基于課程思政的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)探索

唐新華 曹勇

摘要：從“立德樹人”這一教育的根本任務(wù)出發(fā)，在深刻理解課程思政內(nèi)涵的基礎(chǔ)上挖掘高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容中的思政元素，以數(shù)學(xué)模型應(yīng)用、極限思想、微分方程的解等知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造形成思政教學(xué)案例。探索價(jià)值塑造--知識(shí)傳授—能力培養(yǎng)三位一體的教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞 ?高等數(shù)學(xué) ? 課程思政 ?教學(xué)案例

黨的十八大報(bào)告指出，教育的根本任務(wù)是立德樹人。而課程思政是高校落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要舉措。課程思政是以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把“立德樹人”作為教育的根本任務(wù)的一種綜合教育理念。高等數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)方案設(shè)計(jì)要以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式將高數(shù)課程知識(shí)與相關(guān)思想政治元素相互融合，形成協(xié)同效應(yīng)，始終貫穿“立德樹人”這一教育的根本任務(wù)。

作為應(yīng)用型本科大學(xué)，高等數(shù)學(xué)是我校理工類各專業(yè)學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)課。在課程思政理念下，如何更有效的提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，需要教師緊跟時(shí)代步伐，不斷更新教育教學(xué)理念，挖掘高等數(shù)數(shù)學(xué)課程中蘊(yùn)含的思政元素將知識(shí)傳授和價(jià)值引導(dǎo)有機(jī)結(jié)合。本文在深刻理解課程思政內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，給出了在知識(shí)傳授過程中如何合理設(shè)計(jì)教學(xué)方案進(jìn)行課程思政元素滲透的教學(xué)思路，使思政元素與數(shù)學(xué)知有機(jī)結(jié)合，力爭(zhēng)達(dá)到春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無(wú)聲的全方位育人目的。

一、明確問題—分析問題—解決問題解題步驟，感受數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系建立與求解在疫情防控中的應(yīng)用。

2020年山東新高考數(shù)學(xué)試題第6題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科特色，滲透戰(zhàn)疫研究新成果。利用數(shù)學(xué)模型結(jié)合病毒傳播規(guī)律建立函數(shù)關(guān)系，將疫情防控知識(shí)科學(xué)的融入考試試題中，試題設(shè)計(jì)基于新冠肺炎疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型研究成果，結(jié)合函數(shù)關(guān)系建立這一知識(shí)點(diǎn)考查學(xué)生通過閱讀資料獲取信息的能力和利用數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系并解決實(shí)際問題的能力。在講解函數(shù)定義性質(zhì)和函數(shù)關(guān)系的建立這一知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候引入本題，通過講解題目讓同學(xué)們通過明確問題—分析問題—解決問題的步驟感受數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系建立與求解在實(shí)際中的應(yīng)用。

（1）明確問題：通過仔細(xì)審題明確需要解決的問題是要得出在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間 。（2）分析問題：由 得要確定時(shí)間 ，應(yīng)該首先確定增長(zhǎng)率 ，進(jìn)而明確累計(jì)感染病例數(shù) 表達(dá)式。 根據(jù)題目中給定的 與 ， 三者之間的關(guān)系 和 ， 的值得出 ，所以 。（3）解決問題：設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為 則 （當(dāng)t=0時(shí) ），所以， 約為1.8天。

二、圓周率的計(jì)算中蘊(yùn)含的極限思想

阿基米德計(jì)算圓周率：阿基米德，古希臘著名數(shù)學(xué)家，雖然在許多人的心目中他的發(fā)明創(chuàng)造比數(shù)學(xué)成果更多，但他仍與牛頓和高斯并列稱為世界上三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家。阿基米德計(jì)算圓周率的方法是使用了夾逼原理，這在我們高等數(shù)學(xué)極限運(yùn)算法則中會(huì)講到夾逼準(zhǔn)則（以數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則為例）。如果數(shù)列 及 滿足下列條件[2]：

那么數(shù)列 的極限存在， 且 正確使用夾逼準(zhǔn)則證明并求極限，難點(diǎn)是構(gòu)造出合適的數(shù)列 與 ， 并且 與 的極限相同且容易求，這樣一方面能夠證明數(shù)列的極限是存在的另一方面能夠根據(jù)結(jié)論直接寫出所求極限值。

阿基米德在計(jì)算圓周率 的時(shí)候，利用內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)數(shù)列 和外切正多邊形邊長(zhǎng)數(shù)列 ，這兩個(gè)數(shù)列逼近圓的周長(zhǎng) （ 為圓的直徑），顯然 ?。當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越多，圓的周長(zhǎng)越接近這兩個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)。阿基米德通過夾逼準(zhǔn)則計(jì)算出圓周長(zhǎng)的近似值進(jìn)而用周長(zhǎng)與直徑的比求出圓周率。在當(dāng)時(shí)，阿基米德計(jì)算出了正96邊形近似圓的周長(zhǎng)。從而估算從圓周率的值在22/7和223/71之間，并取值為3.14。可見，早在2000多年前阿基米德第一個(gè)計(jì)算出如此精確的圓周率的確令人贊嘆。

我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽計(jì)算圓周率：我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了割圓術(shù)并算到正3072邊形面積，得到圓得到圓周率是 。有別于阿基米德利用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)與圓外接正多邊形周長(zhǎng)計(jì)算圓周率的方法，劉徽的割圓術(shù)利用內(nèi)接正多邊形的面積逼近面積計(jì)算圓周率。劉徽在《九章算術(shù).圓田術(shù)》注中，給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法割圓術(shù)。他首先從直徑為2尺（這樣圓的半徑是1尺，面積正好是圓周率 ）的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，第二次用正12邊形割圓，第三次使用正48邊形割圓…，這樣就得到一個(gè)正多邊形的面積數(shù)列記為 ，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，劉徽一直算到正3072邊形的面積 ，得到π=3.1416，這個(gè)數(shù)值稱為“徽率”。這種計(jì)算圓周率的方法類似于我們接下來(lái)講的極限中的單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。劉徽正好構(gòu)造出正多邊形數(shù)列 ，這個(gè)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，并且所有的正多邊形的面積都是小于圓的面積 ，因此數(shù)列 單調(diào)遞增有上界，故 極限存在。正如劉徽所說 “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。”最后他計(jì)算了利用正3072邊形面積計(jì)算出圓周率的值3.1416。

祖沖之，著有《綴數(shù)》，在沒有阿拉伯?dāng)?shù)字計(jì)數(shù)的前提下使用算籌將圓周率的計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后7位即在3.1415926-3.1415927之間。他最先提出密律值為355/113，這一結(jié)果領(lǐng)先歐1000多年。他在積累前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上將圓周率的計(jì)算達(dá)到了一個(gè)新的精度，將中國(guó)數(shù)學(xué)推上一個(gè)新的高度。祖沖之計(jì)算圓周率的過程也體現(xiàn)出他對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛和科學(xué)研究的執(zhí)著追求，在當(dāng)時(shí)沒有阿拉伯?dāng)?shù)字計(jì)數(shù)的條件下，他使用的是一片片的算籌計(jì)數(shù)，每一片算籌都承載著他對(duì)圓周率計(jì)算精確率的執(zhí)著追求和探索未知一絲不茍的治學(xué)態(tài)度。為紀(jì)念中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之，2011年國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，數(shù)字來(lái)源則是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。

現(xiàn)在，我們可以無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)算圓周率的近似值。例如：使用格雷戈里——萊布尼茨無(wú)窮級(jí)數(shù)迭代500，000次后可準(zhǔn)確計(jì)算出 的10位小數(shù)。這是將是高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)這一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

三、公式、定理的理解與數(shù)學(xué)思想的掌握是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

我國(guó)著名教育家、數(shù)學(xué)家蘇步青曾說過：扎扎實(shí)實(shí)地打好基礎(chǔ)，練好基本功，我認(rèn)為這是學(xué)好數(shù)學(xué)的“秘訣”。大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)別于高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，大學(xué)階段高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要依賴公式（基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式、微分公式、積分公式不定積分公式16個(gè)，定積分重積分的性質(zhì)7條等），這都是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)希望大家在深刻理解的基礎(chǔ)上能夠熟練掌握每一個(gè)公式的用途。

在講解定積分定義的時(shí)候，引入我國(guó)三國(guó)時(shí)期曹沖稱象的歷史故事。通過這一案例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題（計(jì)算總量，即在當(dāng)時(shí)條件下得出大象的體重）分析問題（通過思考分析將大象的重量轉(zhuǎn)化為相同重量的石頭）解決問題（通過稱得石頭的重量得到大象整體重量）。進(jìn)而引入計(jì)算一般總量問題的微元法。

在定積分的學(xué)習(xí)中我們引入了微元法。它在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等方面有廣泛應(yīng)用。微元法是通過分割（取區(qū)間微元）、近似（寫總量微元）、求和、取極限（表示為定積分）四個(gè)步驟將計(jì)算總量的問題轉(zhuǎn)化為定積分。

首先，我們從簡(jiǎn)單的求不規(guī)則幾何圖形的面積表示為定積分的過程講述微元法的原理，通過計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積、平行截面面積已知幾何體體積的計(jì)算理解微元法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用;在講解二重積分、三重積分和曲線曲面積分定義與計(jì)算方法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深學(xué)生使用微元法思想結(jié)合類比思想得出相應(yīng)的計(jì)算公式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生真正理解好“化整為零”的微分過程與“積零為整的” 積分過程。

四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中迂回思想及迂回思想在求解微分方程中的應(yīng)用

我國(guó)著名兵法著作《孫子兵法·軍爭(zhēng)篇》曾記載："先知迂直之計(jì)者勝"。軍事中的迂回戰(zhàn)術(shù)是指：避免與敵人正面交鋒對(duì)抗，攻擊敵人后方較為薄弱一面的一種戰(zhàn)術(shù)。迂回思想體現(xiàn)出在一定條件下彎路比直路近的辯證思想。

近代數(shù)學(xué)中成功地應(yīng)用迂回戰(zhàn)術(shù)協(xié)助解決四色猜想、費(fèi)馬猜想和哥德巴赫猜想三大數(shù)學(xué)難題。

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有一部分問題直接從正面求解比較困難或無(wú)法入手，我們可以根據(jù)題目的特點(diǎn)采用進(jìn)退結(jié)合的辨證思想，迂回式地間接得到問題的解，從而起到事半功倍的效果.

在講解一階非齊次線性微分方程（1）的求解時(shí)，直接求解困難很大，我們可以退一步求解它所對(duì)應(yīng)的的一階齊次線性微分（2）。

我們可以通過分離變量法求解方程（2）的通解 ，其中 為任意常數(shù).但是我們的目標(biāo)仍然是求解方程（1）的解我們對(duì)比方程（2）的求解過程對(duì)（1）移項(xiàng)整理 積分得 記為

這樣我們就得到方程（1）的解（3），將（3）帶入（1）中確定出（3）中的系數(shù) 最終得到（1）的通解 。

這個(gè)問題的求解過程我們通過沒有直接去求解問題（1）而是通過求解對(duì)應(yīng)的齊次方程和待定系數(shù)最終迂回到問題解的過程。

迂回思想在本章求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解的時(shí)候仍然適用。在求解如下二階非齊次線性微分方程 （4）時(shí)，我們首先避開直接解困難的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（4），而是迂回到求解（4）對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程所對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程 （5）的通解 ，再計(jì)算（4）的一個(gè)特解 ，通過解的疊加原理最終回到原問題二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（4）通解 .

另外，迂回思想同樣在求解概率論中復(fù)雜事件概率時(shí)也同樣適用，例如：在求解如下面問題：一輛長(zhǎng)途客車從車站出發(fā)時(shí)載有25名乘客，共經(jīng)過10個(gè)停車點(diǎn)，每位乘客在任意一個(gè)停車點(diǎn)下車的概率相同（設(shè)每位乘客下車與否不受其他乘客的影響），只有乘客下車時(shí)長(zhǎng)途汽車才在停車點(diǎn)停車，求長(zhǎng)途汽車在第 個(gè)停車點(diǎn)停車的概率。根據(jù)題意，每位乘客在第 個(gè)停車點(diǎn)停車下車的概率均為 。設(shè)事件 ?為“第k個(gè)乘客在第i個(gè)停車點(diǎn)下車”，事件 為“第 個(gè)停車點(diǎn)停車”，可以將此問題看成25重伯努利試驗(yàn)。直接計(jì)算事件B的概率需要按照伯努利概型分別計(jì)算在第i個(gè)停車點(diǎn)恰好有 人下車的概率后求和。也可以將問題迂回到對(duì)立事件再求概率，即計(jì)算 ，已知 故第 個(gè)停車點(diǎn)無(wú)人下車的概率為 因此長(zhǎng)途車在長(zhǎng)途汽車在第 個(gè)停車點(diǎn)停車的概率為 。對(duì)立事件的使用將此問題復(fù)雜事件的概率計(jì)算變得簡(jiǎn)單。

高數(shù)課程思政要在深刻理解課程思內(nèi)涵的基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)與數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家等相關(guān)的思政元素，形成適合課堂的教學(xué)案例使思政元素與數(shù)學(xué)知有機(jī)結(jié)合，力爭(zhēng)達(dá)到春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無(wú)聲的全方位育人目的。

基金項(xiàng)目：山東政法學(xué)院教改項(xiàng)目：基于課程思政的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)探索（2020ZJGB008）。

參考文獻(xiàn)：

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