設而不求 整體建構 優化運算

王飛燕

[摘? 要] 平面解析幾何中各類“弦”的運算是教學的一個重點，更是一個難點，以“弦”的運算和設而不求的方法為中心作為一個研究主題的微專題教學因勢而生. 文章以設而不求、整體建構、優化運算為目標的微專題教學為例，對基于核心素養之數學運算導向的微專題的教學設計進行闡述.

[關鍵詞] 核心素養;解析幾何;微專題;設而不求;數學運算

[?]概述

核心素養是課程落實“立德樹人”這一根本任務的具體表現，是當前數學課堂教學的價值取向和實踐的內驅力. 史寧中教授提到“開展核心素養的教學，應當把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計，無論這些整體稱為‘單元還是‘主題，總之，要把這些內容融為一體進行教學設計”[1]. 設而不求是解析幾何常用的解題方法，其實質是運用方程思想在整體結構上的變式和整體運算的應用. 根據不同的問題背景合理設置點的坐標而靈活選擇運算路徑，以減少運算量為目的進行問題的解決. 其精彩之處在于設而不求，巧妙建立未知和已知之間的聯系，化繁為簡，簡化運算過程，直達問題的解決目的. 設而不求優化了學生的解題思路，學生面對煩瑣的運算，能通過閱讀、運算和畫思維導圖等顯性化的活動來分析問題的本質，進而明確轉化方向，并利用數學概念的多元聯系表示，將問題轉化為簡單的、直觀的表示方式，從而創造性地建構從已知到未知的橋梁，并最終實現問題的解決[2]. 讓學生獲得更大的學習信心，培養學生優秀的學習品質. 因此筆者設計了這個微專題在此呈現，以期起到拋磚引玉的作用.

[?]教學片段

1. 設而不求類比處理兩弦關系問題

涉及兩直線與圓錐曲線的相交弦的問題，常需先設一條直線方程和其弦端點的坐標，設而不求，聯立直線方程和圓錐曲線方程，消元產生對應的一元二次方程，利用韋達定理搭建相關的橋梁，獲得一個關聯式;再通過類比，同理產生另一關聯式. 這樣處理的優化運算能起到事半功倍之效.

例1（2021·全國卷Ⅰ）：在平面直角坐標系xOy中，已知點F（-，0），F（，0），點M滿足

MF-

MF=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解：（1）易求C的方程為x2-=1（x≥1）.

（2）設T

，n

，A（x，y），B（x，y），設AB的方程是y-n=k

x-

，由

y-n=k

x-

，

x2-

=1，得（16-k）x2+（k-2k1n）x-k-n2+kn-16=0，所以x+x=，xx=，TA=·

x-

，TB=

x-

，所以TA·TB=（1+k）

x-

x-

=. 設PQ的方程是y-n=k

x-

，同理得TP·TQ=. 因為TA·TB=TP·TQ，所以=，即1+=1+，所以k-16=k-16，即k=k. 因為k≠k，所以k+k=0.

2. 設而不求同構處理切點弦問題

涉及圓錐曲線兩切線的問題時，若先設切點坐標（切線方程），設而不求，得到兩切線方程，進而同構處理切點弦方程，將會減少運算量，優化解題過程.

例2（2019·全國卷Ⅲ）：已知曲線C：y=，D為直線y=-上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點;

（2）若以E

0，

為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

解：（1）設D

t，-

，A（x，y），B（x，y），因為y′=x，所以k=x=. 又x=2y1，整理得2tx-2y+1=0. 同理得2tx-2y+1=0. 所以直線AB的方程為2tx-2y+1=0，故直線AB過定點

0，

.

（2）由（1）得直線AB的方程為y=tx+，由y=

，

y=tx+，可得x2-2tx-1=0，所以x+x=2t，xx=-1，則y+y=t（x+x）+1=2t2+1，AB=

x

-x=·=2（1+t2）. 設d，d分別為點D，E到直線AB的距離，則d=，d=. 因此，S=·AB（d+d）=（t2+3）. 設M是線段AB的中點，則M

t，t2+

. 因為⊥，而=（t，t2-2），與向量（1，t）平行，所以t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1. 當t=0時，S=3;當t=±1時，S=4. 故四邊形ADBE的面積為3或4.

3. 設而不求的點差法處理四類相交弦問題

圓錐曲線與直線的相交弦問題，常見的有“中點弦”“軸對稱弦”“中心對稱弦”以及“過焦點的弦”等問題背景，對于這四類弦都可以實施設而不求的方法，利用圓錐曲線方程構建點差法快捷解決相交弦的運算問題.

（1）處理”中點弦“問題. 直線與圓錐曲線的相交弦問題若涉及中點和斜率，常采用設而不求構建點差法進行處理，能達到簡潔明快之效果.

例3（2020·湖北八校聯考）：已知點M

，

在橢圓C：+=1（a>b>0）上，且點M到橢圓C的左、右焦點的距離之和為2.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設O為坐標原點，若橢圓C的弦AB的中點在線段OM（不含端點O，M）上，求·的取值范圍.

解：（1）易求橢圓C的方程為+y2=1.

（2）設A（x，y），B（x，y），則AB的中點

，

在線段OM上. 由已知得k=，所以x+x=2（y+y）. 聯立

+y

=1，

+y

=1，兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，k==-= -1. 設直線AB的方程為y=-x+m，聯立

+y2=1，

y=-x+m，得3x2-4mx+2m2-2=0. 由Δ=8（3-m2）>0，所以m2<3且x+x=，x·x=. 又=∈

0，

，所以0

-，

. 所以·的取值范圍是

-，

.

（2）處理“軸對稱弦”問題.涉及圓錐曲線的“軸對稱弦”問題，實施設而不求的點差法進行處理，能較大降低運算量，簡化求解過程.

例4：已知M，N是橢圓+=1（a>b>0）上的兩點，線段MN的垂直平分線與y軸交于點Q（0，t），求t的取值范圍.

解：設M（x，y），N（x，y），聯立

+

=1，

+

=1，兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k== -. 又因為MN的垂直平分線的斜率k==，所以-·= -1，求得t=

1-

·

. 因為y≠y，所以-b<

-，

.

（3）處理“中心對稱弦”問題. 利用中心對稱關系設弦的端點坐標，用設而不求的點差法處理圓錐曲線“中心對稱弦”問題，常能出奇制勝.

例5：已知M，N是雙曲線-=1上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意異于M，N的點，求證：MP與NP的斜率之積為定值.

解：設M（x，y），P（x，y），則N（-x，-y），所以-=1，-=1. 所以k·k=·===.所以MP與NP的斜率之積為定值.

（4）處理“焦點弦”問題. 通過設弦的端點坐標，利用設而不求或韋達定理，實施點差法處理圓錐曲線的“焦點弦”問題，使問題的解決顯得明快、高效.

例6：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的右支與焦點為F的拋物線x2=2py交于M，N兩點，且MF+NF=4OF，求雙曲線的離心率.

解法一：設M（x，y），N（x，y），所以MF+NF=y++y+=4OF=4×，即y+y=p. 由x2=2py，

-

=1，得a2y2-2pb2y+a2b2=0，所以y+y==p，求得=，求得e=.

解法二：設M（x，y），N（x，y），同上求得y+y=p，k===. 由

-

=1，

-

=1，兩式作差得·（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k===·=，求得=，所以e=.

[?]體會和啟示

在解析幾何問題的求解中運用設而不求的方法，能夠開拓學生的思維，增強學生靈活處理問題的能力. 設而不求的方法能幫助學生靈活、快速、簡潔、高效地解答問題，很大程度上提高了解題的正確率，能極大激發學生的學習熱情，優化學生的思維品質.

微專題是為知識的遷移而教，為培養學生的核心素養而教. 微專題教學要立足于學生原有的認知基礎，要從學生思維的最近發展區設計教學，激活學生的知識，讓學生構建解決問題有較為清晰的“思維路線圖”，促進學生深度學習. 讓不同層次的學生獲得不同程度的收獲與體驗，在日常教學中重視數學思想和方法的滲透，對提升學生數學核心素養是極為有益的[2].

參考文獻：

[1]? 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法，2017（04）.

[2]? 黃云. 直面問題 展現思路 積累經驗——基于“數學基本活動經驗”下的問題解決講評[J]. 數學通報，2017，56（10）.