基于核心素養的概率與統計深度學習體驗、評價及反思

王彪 羅中武

摘要：學習體驗有鞏固性的完善與引申，有拓展性的辨析與爭鳴，有研究性的猜想與論證，給學生提供學習機會[1]. 經歷課堂實踐、評價、反思，促進師生深度學習，發展學生核心素養。

關鍵詞：學習體驗;設計評價;教學反思;深度學習;核心素養

一、學習體驗

高三一輪復習已經結束，在數學老師的引導下，我通過查閱資料、獨立思考、合作學習等方式，完成了數學課外作業變式設計，具體設計如下：

引題：摸球游戲：一個口袋內有12個大小一樣、編號不一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中任取6個球，求既有紅球又有黑球的概率。（注：摸球游戲每一次摸一個球，變式中要求一樣）

設計意圖：本題以摸球游戲為背景，利用我們熟悉的情境設置問題，主要涉及互斥事件及其對應概率模型問題，契合實際，作為引題，難度適中，能為解決變式問題營造輕松氛圍。變式1一個口袋內有12個大小一樣、編號不一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。求甲、乙兩人分別摸到編號為2的黑球的概率。

設計意圖：變式1借助引題情境，設問過渡自然，主要考查摸到指定編號球的概率，即獨立事件積的概率模型問題，實際上是12人進行抽簽的問題，抽簽的順序與抽簽到指定某一個簽的概率無關，但有一定跳躍性，目的是讓我們“墊墊腳，摘得著”。

變式2一個口袋內有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中任取6個球，求既有紅球又有黑球的概率。

設計意圖：變式2在引題情境下，進一步要求我們對問題實質的理解，即取出的球與球的編號無關，只與取出的球的顏色有關，取消球的編號后，實則與引題是同樣的概率模型問題，與引題聯系緊密。

變式3一個口袋內有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中不放回地任取6個球，求第四次摸到黑球的概率。

設計意圖：變式3在引題情境下，以不放回的摸球游戲為載體，涉及互斥事件和的概率模型問題，滲透分類討論思想。

變式4一個口袋內有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中有放回地任取6個球，求第四次摸到黑球的概率。

設計意圖：變式4以引題為背景，以有放回的摸球游戲為載體，體現多種情況下互斥事件概率模型求解問題，與變式3形成對比，但通過演算，發現有放回和不放回摸球的概率是一樣的，進而引發我們深思、質疑、論證，提升我們發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，起到變式訓練的功效，也達到設問的目的。滲透分類討論思想，提升我們數學運算、邏輯推理、數學建模等能力。

變式5一個口袋內有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。從中不放回地摸球，若摸到黑球，則停止摸球，若第三次摸不到黑球，同樣停止摸球。記摸球的次數為隨機變量h，求η的數學期望。

設計意圖：變式5在引題情境下，借助變式3不放回摸球游戲概率模型，涉及數學期望的求解，讓我們走出情境，進入關聯新情境，搞清問題的本質，進而提升我們綜合解決問題能力。

變式6一個口袋內有12個大小一樣的小球，其中8個紅球，4個黑球。摸到一個紅球得1分，摸到一個黑球的2分，從中摸出6個球，記得到的分數為隨機變量h，求η的數學期望。

設計意圖：變式6在引題情境下，引入摸球記分環節，借助組合概率模型等，綜合考查數學期望的求解，與變式5既有區別又有聯系，讓我們從不同角度展望數學期望。

變式7一個口袋內有同樣大小紅球和黑球，第一次從中摸出紅球或黑球的概率均為;若上一次摸出的是紅球，則下一次摸出紅球的概率為，摸出黑球的概率為;若上一次摸出的是黑球，則下一次摸出紅球的概率為，摸出黑球的概率為。設Pn表示第n次摸出黑球的概率。

試寫出P1，P2;

試寫出Pn與Pn?1的關系式，并求Pn。

設計意圖：變式7在引題情境下，呈現新的問題情境，設問反差大，主要涉及概率模型與數列模型交匯的綜合問題，目的是要讓我們“跳一跳，摸得著”。很好的滲透學生分類討論思想，可展現我們數學計算、邏輯推理等能力，促使我們數學運算、數學建模、邏輯推理等數學學科核心素養目標的達成。

二、教師點評

王彪同學通過對《概率與統計》模塊內容的學習體驗，在老師的引導下完成給同學們課外變式作業設計。他站在學生的立場，借助摸球游戲的熟悉情境，從問題出發，以“變式”演變展開，呈現出各種情境下概率求解問題。其中有一般變式，如古典概率模型、互斥事件和獨立事件概率模型，也有較深層次變式，如利用期望公式求解以及借助概率與數列遞推關系綜合設問，作業設計貼近學生生活實際，充分體現了能力立意的特點。變式間既有聯系，又有差異。變式設計逐級遞進、環環相扣、拾級而上，找到了問題的核心，能表達同學們的“心聲”，能很好的體現學生數學思想及能力，也能促使學生核心素養目標的達成。可見在設計過程中是付諸行動、花了心思的，相信這是一次不錯的學習成長歷練，也將會是一次美好的學習回憶。

設計體驗中有的地方還可以更具體些，如不放回摸球問題實際是排列與組合問題，有放回摸球問題實際上是條件概率問題，求數學期望實際上是求加權平均數等;也可增加個別深度變式，讓同學們“助跑跳，觸得著”。

總之，王彪同學整體設計是比較完整的，瑕不掩瑜，是值得稱道的。該設計作為一種復習課后的作業模式，可不斷嘗試，逐步完善，以便為教學提供參考。

三、教學反思

（1）善選題

數學學習、教學均以問題為中心，“題”成為數學學與教的關鍵詞。選擇一道適合學生的題，可以讓學生理清基本知識、掌握基本技能、領悟基本思想方法、收獲基本活動經驗，進而聚焦數學學科核心素養。善于“選”題是數學學與教的一種必備能力，好題可以撥動學生的心弦，敞開學生的心扉，彈奏出動人的音符，回味無窮。一道好題，眾里尋它千百度，它不僅可以啟迪學生思維，還可以一題通關，正所謂“一題抵萬題”。

（2）巧變題

變式學習、教學是一種數學學與教的方式。茫茫題海，并非每題都適合我們的學生，巧妙的變化，方能事半功倍。因此，教師要會巧“變”題，通過變化試題情境、條件、設問、數據、結構等，進而演變成符合學生實際的問題，有助于學生在學習體驗中有獲得感。選好題，通過變式形成“變題鏈”，讓學生認識到數學知識并非單一化，而是“網絡化”，感受到數學知識是有廣度、有深度、有底蘊、有生長點、有靈魂，精彩繽紛的，猶如夢境般美好！

（3）好練題

教學活動中，選題僅僅是教學的良好開端，而真正讓學生獲得知識的途徑是好“練”題，即認真做題、評價、不斷總結反思。只有通過“練”題，練習一定量的題，才能體會“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”。理解題的“源頭”與“流向”，掌握基本知識、技能和方法，獲得經驗。同時，通過適度量的“變題鏈”練習，讓學生體驗“變中求不變，以不變應萬變”，領悟數學問題的本質，才能融會貫通，從而舉一反三，真正讓學生“練”在題中，學在題中，樂在題中。

（4）試編題

好練題，巧變題，不一定會編題，編高質量的題。每年高考結束，老師們都迫不及待的想知道，今年高考中命制了哪些好題。好的高考試題是專家命題組集體智慧的結晶，感嘆之余，我們也可嘗試“編”題。在教學活動中，教師對于課本例題、習題等做適當的改編，經歷改編過程，不斷探索，提升自身數學素養。同時，也可讓學生體驗“編”題，啟迪學生思維，促進學生深度學習，快速成長，提升學生解決問題的能力。

（5）會品題

經歷“善選題、巧變題、好練題、試編題”，可感受到登“題”山之巔，一覽眾山小。作為教師，還要學會“品”題，“品”題中的數學本質，“品”題中的豐富多彩，“品”題中的韻味無窮。教學活動中，賦予學生契合實際的好題應成為教師根本任務，讓學生體驗好題，培養高階思維能力，提升綜合解決問題的能力，發展數學學科核心素養，進而“題”出精彩，“題”出人生。

參考文獻：

[1]羅增儒.零距離數學交流——體驗與探究[M]. 廣西教育出版社，2003.

*本文系銅仁市課題“基于核心素養的概率與統計深度學習案例研究”（課題編號：2020SX034）的階段研究成果之一.