借助特殊值 打開數(shù)學(xué)解題“突破口”

林麗娟

摘 要：高中數(shù)學(xué)習(xí)題題型靈活多變，解題思路多種多樣。部分習(xí)題采用常規(guī)做法較為繁瑣，而且容易出錯。為更好地提高數(shù)學(xué)解題效率，應(yīng)具體問題具體分析，尤其應(yīng)注重特殊值的應(yīng)用，更好地揭示的數(shù)學(xué)規(guī)律、參數(shù)關(guān)系，迅速地找到解題突破口。教學(xué)中為提高學(xué)生運用特殊值解題的技巧，應(yīng)注重為學(xué)生做好相關(guān)例題的講解。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);特殊值;解題;突破口

特殊值法指通過設(shè)題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法。特殊值法在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。為提高學(xué)生運用特殊值解題的意識與能力，教學(xué)中既要做好相關(guān)理論講解，又要為學(xué)生展示特殊值在解題中的具體應(yīng)用，不斷提高學(xué)生運用特殊值解題的水平與能力。

一、借助特殊值，突破不等式習(xí)題

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點之一，是高考的必考點。高考中既可以小題的形式單獨考查不等式知識，也可以與解答題結(jié)合起來考查學(xué)生綜合分析問題的能力。當(dāng)其以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在考題中時，解題的方法較為靈活。其中運用特殊值，巧妙的代入到相關(guān)參數(shù)中，能直觀地看到一些表達式的大小關(guān)系。為使學(xué)生借助特殊值，高效的解答相關(guān)習(xí)題，教學(xué)中應(yīng)注重講解相關(guān)例題，給學(xué)生帶來解題的啟發(fā)，指引學(xué)生在以后的解題中能具體問題具體分析，尤其突破思維定式，注重特殊值的應(yīng)用。如下題：

若a>b>0且ab=1，則以下不等式成立的是（ ）

A.a+<

B.

C.a+

D.log2（a+b）

該題目考查了不等式的相關(guān)知識，給出的題干條件較少，如采用常規(guī)方法，需要進行大量的分析，效率較低，而采用特殊值法可很快的得出正確答案。

因ab的具體值未知，因此可取滿足題設(shè)條件的特殊值，令a=2，b=，則a+=4，=，log2（a+b）=log2，而1

二、借助特殊值，突破三角函數(shù)習(xí)題

高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)部分涵蓋很多的知識點以及計算公式。部分習(xí)題常將三角函數(shù)知識與其他知識點結(jié)合起來，解題難度進一步提升。解答三角函數(shù)習(xí)題常用的知識有三角函數(shù)性質(zhì)、各類三角函數(shù)公式。事實上部分習(xí)題如采用常規(guī)思路，雖然能夠解答出來，但過程復(fù)雜，計算繁瑣，花費時間長，因此在解題中應(yīng)具備靈活的思維，通過認真審題，充分把握給出的已知條件，通過特殊值的應(yīng)用，更好地揭示相關(guān)規(guī)律，達到簡化計算，高效解題的目的。如下題：

若α∈[0，π]，β∈[-，]，λ∈R，且（α-）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，則cos（+β）=（ ）

A.0 B. C. D.

該習(xí)題中涉及三個參數(shù)以及三次方，難度較大，采用常規(guī)做法難以入手。解題時可運用特殊值減少參數(shù)個數(shù)，運用所學(xué)函數(shù)知識加以巧妙的突破。

∵λ∈R，取λ=0，則題干中的等式變?yōu)椋é?）3-cosα=0，4β3+sinβcosβ=0，觀察兩個等式，結(jié)合三角函數(shù)知識，繼續(xù)運用特殊值，即，α取，β取0，則cos（+β）=cos=，選擇D項。

三、借助特殊值，突破數(shù)列習(xí)題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中較為抽象的知識點，對學(xué)生的理解能力要求較高，尤其部分習(xí)題解題的靈活性較強。為更好地提高學(xué)生解答數(shù)列習(xí)題的能力，幫助其樹立解答數(shù)列習(xí)題的自信，既要注重數(shù)列基本概念、基本性質(zhì)以及常規(guī)解題思路的講解，使其掌握通法通解，又要注重提醒學(xué)生特殊值的應(yīng)用，尤其為使學(xué)生掌握特殊值在解題中的應(yīng)用思路，應(yīng)做好數(shù)列習(xí)題題型的匯總以及經(jīng)典例題的講解，使其認識到遇到等差數(shù)列時可考慮各項均為某一值的常數(shù)列。如下題：

已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，則m的值為（ ）

A.38 B.20 C.10 D.9

該題目若運用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進行計算，較為繁瑣，花費時間較長。為提高解題效率和使用特殊值法進行解答。

因常數(shù)列屬于等差數(shù)列，因此可將數(shù)列{an}看成是各項為x的常數(shù)列，∵am-1+am+1-am2=0，則x+x-x2=0，解得x=2或x=0，但當(dāng)x=0時，Sn=0，與S2m-1=38矛盾，因此，x=2。顯然當(dāng)n=19時，Sn=38，即，2m-1=19，m=10，選擇C項。

四、借助特殊值，突破函數(shù)習(xí)題

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是高中數(shù)學(xué)的重點、難點知識。高中數(shù)學(xué)函數(shù)習(xí)題復(fù)雜多變，習(xí)題的命題角度以及考查的知識點也不盡相同。部分習(xí)題有多種解法，不同解法的難易程度、花費的時間不同。在考試中應(yīng)選擇能夠節(jié)省時間、解題正確率又高的方法，這就需要應(yīng)用一定的解題技巧。其中借助特殊值往往能夠達到事半功倍的解題效果。為使學(xué)生更好地突破函數(shù)類的習(xí)題，既要注重講解相關(guān)例題，又要鼓勵學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，做好聽課的總結(jié)與反思，把握特殊值在解答不同函數(shù)習(xí)題中的細節(jié)以及注意事項，既要學(xué)會審題，充分挖掘隱含條件，又要避免掉進出題人設(shè)計的陷阱中。如下題：

已知函數(shù)f（x）=|ex+|（a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）

A.[0，1]?? ??? ?B.[-1，0]

C.[-1，1]?? ??? ?D.（-∞，-e2]∪[e2，+∞）

該題目若采用常規(guī)方法難度較大，解答該題從給出的選項入手，采用特殊值法能夠少走彎路，提高解題效率。

給出的四個選項中只有D項不包含0，則取a=0，則f（x）=|ex|，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知其在[0，1]上單調(diào)遞增，首先排除D項。觀察A、B、C三個選項，A項含有1，B項含有-1，C項含有1和-1，因此，可分別取a=1，a=-1進行分析。當(dāng)a=1時，f（x）=ex+，則f'（x）=ex-，在區(qū)間[0，1]上f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，滿足題意;當(dāng)a=-1時，

f（x）=ex-，則f'（x）=ex+。在區(qū)間[0，1]上f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，滿足題意。綜上a=1和a=-1均滿足題意，因此，選擇C項。

五、借助特殊值，突破圓錐曲線習(xí)題

高中數(shù)學(xué)圓錐曲線類型的習(xí)題往往會涉及復(fù)雜的運算，導(dǎo)致一些學(xué)生望而生畏。部分學(xué)生在測試中遇到圓錐曲線類型的習(xí)題往往“繞著走”。教學(xué)中為增強學(xué)生的解題自信，既要做好說服教育工作，使學(xué)生不能膽怯，樹立必勝的信心，又要注重講解相關(guān)的解題技巧，尤其應(yīng)注重特殊值的講解，通過給相關(guān)參數(shù)賦予特殊值化難為易，化特殊為一般，更好地揭示出相關(guān)參數(shù)之間的規(guī)律，達到高效解題的目的。為使學(xué)生在解題中學(xué)會特殊值的應(yīng)用，應(yīng)做好相關(guān)例題的剖析。如下題：

已知雙曲線M和雙曲線N的中心都為坐標(biāo)原點，對稱軸均為坐標(biāo)軸，兩者的離心率分別為e1，e2，若雙曲線M的實軸長是雙曲線N是實軸長的兩倍，兩者的虛軸長相等，則點（e1，e2）必在（ ）

A.雙曲線4x2-y2=3上B.雙曲線y2-4x2=3上C.橢圓4x2+y2=3上D.橢圓x2-4y2=3上

雙曲線類型的習(xí)題與計算繁瑣而著稱。該題如采用常規(guī)方法分別設(shè)出兩個雙曲線，研究兩個雙曲線離心率之間的關(guān)系，計算量較大，在考試中不可取。根據(jù)題意不妨采用特殊值法進行解答。

根據(jù)題意令雙曲線M的方程為：-y2=1，離心率e1=，雙曲線N的方程為：x2-y2=1，離心率e2=，將點（，），分別帶入給出的四個選項之中，發(fā)現(xiàn)只有A項滿足，因此，選擇A項。

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)解題方法多種多樣，其中特殊值體現(xiàn)的是由特殊到一般的思想，用于解題中可提高解題效率以及解題正確率，因此，教學(xué)中應(yīng)做好不同數(shù)學(xué)題型的匯總，并結(jié)合不同題型為學(xué)生講解特殊值的應(yīng)用，拓展學(xué)生的解題視野。同時，圍繞某一題型，通過優(yōu)選相關(guān)的習(xí)題，組織學(xué)生開展針對性的訓(xùn)練活動，鼓勵其做好訓(xùn)練的總結(jié)、反思，及時查漏補缺，使其掌握特殊值在不同習(xí)題中的應(yīng)用技巧，在以后遇到相關(guān)的習(xí)題能夠首先想到運用特殊值加以突破。

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