如何在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生反思能力

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)是重要的教學(xué)內(nèi)容，在解題教學(xué)中，僅僅培養(yǎng)學(xué)生解題能力是不夠的，還需要加強(qiáng)學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升.通過(guò)學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，進(jìn)一步提高學(xué)生解題能力，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和思維解決實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生形成良好的邏輯思維和發(fā)散思維.本文探究高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中學(xué)生反思能力的培養(yǎng)策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);反思能力;培養(yǎng)策略

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）27-0034-02

收稿日期：2021-06-25

作者簡(jiǎn)介：孔令昂（1989.5-），男，山東省濟(jì)寧人，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題探索的過(guò)程中，很多學(xué)生常常止步于答案的探索.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生問(wèn)題探索過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生開展反思活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生自我反饋能力，形成良好的反思意識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課程改革要求，培養(yǎng)學(xué)生反思能力，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，尋找適合學(xué)生自身的學(xué)習(xí)方法，推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步發(fā)展.

一、結(jié)合審題培養(yǎng)反思能力

在高中數(shù)學(xué)解題中，審題是第一步，通過(guò)信息的獲取和加工，將閱讀獲取的信息準(zhǔn)確解釋成學(xué)生自己的語(yǔ)言.在整個(gè)審題過(guò)程中，需要學(xué)生做出正確的判斷，分析題目考查的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)分析使用的公式和方法，以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系.因此，作為教師，在解題教學(xué)中，要根據(jù)審題引導(dǎo)學(xué)生反思，反思審題的準(zhǔn)確性，判斷是否正確合理，是否準(zhǔn)確找到知識(shí)點(diǎn)等，提高學(xué)生反思能力.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程是x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓和圓C存在公共點(diǎn)，求解k的取值范圍.

在此題解答的過(guò)程中，不少學(xué)生認(rèn)為需要先表達(dá)出圓的方程，之后，根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系完成求解.如設(shè)直線y=kx-2上存在點(diǎn)P（x，kx-2）使得P為圓心半徑是1的圓和圓C存在公共點(diǎn).根據(jù)題目中的條件，求解圓的方程，利用圓和圓的位置關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，是一種比較直接的思考方式.但是，通過(guò)進(jìn)一步的審題可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線可以看做是過(guò)定點(diǎn)（0，-2）的直線，結(jié)合題目已知條件，可以讓學(xué)生從直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行解題，完成題目的思考和解答.

反思：在解題的過(guò)程中，需要讓學(xué)生認(rèn)真審題，反思考查的知識(shí)點(diǎn)，思考直接解題難度，是否存在其他解題方式，培養(yǎng)學(xué)生解題能力.

二、引導(dǎo)學(xué)生反思解題結(jié)果

在高中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤是肯定的，錯(cuò)誤并不可怕，重要的是讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行反思，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很多，有些是因?yàn)橹R(shí)不足，有些是能力不足，有些則是邏輯和策略錯(cuò)誤等.因此，在解答數(shù)學(xué)題目之后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行思考，尋找解題錯(cuò)誤的原因，進(jìn)而找出正確的解題方式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行糾正，提高學(xué)生的解題能力.

例2 已知3x2+2y2=9x，求解x2+y2的最大值.

錯(cuò)誤解題 對(duì)題目條件進(jìn)行變形，y2=12（9x-3x2），帶入到目標(biāo)函數(shù)，可以得到x2+y2=x2+12（9x-3x2）=818-12（x-92）2，當(dāng)x=92時(shí)，x2+y2有最大值為818.

錯(cuò)誤解題 令x2+y2=k，可以得出y2=k-x2，根據(jù)題目條件，可以得到x2-9x+2k=0，因?yàn)閤∈R，所以△=81-8k≥0，得出x2+y2的最大值為818.

反思 上述兩種解題中，采取不同的思路得到了相同的結(jié)果，但是，這樣的解題結(jié)果是錯(cuò)誤的，其主要原因是學(xué)生對(duì)題目條件缺少分析，根據(jù)3x2+2y2=9x可以得出2y2=9x-3x2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以0≤x≤3.在解題中得到的92不在限定范圍內(nèi)，因此答案存在錯(cuò)誤.在解答2中，使用判別式解題時(shí)，需要對(duì)未知數(shù)取值范圍進(jìn)行確定，x取值范圍被限定，無(wú)法保證判別式恒成立即可.

正確解題 x2+y2=818-12（x-92）2，函數(shù)在0≤x≤3時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，x=0時(shí)，代數(shù)式的最小值是0，當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式的最大值是9.

三、結(jié)合解題過(guò)程開展反思

在高中數(shù)學(xué)解題中，其主要目的是鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)和技能，熟悉數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的文化價(jià)值.因此，在習(xí)題訓(xùn)練中，在學(xué)生完成解題后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開展反思活動(dòng)，如對(duì)問(wèn)題分析的每個(gè)步驟進(jìn)行推理和演算，說(shuō)出依據(jù)，分析涉及到的數(shù)學(xué)思想.問(wèn)題思考時(shí)，需要補(bǔ)充什么內(nèi)容，哪些環(huán)節(jié)需要被剔除.通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和解決，可以獲得什么結(jié)論，如果將題目條件進(jìn)行變換，是否可以采取原來(lái)的解題方式.通過(guò)一系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生自主探索能力.

例3 （1）已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)最大值是3，求解實(shí)數(shù)a的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1-a，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)的最大值是3，求解實(shí)數(shù)a 的值.

解析 （1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形得到f（x）=-（x-a）2+a2+1-a，當(dāng)0≤a≤3時(shí)， f（x）max=a2+1-a，得出a=2.當(dāng)a<0時(shí)，f（x）max=1-a=3，a=-2.當(dāng)a>3時(shí)，f（x）max=5a-8=3，a=115，不符合題意.因此，a的取值是±2.

（2）函數(shù)變形為f（x）=（x-a）2-a2+1-a，函數(shù)圖像開口朝上，給定區(qū)間的中點(diǎn)是32，當(dāng)a≥32時(shí)，f（x）max= f（0），得出a=-2，不符合題意;當(dāng)a<32時(shí)，f（x）max=

f（3）得出a=1，符合題意.

反思 在指導(dǎo)學(xué)生反思時(shí)，需要讓學(xué)生對(duì)一般性問(wèn)題進(jìn)行思考，結(jié)合知識(shí)內(nèi)容的概括和總結(jié)，總結(jié)二次函數(shù)在特定區(qū)間最值的分析方法，讓學(xué)生能夠做到舉一反三，提高學(xué)生解題能力.

四、結(jié)合問(wèn)題本質(zhì)開展反思

高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，是學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的難點(diǎn)，問(wèn)題形式上雖然不同，但其題目類型相同，有些問(wèn)題形式相似，但有著本質(zhì)區(qū)別，迷惑性強(qiáng).因此，在引導(dǎo)學(xué)生反思時(shí)，應(yīng)當(dāng)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行探究，對(duì)形式不同本質(zhì)相同的題目進(jìn)行歸類，讓學(xué)生總結(jié)出解題方法.對(duì)于形式相似本質(zhì)不同的問(wèn)題進(jìn)行深入分析，鍛煉學(xué)生辨別能力，避免學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生開展自主探索活動(dòng)，分析問(wèn)題本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

例4 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>1），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)是橢圓右側(cè)頂點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得∠APO=90°？

解析 假設(shè)P（acosθ，bsinθ），因?yàn)椤螦PO為直角，所以AP·PO=0，AP=（acosθ-a，bsinθ），PO=（-acosθ，-bsinθ），帶入計(jì)算化簡(jiǎn)得b2a2=1-11+cosθ，因?yàn)閨cosθ|≤1，所以b2a2≤12，e2=1-b2a2≥12，當(dāng)e∈[22，1）時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P.

反思 問(wèn)題解決并不是學(xué)生的重點(diǎn)，作為教師需要引導(dǎo)學(xué)生開展深層次探索和反思活動(dòng)，探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)解題方法，提高學(xué)生解題能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生反思能力培養(yǎng).

五、借助反思訓(xùn)練培養(yǎng)反思能力

在高中解題教學(xué)中，學(xué)生缺少課堂反思，通常是完成知識(shí)講解之后，就讓學(xué)生開展習(xí)題訓(xùn)練，學(xué)生只需要完成習(xí)題訓(xùn)練即可，缺少反思意識(shí)和能力.不少學(xué)生雖然了解反思環(huán)節(jié)，卻沒(méi)有付諸于實(shí)際行動(dòng)，缺少自主思考和探索能力，不少數(shù)學(xué)教師依然采取灌輸式教學(xué)模式，忽視學(xué)生創(chuàng)造能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，更不用學(xué)生學(xué)習(xí)反思能力.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生反思能力訓(xùn)練，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂.

例如，在三角函數(shù)教學(xué)中，章節(jié)知識(shí)比較多，公式類型多而復(fù)雜，學(xué)生很容易出現(xiàn)混淆情況，使得學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，教師可以讓學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行歸納和整理，結(jié)合學(xué)生存在的共同問(wèn)題開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，借助學(xué)生反思訓(xùn)練，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力.在具體的反思訓(xùn)練中，結(jié)合學(xué)生解題中的問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到反思的重要意義，讓學(xué)生從心理上重視反思活動(dòng)，結(jié)合具體問(wèn)題分析和反思，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自身的不足，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式，逐漸提高學(xué)生反思能力.

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生自學(xué)能力培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維和空間想象能力培養(yǎng)，提高學(xué)生問(wèn)題解決能力.反思能力能夠讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考，加深數(shù)學(xué)知識(shí)理解和掌握，結(jié)合解題過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生反思能力，可幫助學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]石磊.高中數(shù)學(xué)解題反思能力培養(yǎng)途徑探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2019（01）：121.

[2]張旭鑫.高中數(shù)學(xué)解題反思能力培養(yǎng)途徑探究[J].成長(zhǎng)，2020（2）：51.

[責(zé)任編輯：李 璟]