問題驅動 經歷過程 生成素養

陳成慈

[摘? 要] 文章以北師大版九年級數學下冊第一章“銳角三角函數”第2課為例，堅持以生為本，關注學生的全程學習經歷，以其為準繩嘗試進行教學設計與實踐，以讓學生感受知識的產生、發展過程及應用的過程，進而提升學生的核心素養.

[關鍵詞] 銳角;三角函數;問題;過程;核心素養

教學內容及解析

本節課是北師大版九年級數學下冊第一章“銳角三角函數”第2課時的內容. 在此之前學生已學習了直角三角形的相關內容，包括兩銳角互余、勾股定理、斜邊中線的性質，含30°角的直角三角形的性質等，學習直角三角形的銳角三角函數，主要研究直角三角形邊、角之間的關系，是對直角三角形性質的進一步深化，也是解直角三角形及高中任意角三角函數的基礎. 本節課的重點是探究并了解銳角正弦的概念.

教學目標及解析

教學目標：（1）利用相似三角形知識探索正弦的概念;（2）能夠根據直角三角形的兩邊長求任一銳角的正弦值.

目標解析：在正弦概念形成的過程中，讓學生經歷從特殊到一般的過程，提升學生發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的能力，培養學生的學科核心素養，包括直觀想象、數學建模、數學抽象等.

教學問題診斷分析

經過三年的初中數學學習，學生具有一定的探究能力，接受知識的能力比較強，且具有一定的數學應用意識，但要求學生在直角三角形中建立銳角與邊比值之間的相互對應關系，還是有一定的困難，因此，本節課的難點在于探索、理解銳角正弦的概念.

教學過程設計

1. 以實際情境引入新知

利用課件展示意大利比薩斜塔的圖片，如圖1所示，然后以視頻的形式讓學生了解比薩斜塔歷史：比薩斜塔建成于1350年，塔身AB的長為54.5米，我們把塔身中心線與鉛垂線AC的夾角，稱為傾斜角，當傾斜角為2.2°時，塔頂中心點到鉛垂線之間的距離BC為2.1米，幾百年過去了，傾斜角增大到5.5°，但是經修復后，傾斜角減少到5°.

問題1：當比薩斜塔的傾斜角為5°時，塔頂中心點到鉛垂線之間的距離，即BC的長是多少米？

問題2：將上述問題轉化為數學問題：在直角三角形ABC中，已知哪些條件？可以求什么元素？如圖2，直角三角形中，已知∠A的度數，如何求出BC的長呢？

設計目的：數學源于生活，基于生活中的實例，抽象出一個數學問題，是數學建模思想的具體體現，其引導學生從特殊出發，探索一般結論，激發了學生發現問題與提出問題的意識[1].

2. 在小組合作交流中探究新知

（1）說一說.

問題1：如圖2所示，在直角三角形ABC中，∠C是直角，銳角∠A為30°，斜邊AB的長為54.5米，那么直角邊BC的長為多少？

問題2：在圖2中，如果∠C是直角，銳角∠A為30°，這些條件不變，只將直角三角形ABC的大小變化，那么∠A所對直角邊與斜邊的比值會發生變化嗎？這又說明了什么問題？

設計目的：通過含30°角的直角三角形的性質，說明在直角三角形中，當銳角∠A的大小不變時，它的對邊與斜邊的比值是一個定值，這樣的設計幫助學生在已學知識的基礎上建立了新的數學模型，培養了學生的數學語言表達能力與邏輯推理能力.

（2）做一做.

請同學們按下列活動方案，把計算結果填寫在表1里.

如圖3所示，在射線OA上任取一點C，然后過這一點向OB作垂線，垂足為D，①當∠AOB為45°時，在直角三角形COD中，計算∠COD所對直角邊與斜邊的比值;②當∠AOB為60°時，在直角三角形COD中，計算∠COD所對直角邊與斜邊的比值.

問題：同學所畫的直角三角形COD大小一樣嗎？結果一樣嗎？這說明了什么問題？

設計目的：通過學生的動手操作，利用前面學習的數學知識解決問題，然后引導學生總結，學生會驚奇地發現，當∠COD為45°時，它的對邊與斜邊的比是一個固定值，當∠COD為60°時，它的對邊與斜邊的比也是一個固定值，結果與直角三角形COD的大小沒有關系.

（3）猜一猜.

教師：由以上三種特殊角的結果，你會做出怎樣的猜想呢？

學生：在直角三角形中，當一個銳角的大小固定時，它的形狀就固定，它的對邊與斜邊的比值就固定.

（4）證一證.

①利用數學軟件GeoGebra對學生的猜想進行驗證;

②如圖4所示，△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，∠C和∠C′都是直角，且∠A=∠A′，試說明=.

設計目的：通過數學軟件GeoGebra的直觀演示，學生可以直觀地看到，在直角三角形中，當銳角∠A不變時，它的對邊與斜邊的比永遠不變，以此培養學生直觀想象的核心素養. 第②小題證明=，也就是在說明對邊與斜邊的比值是一個固定值.

3. 總結屬性明確定概念

概念：如圖5所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角∠A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，用數學符號記作sinA，也就是說sinA==.

問題1：如圖6所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，那么sinB等于哪兩條邊的比？根據圖中數據，請計算sinB的結果.

問題2：如圖7所示，在三角形ABC中，sinA=正確嗎？試添加一個合適的條件，使這個結論成立.

設計目的：通過上述兩個問題，讓學生進一步明確正弦的概念，其成立的前提條件是在直角三角形中，一個角的正弦就是這個角的對邊與斜邊的比.

問題3：觀察表2，我們發現當∠A為30°，45°，60°時，sinA都有唯一的值與之對應，那么當∠A是其他銳角時，sinA的值是否也是唯一的呢？教師利用數學軟件GeoGebra進行演示.

問題4：sinA的值是否隨角度的變化而變化呢？在上述問題中，自變量和因變量分別是什么？它們的取值范圍呢？

設計目的：用列表及數學軟件Geo-Gebra演示的方法，讓學生明白銳角∠A與它的正弦值是一一對應的，也就是一種函數關系，進一步提升了學生數學建模的能力與意識;對于自變量與因變量取值范圍的確定，加深了學生對正弦實際意義的理解.

4. 典例剖析，變式訓練

例題：如圖8所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，求∠A、∠B的正弦值.

變式：如圖9所示，在直角三角形ABC中，∠C為直角，已知sinA=0.7，AB的長為15，那么直角三角形其他兩邊長分別是多少？

設計目的：例題體現了數形結合的數學思想，要求學生能運用正弦定義解決問題. 變式要求學生靈活運用正弦定義解決問題，為后面學生的編題自練打下了基礎[2].

編題環節：第一步，學生獨立編題并解題;第二步，小組內討論，選出本組內比較有思維含量的試題;第三步，每個小組派代表把好的試題展示在黑板上，由其他同學評價;第四步，同學們任選一題進行訓練.

5. 當堂訓練，鞏固新知

此處略.

設計反思

本節課是銳角三角函數正弦概念課，在進行教學設計時，筆者始終堅持以生為本的原則，關注學生的全程學習經歷，即發現問題、提出問題、探究問題、合作交流、猜想驗證、證明應用等過程，學生感受了知識的產生、發展、應用的過程，教學實踐也證明，教學效果良好.

參考文獻：

[1]潘云釗. 關于銳角三角函數數學建模的教學建議[J]. 中學數學教學參考，2020（09）.

[2]邢皓. 變式教學在數學課堂中的應用探究[D]. 上海師范大學，2018.