高中三角函數中關于最值認知與邏輯思維的拓展關系

摘 要：在高中數學中三角函數的最值問題是教學的重點內容，也是高中階段數學學習的主要內容之一。但是在學習的過程中，很多學生通常無法正確理解最值概念，不能合理運用三角函數解題方法，繼而無法理清最值的運算規律。這種在邏輯思維上沒有建立起正確的點位，無法從點到線進行鋪開式思考的現象，在一定程度上對高中學生的三角函數學習造成了困擾和障礙。因此本文將以對高中三角函數的最值認知與邏輯思維的拓展關系為切入點，對最值和高中生邏輯、立體思維觀的建立進行闡述。

關鍵詞：高中三角函數;最值;思維拓展;高中數學

新課標的實施為高中數學教學增加了新鮮的血液，但是由于高中數學屬于邏輯思維教學，需要教育者和學習者雙方都必須具有較強的邏輯思維能力才能完成自主學習的目標。根據目前高中數學教學中所出現的情況來看，學生的數學邏輯思維和立體空間感尚處于“萌芽”狀態，需要教師在教學過程中進行引導和啟發才能完成自主學習。[1]因此，對于新課標要求的以學生為主導，從關注學生學習向誘導學生進行自主學習，并在學習過程中增加動手操作能力，與實際生活相連以便完成“學以致用”等，在高中數學的教學和學習過程中履行起來頗具有難度。

一、高中三角函數里最值的重要性

在高中數學的學習中三角函數的最值作為最為重要的知識領域之一，可以通過合理的選擇自變量來完成對習題的解答，這一步是習題解答的關鍵。以“角”為切入點，作為自變量去搭建起函數關系式也是目前解決高中三角函數中無法求解的方法之一。根據實際問題尋找求解的方法，無論在應用題的解答過程中還是在現實的生活遇到障礙時，均是解決問題的重要思想，但是在高中三角函數量值求解中，卻因為學生無法切實掌握最值的概念，受到知識存儲和邏輯思維的不完善限制，在高中三角函數的最值問題研究上面經常會出現無法解答和解答完成后不會以此方法去解答下一道高中三角函數最值題等的尷尬局面。

就此問題來延伸到高中數學學習和學生邏輯思維的拓展上來看，高中生的邏輯思維能力不強與之前在學習過程中，多依賴教師的代為知識梳理、教師對其進行方法的灌輸、參考資料的輔助、對網絡上各種題型已經被解答出答案的簡單復制等，但是這些問題均來自當前教育體制長期積累下來的弊端，無法從根本上改變。由此，執教者在進行高中三角函數最值的教學時，務必要將幫助高中生進行邏輯思維系統的建立和拓展。

二、高中三角函數里最值的解法

高中三角函數中的最值，區分于集合中的最值研究，按照最值本身的含義可以解釋為最大值或者最小值。[2]三角函數的最大值和最小值，無法用空間的立體感進行討論，但是因為最值本身是歷年高考中的重要熱點和難點，所以從考核的角度來看，將含有三角函數最值的歷年高考試題抽取出來進行羅列，那么從中就可以發現高中三角函數中最值使用及表現的邏輯規律。

高中數學知識的實際運用性并不是特別的強，它注重的是對數學思想的培養與運用，通過對高中數學的學習培養學生解決問題的思想方法是高中數學教學的要點。高中數學思想有很多，針對不同的題型會有不同的運用，本文針對高中三角函數最值問題僅以轉化思想和數形結合思想為例進行探討，對引導學生解題起到拋磚引玉的作用：

例1已知函數f（x）=sin2x-cos2x，x∈R.求函數f（x）在區間[，]上的最值。

分析：此種類型的題屬于y=asinx+bcosx+c型，可利用輔助角公式化成y=a2+b2sin（x+φ）+c（其中tanφ=）來解決。

解：∵f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

又∵f（x）在區間[，]上為增函數，在區間[，]上為減函數，又f（）=0，f（）=2，f（）=-1，

∴函數f（x）在區間[，]上的最大值為2，最小值為-1。

例2已知函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求函數f（x）的最大值及取得最大值時自變量x的集合。

分析：此種類型的題屬于y=asin2x+bsinxcosx+c.cos2x難度相對較大，可利用降冪公式整理化成y=Asin2x+Bcos2x+C，再轉化為類型一求解。

解：∵f（x）=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+2sinxcosx+2cos2x

=sin2x+cos2x+2

=2+2sin（2x+）

∴當2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）時，f（x）取得最大值2+2，且函數f（x）取得最大值時自變量x的集合{x|x=kπ+，k∈Z}。

例3求函數的值域（最大值最小值）。

分析：對于型三角函數問題，我們通常的解法是把其轉化為形式，再利用輔助角公式求其最值。這種方法比較傳統，也是同學們比較容易想到的解題方法，但是這種方法比較復雜，在轉化和求解的過程中稍有不慎就會滿盤皆輸。針對這種現象我們可以轉變學生的思維，引導他們運用數形結合的思想來解決此類問題，這樣既發散了學生的思維、加快了解題速度同時還保證了準確率。

解：運用數形結合的方法，求原函數的值域等價于求單位圓上的點P（cosx，sinx）與定點Q（2，0）所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖像，當過Q點的直線與單位圓相切時得斜率便是函數得最值，由幾何知識，易求得過Q的兩切線得斜率分別為-、。結合圖形可知，此函數的值域是。

三、高中三角函數里最值中的邏輯思考點

邏輯性思維的建立并不是一朝一夕的事情，當然有時候一旦突破某個點之后就若醍醐灌頂般完全領悟其中的奧秘。就高中三角函數里最值的研究方面這個邏輯思維的運用，可以從對高中三角函數的認知延伸出來。三角函數最值的解答必須建立在對三角函數基礎知識進行掌握的基礎之上，其題型的形式多樣，如單純作為考察值域所出現的選擇填空題、作為解答題中的隱含要素或者直接作為應用題型需要直接做出解答等。[3]

學生在進行高中三角函數里最值的解答時，因為解題的思路不清晰也就是我們在前面談到的邏輯思維不明朗會導致不能抓住題目的本質，分不清究竟在考察何種知識點，那么因為三角公式種類很多，即便是一個一個公式用來做做試試看的話，也許會得出答案與參考答案等同，但是這并不意味著題目就此解析出來，對這道題的認知也就相應的出現了具象型概念。往往對學生在進行數學學習時候造成自信心受挫，遇到高中三角函數就撓頭的，大都源于僅僅是為了最后的結果而做題或者學習，邏輯思維并沒有在做題的過程中形成和建立，由此，學生在題海戰術中只能疲于奔命。

例如：對于Y=asinx+bcosx類型的函數對其求法就可以按照統一性規則求解，對于這種函數就可以sinx和cosx作為統一的一種函數值來納入求解過程：已知函數f（x）=2cosxsin（x+）+sin2x+sinxcosx，求f（x）的最小值和取得最小值時X的值。在這樣的題型里，可以將解答的方式轉化成為單純的cosx或者單純的sinx來求值則相對容易些。解答的時候，根據sinx和cosx之間的轉化公式，可以得出2cosxsin（x+）=2cosx（cosxsin+sinxcos），這一步中的延展就是利用了sinx和cosx的關系這些在解答題之前是可以按照數學習慣性思維進行分析的。

經過這樣一步之后整體就變成了sin2x和Sinx、cosx之間關系的轉化，由此，從這一步轉化后，f（x）的比值就是cos2x與2cosxsinx之間的和值解答，最后結果自然就是2sin（2x+），那么周期最小自然就是π值。而將2x+進行延展，帶入kπ值（K∈Z）那么最后取得的f（x）的最小值結果為-2。在這道題的求解過程中，學生所用到的只有兩種公式的裝換，從這兩種公式的轉化過程中繼續提煉，那么可以得到此類型的公式y=a2+b2sin（x+?）時，tag?的值就可以用a和b的比值來進行解答。[4]對于三角函數最值的計算中，最初始的幾個公式以及公式之間的轉換關系所組成的公式組，它們的存在性以及它們彼此之間存在的邏輯關系是學生在解答此類題時一定要理清楚的，一旦將這些在腦海中構建起來，那么逐步進行從易到難的問題解析，那么關于三角函數各個公式以及各個題型之間的邏輯關系拓展必然會有新的突破。

參考文獻

[1]高慧明.高中數學知識科學網絡結構反思研究[A]國家教師科研基金十一五階段性成果集（湖北卷）[C]，2010.

[2]孫平.三角函數最值的求解[J]新課程（教師），2010.09.

[3]劉旭.信息技術和數學教學的整合讓我和學生共同成長[A]教育技術：信息化階段新發展的研究[C]，2007.

[4]李春霞.單位圓在三角函數中的教學功能探析[N]學知報，2011.

作者簡介：王曉雪（1982.08-）.女，福建廈門人，漢族，樂安中學一級教師，本科，研究方向：高中數學教學。