高中數學新教材“同一個函數”的教學重構研究

廖運章 張銘慧

【摘 要】《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出同一個函數的定義，引領著高中數學教材編寫、課堂教學與測量評價。在解讀高中數學新課標、新教材的基礎上，筆者重構應然的“同一個函數”的教學設計，建議高中數學教科書刪除用“對應關系”判斷同一個函數的方法，采用新課標的處理思想與具體操作的定義，并與《數學分析》等高等數學教科書保持一致。

【關鍵詞】高中數學;同一個函數;教學重構

【作者簡介】廖運章，廣州大學數學與信息科學學院教授，博士生導師，主要從事數學課程與教學論研究;張銘慧，廣州大學數學與信息科學學院在讀碩士研究生。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）“附錄2 教學與評價案例”之“案例2 函數的概念”（以下簡稱“案例2”）明確指出，如果兩個函數的定義域相同，且相同的變量值對應的函數值也相同，那么，這兩個函數就是同一個函數。新課標為何專門對此做出規定？這些規定對數學教材編寫、課堂教學、測量評價有何引領價值，筆者將對此進行深入研究。

一、“同一個函數”的課標與教材分析

以往的高中數學考試大綱和課標關于“同一個函數”的概念是沒有規定的，但2004年人教A版和2004年湘教版高中數學教材則分別給出“兩個函數相等”的定義，依次是“如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等”“如果兩個函數f，g的定義域是同一個數集A，并且對任意的x∈A都有f（x）=g（x），就說這兩個函數相等，記作f=g”。此外，2004年滬教版高中數學教材雖未對“同一個函數”下定義，但練習3.1第5題要求判斷“下面四組函數中，函數f（x）與g（x）表示同一個函數的是……”。

囿于教材的不同處理，導致教學實踐出現如何判斷兩個函數是否是同一個函數的諸多困惑。比如，對比函數y=x，x∈{-1，0，1}與y=x2019，x∈{-1，0，1}是否是同一個函數。從2004年人教A版來看，y=x2019不能再化簡，顯然與y=x不同，即“對應關系不完全一致”，這兩個函數不相等;但按照2004年湘教版的定義，如果相同的變量值對應的函數值相同，那么這兩個函數相等。孰是孰非，莫衷一是，容易讓人產生歧義。

其實，由于教材中“對應關系”是不加定義的，如何判斷“對應關系完全一致”難以統一，這是造成教學混亂的外在因素，其本質是沒有理解函數概念，反映出函數概念“集合對應說”本身的缺陷——沒有明確什么是對應。這正是1859年數學家李善蘭等翻譯的《代微積拾級》首次引入函數名稱至今，學生難以把握函數定義本質的根本原因。

（一）新課標的“同一個函數”

新課標史無前例地對函數定義做出規定，即“給定兩個非空實數集合A和B，以及對應關系f，若對于集合A中的每一個實數x，集合B中有唯一實數y=f（x）與x對應，則稱y=f（x）為集合A上的函數”。對應關系強調的是對應的結果，而不是對應的過程。例如，借助高中函數的表達式，可以認定函數y=cos2x+sin2x，x∈（-，+）與函數y=1，x∈（-+）表示同一個函數。”“函數y=x2，x∈（-，+）與函數y=x2，x∈（0，+）的對應關系相同，但它們是不同的函數，因為它們的定義域不同。

不難發現，新課標采用分離式看待函數，即函數就是一個對應系統，實數集A、實數集B、對應關系f是函數f：A→B的構成要素，三者相對獨立，當A中的任意一個實數x，在B中都有唯一確定的實數y=f（x）和x對應時，這個對應系統就是從實數集A到實數集B的一個函數，記作y=f（x）（x∈A，y∈B）。

簡單來說，對實數集A中的任何一個實數x，實數集B中都有唯一確定的實數y=f（x）與x對應，y=f（x）就是集合A上的函數。其中，對應關系f是形式上的，是不帶實數集A、實數集B的，即x→f（x）表示給定實數x就有唯一對應的f（x），而不管x是否屬于實數集A，f（x）是否屬于實數集B。對應關系相同指的就是形式上相同，如上面提及的函數y=x2，x∈（-，+）與函數y=x2，x∈（0，+）。

對于同一個函數，新課標指出，更一般地，可以判斷兩個函數是否相同：如果兩個函數的定義域相同，且相同的變量值對應的函數值也相同，那么，這兩個函數就是同一個函數。直觀地說，如果兩個函數的圖象重合，這兩個函數是同一個函數。可以看出，在兩個函數的定義域相同的情況下，新課標采用“相同的變量值對應相同的函數值”作為判斷兩個函數是否是同一個函數的主要依據，這與《數學分析》等高等數學教科書的要求一致。

（二）新教材的“同一個函數”

隨著新課標關于判斷兩個函數是否是同一個函數依據的頒行，各新版高中數學教材也做了相應的調整（見表1）。可是，2019年人教A版、2019年北師大版、2019年蘇教版等三套數學新教材仍主要采用“對應關系是否相同”來處理，并未采納新課標的建議。

2019年人教A版高中數學新教材關于“同一個函數”的定義由2004年人教A版數學教材的函數相等變化而來，即由“如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等”，變為“如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數”。盡管增加了“即相同的自變量對應的函數值也相同”的內容，但教材例3的解答并未做相應調整，依然沿用對應關系判斷法進行判斷，如將例3第（3）問變形為y=x2=x=

-x，x<0，x，x≥0，與y=x（x∈R）進行比較，當x<0時，y=x2與y=x（x∈R）對應關系不相同，所以兩個函數不是同一個函數。

2019年北師大版教材特別強調“對應關系指的是對應的結果，而不是對應的過程”，但在第52頁例1第（2）問判斷f（x）=x2，g（x）=（x+1）2是否是同一個函數，因為兩個函數的對應關系不同，所以不是同一個函數。此判斷理由并不能體現這是“對應結果”的不同，恰恰體現教材將對應關系理解為解析式，反而因為“過程（解析式）”不同而判斷其不是同一個函數。此外，其余3道習題也體現了2019年北師大版教材分離式看待函數三要素，并要求定義域和解析式都相同才能判斷兩個函數是同一個函數。

2019年蘇教版涉及“函數相同”的相關內容不多，只簡單下定義，而未給出范例。該教材表示“表達式相同，即對應關系相同”，但“表達形式不同，對應關系也可相同”，所以2019年蘇教版認為對應關系除了解析式還有別的表現形式，但是并未進一步展開。因此，2019年蘇教版只能確定同時比較定義域和對應關系時，如果定義域不相同，那么函數不相同;而表達形式不同，但對應關系相同的例子只局限于相同的解析式用不同的字母表示。

（三）“同一個函數”的判斷

由于教材未定義對應關系，如何理解對應關系相同，每個人的看法都不一致，容易產生歧義。況且，在定義域相同的前提下，“對應關系完全一致”與“相同的自變量對應的函數值相同”并不等價。“對應關系完全一致”的外延小于“相同的自變量對應的函數值相同”的外延，違反給概念下定義的基本要求——定義應當相稱。

因此，筆者建議教師在“同一個函數”的課堂教學中采用“如果兩個函數的定義域相同，且相同的變量值對應的函數值也相同，那么，這兩個函數就是同一個函數”。這正是新課標的處理思想與具體操作的定義。

下面基于2019年人教A版高中數學必修第一冊，以“兩個函數是同一個函數”例3的教學為例，設計應然的教學方案，具體教學過程如下。

二、應然的“同一個函數”教學設計

（一）教學目標

新課標要求學生建立完整的函數概念，判斷兩個函數是否是同一個函數也是學習函數概念的一個重要方面。結合函數本質理解并掌握同一個函數定義，學會用定義法和圖象法判斷兩個函數是否是同一個函數。

（二）教學過程

1.概念回顧

問題1：我們學習了函數的概念，大家還能想起函數定義嗎？請用圖示簡單表示函數定義。

函數是一種特殊的對應關系f：A→B，通常表示為y=f（x），x∈A，函數值是f（x），“對應”是函數的本質，如圖1所示。

形象地說，函數就是一個對應系統，由實數集A、實數集B、對應關系f構成，當A中的任意一個實數x，在B中都有唯一確定的實數y=f（x）和x對應時，這個對應系統就是從實數集A到實數集B的一個函數，記作y=f（x）（x∈A，y∈B）。

【設計意圖】只有把握函數定義本質，才能正確判斷兩個函數是否是同一個函數。通過回顧已學的函數概念，為學生學習“同一個函數”概念做鋪墊，用圖表表示函數定義，促進學生理解函數的概念，掌握函數“對應”的本質。

2.導入“同一個函數”概念

由函數定義可知，“對應”是函數的本質。如果兩個函數的定義域相同，相同的變量值對應的函數值也相同，那么，這兩個函數具有特殊的關系，我們稱這兩個函數是同一個函數。

教師板書“同一個函數”的定義：如果兩個函數的定義域相同，相同的變量值對應的函數值也相同，則稱兩個函數是同一個函數。

換言之，只要兩個函數的“對應系統”一樣，即“A中的任意一個實數x，在B中都有唯一確定的實數y=f（x）和x對應”相同，則這兩個函數是同一個函數。

從圖象上看，如果兩個函數的定義域相同，對同一個自變量x的值，相應的函數值y相同，則由點集{（x，y）|y=f（x），x∈A，y∈B}，{（x，y）|y=g（x），x∈A，y∈B}構成的圖象重合。因此，如果兩個函數的圖象重合，則這兩個函數是同一個函數。

【設計意圖】由函數定義直接引出“同一個函數”概念，讓學生理解判斷兩個函數是否為同一個函數要從函數的三要素出發，要緊緊圍繞函數的本質——對應。同時，也可借助圖象表示函數，視覺化呈現兩個函數，有效幫助學生理解“相同的變量值對應的函數值也相同”。

3.理解概念

問題2：剛剛我們學習了同一個函數的定義。由定義可知，定義域以及“相同的變量值對應的函數值也相同”的對應結果是判斷兩個函數是否是同一個函數的關鍵;此外，對比兩個函數的圖象也可以判斷兩個函數是否是同一個函數。同學們能否用這兩種方法解以下例題？

例1 下列函數中哪個函數與函數y=x是同一個函數？

（1）函數y=x2;（2）函數u=3v3。

問題3：函數y=x2（u=3v3）與函數y=x的定義域分別是什么？它們的定義域相同嗎？

問題4：y=x2（u=3v3）在實數集R內取何函數值？y=x呢？這兩個函數在實數集R內對應的函數值相同嗎？

問題5：由函數定義可知，因為這兩個函數相同的變量值對應的函數值不同（相同），所以這兩個函數不是（是）同一個函數。同學們能否通過函數圖象來驗證這一結論？

【設計意圖】新課標采用分離式看待函數，函數的定義域、對應關系、值域三要素相對獨立，判斷兩個函數是否是同一個函數也需同時判斷定義域和“相同的變量值對應的函數值是否相同”。定義法的運用緊緊圍繞著函數的本質與同一個函數的定義。此外，學生也可以對比兩個函數的圖象，直觀而快速地驗證“相同的變量值對應的函數值是否相同”，從而判斷兩個函數是否為同一個函數。

問題6：同學們能從以上例題總結出判斷兩個函數是否是同一個函數的基本步驟嗎？

在解題的過程中，教師總結解題步驟，讓學生經歷從特殊到一般的思維過程，幫助學生形成一定的邏輯思維能力，讓學生在解題時有清晰的解題思路。

4.鞏固概念（變式教學）

根據新課標與新教材的同一個函數定義的指引，例1的解答滲透了“相同的變量值對應的函數值也相同”的解題思想。教師通過以上例題，引導學生初步理解“同一個函數”的概念及其判斷步驟后，再通過設置練習題的方式進一步引導學生鞏固和內化相關知識。

學生活動：教師請兩名學生到講臺上分別板演。學生完成后，師生共同評價并完善。

例2 下列函數中哪個與函數y=x是同一個函數？

（1）函數y=（x）2;（2）函數m=n2n。

例3 函數y=x，x∈{-1，0，1}與y=x2019，x∈{-1，0，1}是否相等？請說明理由。

例2與例3各有特色，教師幫助學生鑒別習題特點，靈活地應用定義進行解題，使學生在理解中應用概念，在應用中深化理解同一個函數的定義。

5.系統化概念

（1）課堂小結視覺化，促進知識系統化

問題7：本節課我們學習了同一個函數的定義、判斷同一個函數的兩種基本方法，以及判斷同一個函數的基本步驟，同學們能否用自己的語言進行描述？或者用一種直觀的方法來總結今天所學的知識。

教師引導學生進行總結后，用課件出示以下內容。

①同一個函數的定義：如果兩個函數的定義域相同，相同的變量值對應的函數值也相同，則稱兩個函數是同一個函數。

②判斷兩個函數是否是同一個函數的基本方法：定義法（函數值法）、圖象法。

③判斷兩個函數是否是同一個函數的基本步驟：定義域是否相同相同的變量值對應的函數值是否相同，如圖2。

【設計意圖】函數本身具有抽象性，要通過把函數知識分解為一個個學生可以接受的局部知識進行教學，“同一個函數”也是其中的重要組成部分。理解和應用同一個函數的定義也是深化理解整個函數知識系統的過程。用圖示的方式直觀簡明地視覺化呈現同一個函數的定義及其內在聯系，能使學生愉悅地獲取知識，也有助于其在后續學習過程中將此局部知識重新融入整個函數知識系統之中。

（2）布置課后作業，鞏固和發展知識系統

1.下列各對函數是否是同一個函數？并說明理由。

（1）函數f（n）=2n+1，n∈Z，函數g（n）=2n-1，n∈Z;

（2）函數f（x）=2x，x∈{2，4}，函數g（x）=x2，x∈{2，4};

（3）函數f（x）=（x-2）2，x≥2022;函數g（x）=x-2，x≥2022。

2.課本P67練習第3題。

3.課本P72習題3.1第2題。

以上課后作業旨在培養學生在不同情境中判斷同一個函數的能力，引導學生將已有的知識系統運用到新的問題之中，激發學生不斷探索和求知，完善和發展自身知識結構，保持知識系統先進性。

三、討論與建議

通過比較分析發現，除2004年人教A版數學教材和2004年湘教版數學教材用“函數相等”外，新課標及其配套新教材都采用“同一個函數”的術語。是否要區別“同一個函數”與“函數相等”兩個概念？蘇柏山教授認為，表現形式有所不同，甚至進行簡單的變形后的函數都不能認為是“同一函數”，而只能認為是“相等的函數”，建議采用“相等的函數”[4]。

華東師范大學版《數學分析》采用“兩個函數相同”，約定某兩個函數相同，是指它們有相同的定義域和對應法則;如果兩個函數對應法則相同而定義域不同，那么這兩個函數仍是不相同的;兩個相同的函數，其對應法則的表達形式可能不同[5]。高等教育出版社《數學分析》采用“函數相等”：“對于兩個函數f和g當且僅當它們有相同的定義域X，且對X內的每一個實數x，它們有相同的函數值，我們才稱這兩個函數相等，記為f=g。顯然它們的值域也必相同。”[6]此外，北京師范大學出版社《數學分析》采用“函數相等”。北京

大學出版社《數學分析》不區分“函數相等”和“同一個函數”，兩個詞都使用[7]。一般地，國內相關大學數學教材都沒有區分“函數相等”或“同一個函數”。

國外引進的相關數學分析教材也沒有明確區分這兩個術語。俄羅斯數學教材選譯《數學分析（第一卷）（第4版）》采用“函數相等”：“如果兩個函數f1，f2有相同的定義域X，且對每個x∈X，這兩個函數的函數值f1（x），f2（x）一致，就認為兩個函數f1與f2一致或相等，這時記作f1=f2”[8]。機械工業出版社《數學分析》采用“函數相等”[9]。而美國托馬士等所著的《托馬士微積分》則采用“同一函數”[10]。

不難看出，無論是國內還是國外大學數學教材，都沒有特別區分“同一個函數”和“函數相等”，可不區分使用，但新課標已采用“同一個函數”的說法，為不產生歧義，建議高中數學統一采用“同一個函數”的術語。

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學（A版）必修 第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]王尚志，保繼光.普通高中教科書數學必修第一冊[M].北京：北京師范大學出版社，2019.

[3]單墫，李善良.普通高中教科書數學必修第一冊[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

[4]蘇柏山.應區別“同一個函數”與“相等的函數”兩個概念[J].河北機電學院學報，1993（4）：82-86.

[5]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[6]復旦大學數學系.數學分析（上冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

[7]伍勝健.數學分析：第一冊[M].北京：北京大學出版社，2009.

[8]卓里奇B A .數學分析：第一卷[M].4版.蔣鐸，王昆揚，周美柯，等譯.北京：高等教育出版社，2005.

[9]APOSTOL T M.數學分析（原書第2版）[M].邢富沖，邢辰，李松潔，等譯.北京：機械工業出版社，2006.

[10]托馬士，芬尼.托馬士微積分（上冊）[M].駱傳忠，駱傳孝，譯.北京：曉園出版社，1993.

（責任編輯：陸順演）