學習進階的對數函數教學研究

對數函數是六大基本初等函數之一，是繼指數函數之后的又一重要初等函數。與指數函數相比，它所涉及的知識更豐富，方法更靈活，但二者之間也存在聯系，在知識和思想方法方面具有共通之處。對數函數不僅是對指數函數的鞏固和提高，更是為函數在實際生活中的應用奠定良好的基礎。筆者以高中數學人教B版教材必修一中“函數”主題下的對數函數教學為例，構建對數函數的學習進階。

2.1? 基于新課程標準的分析

在構建學習進階之前，首先要明確學生在學習對數函數概念時應獲得的知識和能力，確定教學目標，因此需要對新課標進行分析。筆者梳理、分析《普通高中數學課程標準（2017年版）》中涉及對數函數的學習內容，整理后得出新課標中有關對數函數的教學要求，如表1所示[6]。

2.2? 基于布盧姆教學目標分類學理論的學習進階成就水平的劃分

學習進階中的“階”可以幫助判斷學習者在認知發展過程中的一些關鍵節點[7]，因此，只有弄清楚學習進階中的“階”，才能合理設計教學[8]。本文將選擇2001年修訂版的布盧姆教育目標分類學理論作為構建學習進階的依據，其中認知過程被分為記憶、理解、應用、分析、評價和創造六個遞進層級，通過這六個層級能夠反映預期的學生應該達到的認知層次。本文將結合布盧姆教育目標分類學理論，依據新課標、教材和學生的認知發展規律，把對數函數主題下的學習進階劃分為五個層級水平，即記憶、理解、應用、分析、評價，并描述每個層級水平對應的預期學生學業表現，設計出相應的教學設計模型。

2.2.1? 記憶? 記憶指的是從長時記憶中提取相關的知識。學生在接觸抽象的對數函數的概念之前，已經接觸了指數函數和對數，具備了“指對互化”的意識，會用換底公式進行對數間的轉化，方便接下來對數函數概念的引出。

2.2.2? 理解? 理解即為通過語言、圖像、文字等方式建構意義。因此，在本階段要求學生能通過與指數函數相關的實例，初步歸納對數函數的一般式，繼而理解對數函數的概念;通過描點畫出對數函數圖像，發現其特殊點（1，0）;類比探究指數函數的過程，結合對數函數的圖像，分析對數函數的定義域和值域;并在教師的引導下，討論根據底數不同的情況，從而判斷單調性。在此階段培養類比和數形結合思想。

2.2.3? 應用? 應用指在某特定情景中，用某種程序解決熟悉或不熟悉的問題。所以，在應用階段，學生不僅要理解對數函數的概念和性質，更要能靈活應用對數函數性質，如比較函數值的大小，或判斷函數的定義域和值域。

2.2.4? 分析? 分析階段要求能夠辨析各個部分的構成和相互關系，以及各部分與總體之間的關系。所以，教師要讓學生自主對比指數函數與對數函數的性質，發現、辨析兩種函數性質之間的聯系，認識新舊知識之間的聯系。通過兩者關系的對比，為反函數概念的學習作合理鋪墊，同時訓練學生的逆向思維。

2.2.5? 評價? 在評價階段，學生應自主回顧、反思本節課的知識和學習過程，評價自己的學習表現;將之前學習的對數和指數函數等相關概念與對數函數建立正確的聯系，體會其中蘊含的數學思想方法，使學生的對數函數和函數知識體系更具系統性。

2.3? 對數函數學習進階框架的構建

結合以上分析，筆者對每一層級水平的學生預期學習表現再加以解釋說明，構建對數函數的學習進階框架，如表2所示。

2.4? 基于學習進階的對數函數教學設計模型

根據新課標中對數函數的學習目標要求，以及整理出的對數函數學習進階框架，以“對數函數的性質與圖像”這一課時為例，結合學習進階教學設計模型，優化出基于學習進階的對數函數教學設計模型，并設置相應的教學活動。教學思路如圖2所示。

階段一：創設情境，引出對數函數概念。教師通過教材“情境與問題”中的碳14問題，引導學生發現死亡生物體內碳14含量與生物死亡年代這兩個變量之間的函數關系;學生結合函數特征，通過自己的思考，把解析式概括為y=logax這樣的一般形式，為對數函數的自然引出提供鋪墊。通過實例引入，使學生初步建立對數函數模型，同時感受到對數函數與現實世界的密切關聯，激發學生的學習興趣。

階段二：理解概念，研究對數函數圖像和性質。教師給出對數函數的概念：y=logax，其中，a為常數，a>0，且a≠1。并提出問題：在一個對數函數中，自變量的值可以是負數或0嗎？學生在教師的引導下，嘗試將對數函數轉化為指數函數，發現自變量的取值不能小于零，進一步理解對數函數的概念。

教師布置任務：利用描點法，分別作出兩個對數函數y=log2x和的圖像，結合圖像和函數解析式，分析并歸納對數函數的性質。學生自主作圖，分組討論交流，類比指數函數的探究過程，結合圖像，總結對數函數在定義域、值域、公共點等方面的性質。教師再引導學生觀察底數分別為a>1或0

另外，教師還可利用GeoGebra，展示底數不同的對數函數圖像。利用現代信息技術輔助教學，不僅更具動態性和清晰性，還可以讓學生直觀了解底數不同時對數函數的性質。

階段三：例題演練，運用對數函數解決問題。教師設置三種類型的例題（比較對數函數值大小、求對數函數的參數范圍、定義域和值域），讓學生完成后舉手作答或進行板演，再對學生的回答予以補充。通過例題的分析與練習，讓學生理解對數函數的本質;能用對數函數的性質和“同增異減”原理（應用于復合型對數函數）求解參數范圍;明確對數函數有意義的條件，鍛煉學生運用對數函數性質解決問題的能力。

階段四：深入辨析，感知對數函數與指數函數的關系。教師引導學生對比同底數的指數函數和對數函數，初步了解指數函數與對數函數的關系，為反函數的教學奠定基礎。

階段五：反思評價，形成對數函數知識體系。學生從對數函數的概念、性質、圖像和相關題型等幾方面進行回顧反思，教師最后總結。學生通過整理所學知識，將本節課內容與指數函數、對數建立聯系，感受其中的數學思想方法，進一步完善高中函數知識體系，通過自主反思，培養邏輯思維。

3? 基于學習進階的數學教學改革

3.1? 有利于教師合理組織教學內容，實現有效教學

學習進階是在較長時間段里持續對某一主題進行的研究，可以詳細展示學生在不同水平下所具有的不同學習表現。因此，教師可以運用學習進階的研究指導教學，理解學生在不同知識主題下的認知發展過程，正確理解課標并落實課標要求，從而科學合理地制定學生在各個學段的進階目標，使教學過程更具整體性和連貫性，并能夠呈漸進式、階梯式發展。

3.2? 能夠促進知識的銜接與整合，有利于學生形成良好的知識結構

數學學習不應淺嘗輒止，而應該明確知識之間的聯系，理清知識的發展脈絡。學習進階正是使碎片化的知識向完整嚴謹的科學概念轉變的過程。因此，教師可以運用學習進階進行教學，串聯并整合零散的知識點，建立以對數函數為核心的主線，幫助學生建構知識框架，形成更加完善、系統的數學知識結構體系。

4? 結語

本文以布盧姆教育目標分類學理論為基礎，結合高中數學新課標和人教B版教材，構造對數函數主題的學習進階，開發對數函數教學設計模型，明確每一階段的學習目標，有利于學生對知識整體性的把握。通過構建學習進階來指導教學實踐，希望為教師教學和未來學習進階研究的發展提供幫助。

參考文獻

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