滲透函數思想 觸摸數學本質

從錦

[摘 要]函數思想是數學思想方法之一，具有重要的數學價值和教育價值。文章基于一線教師的實踐經驗，致力于研究函數思想在教學中的滲透，闡述了什么是函數思想、函數思想的價值是什么、函數思想的滲透路徑有哪些等問題。

[關鍵詞]函數思想;數學本質;探索;融合;表征

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0004-02

數學思想是人們對數學知識經驗的體驗、反思、感悟及升華的思維成果，蘊含著深刻的智力價值、方法價值以及應用價值。數學課程標準指出，要結合有關知識的教學適時滲透函數思想，以加深小學生對數學知識的理解和掌握。我國中科院院士、數學家張景中也提出：“小學生學的數學很初等、很簡單。盡管簡單，里面卻蘊含著一些深刻的數學思想。最重要的，首推函數思想。”由此可見，函數思想在數學思想中具有基礎性和支撐性的作用。小學數學教學中，教師雖然不用講函數概念，但要滲透變量和函數思想。那么，什么是函數思想？其基本內涵是什么？又有怎樣的價值意義？小學數學教學中如何讓學生感悟并形成函數思想？筆者進行了深入學習和思考。

一、厘清：函數思想的基本內涵

何謂函數？17世紀德國數學家萊布尼茨開始使用Function一詞，隨后出現了函數的解析定義、變量定義、對應定義等，此處不再贅述。在我國，初中、高中、大學關于函數的定義都有所不同，但所反映的數學本質卻是相同的：函數是研究定量與變量、靜止與運動等數量關系的一種思維方法，蘊含著普遍聯系和運動變化的哲學觀點。

何謂函數思想？從哲學視角看，函數思想是刻畫事物運動、變化發展的辯證思維工具，并用定量方法研究事物之間的數量關系。函數思想也是函數觀點的集中反映，在變化的“過程”中尋找不變的“規律（關系）”是函數的核心。

二、審視：函數思想的價值分析

1.函數思想有利于挖掘知識的本質

小學數學知識的學習過程就是從現象走進本質，從直觀走向抽象的過程。在此過程中，學生用運動和變化的觀點探索和發現一系列數學規律和數學關系，能夠更加透徹地理解數學知識，把握數學本質，從而發展理性精神和辯證思維能力。

2.函數思想有利于發展學生的思維

“數學是思維的體操”，數學教學是思維活動的教學。函數思想是學生數學學習的一種思維方式，也是一種行為方式。學生通過感知和探索數學知識中的規律和關系，并運用規律和關系分析問題、解決問題，進而發展探究性思維、辯證性思維，不斷提升思維品質。

3.函數思想有利于促進未來的學習

小學階段，學生長期在常量范圍內計算和思考，容易造成思維定式。而函數思想能讓學生學會用數學的方法描述變量之間的關系，豐富學生對變量與變量之間關系的經驗，為后續函數知識的學習打下良好的基礎。

三、探尋：函數思想的滲透路徑

函數思想在小學數學中無處不在，從廣義的角度來講，小學數學中的公式、法則、性質、規律、數量關系等都蘊含著函數思想，因此，教師要激發學生在“變”中把握“不變”，進而觸摸數學知識的本質。

1.規律探索：感知變化模式

“探索規律”是滲透函數思想的一個重要內容，在第一學段，學生要能夠發現給定的事物（圖形、簡單的數列）中隱含的簡單規律;在第二學段，學生要能夠探究給定的事物中隱含的簡單規律或變化趨勢。

（1）在數的規律中感知

學生在探索數的規律中，要能夠感知等差變化、等比變化、和一定的變化、積一定的變化等簡單的模式。如一年級下冊的 “百數表”，可以從不同的維度探索變化規律，通過橫著、豎著、斜著觀察，發現不同的等差變化模式;通過觀察每行或每列相鄰的兩個數，或每兩行、每兩列相鄰的四個數，發現差為10的變化模式，進而在不同的變化模式中感知數的排列規律。

（2）在形的規律中感知

學生在探索形的規律中，要能夠感知遞推、周期等變化模式，并溝通其與數的規律的聯系。如一年級上冊“根據排列規律畫滿10個”，學生要在每種圖形個數的不同變化中感知遞推模式。又如，四年級上冊的周期問題，學生要感受到每組圖形呈周期性反復出現其實就是每個圖形所在位置的等差變化，從而在形的規律探索中清晰感受到變化規律。

（3）在算的規律中感知

在加減乘除的運算中，學生不僅要掌握各種運算法則，還要能夠探索運算中的各種規律。比如乘法運算，要在編口訣、背口訣的過程中發現“一個因數不變，積隨著另一個因數的變化而變化”。四年級上冊專門設置了“積的變化規律和積不變的規律”，學生要能夠從倍數的角度來認識積的變化規律：兩數相乘，一個因數不變，另一個因數乘或除以幾，商就乘或除以幾。

2.多元表征：體驗對應關系

函數反映的是變量之間的關系，需要用數字以外的符號來表示，常見的有列表法、圖像法和解析法三種方法。教師要在第一學段的教學中關注語言描述和列表法，在第二學段的教學中關注圖像法和解析法。

（1）在列表法中體驗

表格作為學生發現規律的重要工具，在小學數學教材中的地位十分突出。在規律探索、公式推導、圖形變化規律的探索、數量關系的尋找等內容當中，可以借助列表法分析變化規律、挖掘知識本質。如長方形的面積公式“長方形的面積=長×寬”實際上是一個二元一次函數的關系式，為了讓學生深刻理解“長方形的面積由長、寬共同決定”，可以讓學生估一估、算一算、列一列，觀察和分析表格后歸納出長方形的面積公式。

（2）在解析法中體驗

一般函數的解析式都是用字母來表示的。從用數表示數到用字母表示數是一個漫長的過程，學生需要在活動中積累豐富的符號化經驗。如一、二年級學生要能夠用“□”“○”等符號表示未知數（此時表示的還是確定的數）;三年級學生要能夠用長和寬的文字式表示出長方形的周長和面積;四年級學生要能夠用字母表示一些運算律;五年級正式學習用字母表示數后，學生要能夠用字母表示未知數列方程、用字母表示計算公式、用字母表示正反比例的概念等。這些都是函數解析式的雛形。

（3）在圖像法中體驗

圖像有利于學生理解變量之間的關系，它具有直觀性，讓變量之間的關系和變化情況能夠看得見。四年級的折線統計圖是學生第一次遇到函數圖像，學生要能夠透過統計圖直觀形象地看出變量變化的過程;六年級正比例的圖像的教學中，教師要引導學生感受兩個量之間的變化是連續的（任意兩點之間還有無數個點對應的兩個數值），感受到變量的取值范圍的價值。當然，小學數學中的函數圖形與真正的函數圖形是有差別的，只有第一象限的圖像的橫軸和縱軸單位長度不統一，但并不影響學生觀察變化規律。

3.著眼融合：接近函數本質

函數思想在小學階段的滲透是呈螺旋上升態勢的，而小學生的整體建構能力是比較弱的，導致他們對函數思想的感悟不清晰、不深刻。為此，可以將函數思想與生活、游戲、其他學科有機融合，不斷接近函數本質。

（1）與生活融合

變化是永恒的，一切事物都在發生著變化，如物價的變化、溫度的變化、季節的變化、年齡的變化、體重的變化等。教師要引導學生從生活中這些熟悉的素材入手，從數學的角度研究這些變量和變量之間的變化關系，從看似雜亂的數據中發現規律，從而充分感知函數思想，深刻認識事物變化的本質，更好地認識現實世界，預測未來。

（2）與游戲融合

數學與游戲的關系源遠流長，很多數學知識就存在于游戲當中，很多游戲當中也蘊含著豐富的函數思想。比如有名的“世界末日問題”，學生可以邊玩“漢諾塔”邊探索，把挪動的次數寫成數表，進而發現2n-1的模型。這樣學生不但在趣味游戲中快樂學習，還在潛移默化中感受著游戲問題當中的“變”與 “不變”。

（3）與學科融合

其他學科中的很多知識內容也反映了變量和變量的關系，如科學學科中的杠桿平衡原理，反映了質量和距離之間的變化關系;體育學科中的體重指數（BMI），反映了體重與身高之間的變化關系。教師要引導學生從數學的角度研究這些變量和變量之間的關系，在變與不變中觸摸學科知識的本質，在數學與其他學科的融合中激起函數思想的火花。

函數思想不僅是解決問題的一種基本思想，更是認識世界的一種思維方式。小學階段的函數思想的主要教學形態是“滲透”，因此，教師應站在整體的高度綜合考慮，有機結合教學內容，引導學生由淺入深、由表及里地感悟函數思想，學會用運動變化的觀點看生活、看世界。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張景中.感悟小學數學思想的力量[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[2] 克萊因.古今數學思想[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上海科學技術出版社，2013.

[3] 劉加霞.函數思想在小學數學教學中的滲透（下）[J].小學教學數學版，2008（3）：40-42.

（責編 金 鈴）