淺談高中數學中立體幾何解題技巧

閆海新

摘 要：立體幾何是高中數學教學內容的重要組成部分，是學生必須掌握的主要知識之一，是提升學生直觀想象核心素養的主陣地。學生通過立體幾何的學習，增強空間幾何感和空間想象力，提升邏輯思維能力和表達能力。本文將提供三種常規的立體幾何體積的解題思路，通過這三種常規解題思路逐步加強學生對立體幾何的掌握程度。

關鍵詞：高中數學;立體幾何;解題方法

美國數學家哈爾莫斯說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟。

”教育家波利亞稱：“掌握數學就意味著善于解題。”立體幾何知識的掌握和運用，能力的提高當然離不開解題和克服解題中的問題。因此，師生必須加強立體幾何的學習，提高學習效率。

一、適當分割，多個求和

一般的數學考題中，關于體積的計算，不會是一個簡簡單單的長方體、正方體或是三棱錐，而是幾個長方體、正方體的結合形成的多面體，求它們相結合形成的體積。在此類型中，最常見的解題方法就是分割法，把多面體分割成幾個我們常見的立體幾何。然后，分別求出每個分割體的體積。最后，將所有的分割體體積相加，就能得出總體積了。例如，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF=1.5，EF與平面AC的距離為2。那么，該多面體的體積是多少？在本題中，由于多面體ABCDEF是一個不規則的立體幾何圖形，我們無法用常見的立體幾何的體積算法，去計算該多面體ABCDEF的體積。此時，我們便可以運用分割法的知識，將多面體ABCDEF分割成常見的立體幾何，再進行計算。我們先連接BE、CE構成一個新的平面BCE，這個平面將多面體ABCDEF分割成了四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF。此時，多面體ABCDEF的體積就等于四棱錐E-ABCD的體積加上三棱錐E-BCF的體積。教師可以引導學生得出V=V+V，在進行求解。

二、兩把利刃，三視圖和直觀圖

從三視圖和直觀圖研究幾何體是分析視圖的常用方法，也是培養空間想象能力的重要途徑.從空間中某一點觀察幾何體，找出幾何體關鍵點、線、面要素，從宏觀整體感知幾何體的形狀，建立幾何體的實際模型，再微觀從正視、側視、俯視三個方面觀察幾何體，更準確地感知幾何體的構造，利于分析解決問題。

例如，如圖1-1，一個簡單空間幾何體的三視圖，其正視圖與側視圖都是邊長為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其全面積是（ ）。

A.4 B.8 C.+4 D.12

分析：本題多數學生初學時會認為側棱即為斜高，導致側面積計算錯誤。引導學生從三視圖概念分析，結合具體四棱錐實物模型，再次觀察各視圖形狀和和直觀圖中的點與線段關系，從而獲得正確的數據，再讓學生畫出對應的四棱錐直觀圖并在圖上標出三視圖中對應的尺寸，完成解題。

感悟：三視圖反映幾何體在某個面上的投影形狀，直觀圖反映幾何體整體性質，掌握直觀圖和三視圖的畫圖規則。能從空間幾何體的直觀圖確定三視圖形狀，從三視圖想象它的直觀圖，在教學中重視實物模型-三視圖—直觀圖之間的相互轉化，訓練空間立體感促進想象能力的發展。

三、動態研究，面體互化

幾何體是多個平面圍成或者平面圖形繞軸旋轉產生的，是平面幾何知識的延伸和升華，從而有些立體幾何的問題可以轉化為平面幾何問題來分析，借助平面圖形知識來解決。

例如，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，點M，N在同一條母線上，且分別位于上，下底面，求點M繞圓柱的側面到N的最短路徑長.

分析：要求繞圓柱的側面運動的最短路徑，化曲為直，沿母線MN將圓柱側面剪開展得矩形，則最短路徑即為矩形對角線長。

變式：如圖2-2，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=VC=2，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，過A作截面AEF分別交VB，VC于點E，F，求△AEF周長的最小值。

分析：本題即在棱錐中求三個側面上線段AE+EF+FA的和，空間中的和最短常轉化為平面和最短問題，則沿AF展開側面，變成從A到A′的距離最小值即可。

感悟：空間中在不同面研究距離、面積等問題可以結合幾何體的結構特征在空間和平面之間轉化思考，把幾何體表面或側面展開，利用平面幾何知識來解決.

結語

總之，高中立體幾何作為高考考查的重要知識點之一，必須在教學中培養高中學生的空間想象能力和解題能力。教師要讓學生把立體幾何當中的知識點理清楚。然后，在一般的基礎上理解體積計算的各種方法，明白每一種方法之間的變通，讓學生在實踐過程中能運用這些巧妙的方法，更好地掌握該知識點。

參考文獻

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