高中數學知識體系間的內在聯系

計克紅

摘要：事物聯系性這一普遍規律在高中數學知識中顯而易見，這一規律的運用能更好地把握內在知識體系。數學基礎知識、思想方法一直以來都是常規數學考核中的關鍵，也是每年高考的關鍵，若能熟練夠掌握基礎知識、靈活運用思想方法并探索其中規律，就對高中數學理解更全面和深刻，有彈性和體系性。下文結合高中數學部分知識總結一些看法，以供相關從業人員參考。

關鍵詞：高中數學;事物聯系性;知識體系;思想方法

引言

有意識地運用事物聯系性觀點，通過分析、類比、歸納等去領會諸多知識，并將各種思想遷移在不同的知識和解題中，高中數學就變得更容易掌握。

一、無處不在的集合觀點

高中數學、大學數學的很多分支，都先得學習集合，集合的重要性可見一斑。

集合表達的規范性、嚴謹性、簡潔性就注定集合是數學知識的一種直接的、規范的描述方式，函數、三角、立體幾何等諸多相關概念、定理的表達在集合語言的使用下才相對明確，有了明確的研究對象和范疇。準確把握集合語言于提高思維的嚴謹性，提升對概念、定理等的解讀能力和判斷能力。

集合思想更是無處不在，認知對象的歸納、知識結構、層次、體系的形成。好比電腦需要分盤儲存東西，而不是全部東西鋪在桌面上，好比生活中買書，先買了幾本，后來逐漸又買，書多了就想著去整理書房，對書進行歸類和分類，都是集合思想的體現。數學教師在教學中可以運用集合思想建立數學概念系統，或者在復習教學中幫助與引導學生歸納、整理數學知識，幫助學生養成這樣一種集合的意識與習慣，即善于把在某些方面有類似性質的對象（或滿足某一條件的對象）放在一起視為一個集合，然后利用集合的有關概念或通過集合的有關計算來研究和解決問題，逐漸培養學生對事物的處理、分類、判斷意識，形成一定的素養，這不僅對現在所學的高中數學有利，對其它科目也有利，甚至對將來的學習與工作問題的解決都是多了一種思考與處理方式。

二、函數是主線

高中數學的知識網絡中函數是主線。函數源于研究事物運動變化規律的需要，刻畫了一個變量隨著另一個變量的變化狀態，也可抽象概括地說函數給出一個數集到另一個數集的對應關系，廣泛地講，數可以看成特殊的函數，數的運算可以看成特殊的二元函數，有變量的地方可以涉及到函數，這樣導致了高中的很多知識離不開函數這一條主線。函數的性質及幾種初等函數，幾乎貫穿了整個高中數學，乃至大學里也需要這些作為基礎知識。

在此僅僅說一下二次函數的“神通”，一元二次函數、方程、不等式，遍布于高中數學的每個角落，從高中數學知識體系的縱向來講，二次函數模型在基本不等式、等差數列求和公式、向量的數量積、余弦定理、圓錐曲線、方差計算等內容中直接運用，還有很多情形下，即使不是二次函數模型，也可通過適當換元后轉化為二次函數模型。然而，這三個“二次”內部更是關系密切，是一體的，可以更直觀地將三者展現在二次函數的圖象上，這樣將問題活靈活現，有助于動態分析解決一些稍難的題目。數學好玩，有時候本來說的就是一個本質，比如函數的零點、方程的根、圖象與橫軸交點的橫坐標，只是三種不同的形態，或者說三種不同的語言表達。

函數與方程的思想更是應用廣泛，不僅僅體現在知識的呈現上，在解題策略上也常常需要構造函數模型或者建立方程。

三、描述周期現象的三角函數

三角函數是描述周而復始運動變化現象的數學模型，三角函數最特殊的性質就是它的周期性，解決很多問題時要惦記著這一性質，才不會出錯，對于初學者來講難點就在于此。除此之外，其他性質或者說研究方式和其它的基本初等函數是一致的，比如直觀的圖象法，無論是結合三角函數圖象還是特有的單位圓法都是同樣有效的，都可以用于理解各種公式和直觀解題。

正弦函數、余弦函數是源于圓周運動的周期函數，余弦比正弦先走了 個周期，即 。它們的性質和相關公式都幾乎相應出現，學習時要注意類比與整合。

解三角形、復數、曲線的參數方程、不等式等問題，都涉及到三角函數，物理上一些具有周期性的問題，比如圓周運動、簡諧運動、機械波、交流電等都用到三角函數的知識。解決有些問題時，問題中雖然沒提到角，但引入角這一變量，用三角函數的代數式表示更多的量，進行三角函數的運算，使得問題通俗易懂，從這個角度角講，三角函數具有工具性作用，顯然不只是解決三角函數內部相關的問題。例如一些表面上與三角無關的代數式計算或者證明的數學問題，把其中的代數式進行恰當的三角代換，使得運算與證明簡潔許多。

四、向量的工具性、滲透力

向量有數有形，它既有代數的運算性質，又有幾何的圖形特征，溝通了代數與幾何，是兩大佬的橋梁，導致向量的工具性就水到渠成。比如幾何上用向量的分解法與坐標運算，對幾何模型有了整體把握和多維度地量化，使得幾何問題解析化，向量與復數也是相互照應的，好比孿生兄弟，它們的發展相得益彰，當然還有三角的計算、不等式的證明等。

解決很多數學問題時，各塊數學知識及各種思想方法的相互滲透意識要強，不要看到角才想到三角函數，看到向量的符號才想到運用向量，那樣太被動，好比下象棋，非得等對方下完一步才知道自己該怎么動下一步，就不會是高手。

五、函數觀點看待數列

數列可看作定義域為正整數集或其子集的一類函數，數列的“影子”在高中數學中頻繁出現，比如涉及到逼近方法時，涉及到給數據找規律時……數列出現得很早，也常常會結合些史料出現。

等差數列與一次函數作類比，等比數列與指數函數作類比，高考對數列及其運算特別是對等差數列和等比數列這兩類是直接考查的。函數問題的很多解題方法運用到數列問題的解決，比如待定系數法、圖象法、換元法、配湊和分離常數法等。這可謂函數觀點下的數列。當然，學習中，等差數列與等比數列兩者之間的類比也是不可忽視的，從概念到公式、性質、計算方法等都可比較，去發現兩者間的內部聯系。

結束語

老師引導學生感悟聯系的觀點、運動的觀點、系統的觀點，甚至審美的觀點。通過這些觀點的折射，搞活高中數學，有益提高學生數學的綜合能力和應用能力，感受數學更強大的生命力，真正感悟到數學的價值與魅力，盡量向數學教育的目的多靠近一些。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系 編，上冊，第三版.數學分析[M].北京：高等教育出版社. 2006.5.43、126.

[2] 高志亮、李忠良編著.系統工程方法論.[M].西北工業大學出版社.2004.8.31、164.