大概念視角下的小學數學教學

解玲蘭

摘 要 大概念內涵豐富、形式抽象，對學生的數學學習具有重要的意義和價值。大概念包括核心概念和共通概念，主要有金字塔型、樹狀型以及網絡型三種。作為教師，要引導學生建構大概念、理解大概念、應用大概念、遷移大概念，應用大問題驅動、大主題統領、大結構整合等方式，助推學生的數學學習。

關鍵詞 小學數學 “大概念”教學 教學路徑

大概念不僅表現為概念的外延廣，更表現為概念的內涵深。大概念不同于數學學科中的概念，而是一種認知框架。大概念具有整合作用，并能將學生數學學習的相關內容進行有效遷移。在教育學的歷史上，大概念的提出可謂久遠，如布魯納的“基本概念”“一概念”、奧蘇貝爾的“要領概念”、懷特海的“惰性概念”等[1]。在數學教學中，大概念具有統攝作用和功能，它能統攝很多的小概念。一般來說，大概念具有廣泛的遷移性、普適性等特性。在數學教學中，教師要研究大概念，充分地應用大概念，借助大概念落實數學學科的育人價值。

一、數學大概念內涵及外延

大概念是指“適用于解釋、預測較大范圍的學科知識的一些概念”。數學大概念具有較高的抽象性，它兼有方法論、認識論的意義。大概念具有中心性、網絡性的特質。換言之，大概念集中體現了數學知識的學科本質。在數學學科教學中，大概念不同于具體的概念，它包括概念、觀念、論題等。大概念還具有一種層次性、相對性的特質，從大到小、從高到低依次可以分為課程大概念、學段知識大概念、單元大概念、章節大概念、課時大概念等。

大概念一般來說包括兩個層面的內容：其一是核心概念，其二是共通概念。核心概念是指“學科知識中發揮關鍵作用的一些概念，這些概念往往是學科的基石，它們能將相關的知識集結在一起”。在數學教學中，引導學生把握了核心概念，就能讓學生把握數學學科知識。共通概念是指“跨越學科乃至于跨界的一些共同概念”，這些概念具有較強的解釋力[2]。比如“只有計數單位相同才能直接相加減”這樣的一種大概念就屬于核心概念，是集中體現整數、小數、分數加減法的法則的核心概念，掌握了這一核心概念，學生就能形成一種整數、小數、分數加減法的計算自覺，如整數中加減法的末尾對齊、小數加減法的小數點對齊、分數加減法中的通分等。而分類、統計中的歸類思想就屬于一種共通的概念，這一概念不僅對學生的數學學科學習，而且對學生的其他學科學習乃至于生活都具有深刻的意義，這一數學大概念是物以類聚、人以群分這樣的生活性、經驗性的大概念在數學學科中的具體反映。

概念不僅僅是學生數學學習的載體、媒介，也是學生數學思維、探究的工具。概念不僅具有數學的邏輯價值，更具有一種組織學習的價值。在學生學習的每一個階段、每一個層級，大概念都會不同。在此階段的大概念，在彼階段就不是大概念，而是一個子概念、分概念，一個普通的、簡單的概念。從某種意義上說，學生的數學學習就是大概念的產生、消散，又誕生的過程。

二、數學大概念的結構及其功能

大概念是一種深層次的、可遷移的概念。借助于大概念，學生在數學學習中能觸類旁通、舉一反三。大概念能讓學生系統地、廣泛地吸納知識，快速、有效地應用知識。在數學教學中，教師要善于提煉、抽象、概括大概念，借助大概念引導學生的數學學習。

1.金字塔型結構及其功能

金字塔型的大概念群最為常見。位居金字塔塔尖的概念是最為核心的概念，在核心概念統馭下，逐層展開其他概念。這樣的一種大概念結構方式，是一種“總—分”式的結構方式[3]。比如“直柱體的側面積、體積計算”，具體到下一層級的長方體、正方體、圓柱體的側面積、體積計算公式的形態各不相同，盡管其內在的本質是相同的。作為教師，可以通過兩種方式進行這部分內容的教學：其一是從大概念出發，引導學生從整體上形成對直柱體側面積、體積的認識，然后再逐一展開建構，這是一種自上而下的詮釋性、應用性的教學;其二是先建構，然后引導學生比較，逐步抽象、提煉、概括出數學的大概念，這是一種自下而上的建構性的教學。

2.樹狀線型結構及其功能

樹狀線型的概念結構有助于學生依循數學知識的內在邏輯結構、脈絡等逐步推演。與金字塔型的大概念結構不同，樹狀線型結構是概念在形成過程中逐步生長出來的。以“平面圖形的面積”為例，通常以長方形、正方形的面積為基礎，引導學生逐步推演出平行四邊形的面積、圓的面積，再根據平行四邊形的面積推導出三角形的面積、梯形的面積等。在這一過程中，長方形的面積是主干，其他相關知識多是枝葉;或者說長方形的面積是基本型知識，而其他相關知識都是導出型的知識。在這里，數學的大概念（相對而言）就以一種生長的方式呈現，從而形成了一種樹狀線型的概念生長體系。

3.網絡聯型結構及其功能

大概念還有一種建構模式，這就是網絡型。相比前兩種大概念的組型，網絡型的大概念往往在概念內涵、外延、性質等方面都會有交叉。網絡型大概念的組建，能讓學生認識到概念之間的多重關聯。為此，在數學教學中，教師要打破固化的單元結構，形成以大概念為核心的開放性、生成性結構形式。以“因數和倍數”這一部分內容為例，從“整除”這一主干大概念出發，會衍生出相關的“因數和倍數”，進而在“因數和倍數”的基礎上，又會交叉衍生出“奇數和偶數”（根據是否是2的倍數）、“素數與合數”（根據一個數的因數的個數）、“公倍數與公因數”（由一個數的因數、倍數衍生為兩個或者兩個以上的數的公倍數、公因數等）等相關概念，這些概念之間是可以交叉的。如一個數是否是質數與一個數是其他數的因數，交叉衍生出“質因數”這一概念。在網絡聯型概念結構中，交叉的概念可以成為大概念。作為教師，要重點引導學生對交叉概念的理解。如在“因數和倍數”這一部分知識中，“質因數”就是一個關鍵性、核心性的大概念，它縱橫交錯地牽涉到許多相關的知識點，對學生學習“對一個數分解質因數”“應用短除法求幾個數的公因數、最大公因數、公倍數、最小公倍數”等具有重要作用。

以大概念為導向，統籌規劃數學教學，要求教師明確數學知識的大概念類型。對于金字塔組型概念，教師要引導學生認識核心概念的內涵、本質;對于樹狀組型概念，教師要引導學生掌握基本大概念，把握概念的生長;對于網絡聯型概念，教師要引導學生把握概念之間的關聯，等等。

三、數學大概念教學的策略

基于大概念的數學教學，教師在教學中要善于提煉大概念、實踐大概念，促進學生在數學學習中不斷實現概念的躍遷。

1.大問題驅動，激發學習動力

問題是大概念教學的重要載體。在小學數學教學中，教師可以用大問題驅動學生的自主思考、探究。用大問題驅動，能有效地引領學生自主學習[4]。在大概念教學之中，大問題猶如一個結構性樞紐，能成為驅動學生深度學習的利器。比如教學“真分數和假分數”這一部分內容，教師要深度研究學生的具體學情，把握學生的認知障礙，從而設計有針對性、實效性的大問題，引導學生的數學學習。如果教師僅僅從形式上引導學生區分，比如“分子比分母小的分數是真分數”“分子比分母大的分數是假分數”等等，這樣的一種引導，只能讓學生抓住“形”，而難以讓學生理解“神”。筆者在教學中，引導學生從分數的意義入手，將過去的一種表達——“取其中的幾份”，轉變為“表示這樣的幾份”。如此，提出這樣的大問題：“平均分的份數一定大于表示的份數嗎？”通過這樣的大問題，引導學生思考：“如果平均分成4份，你能從中取出5份嗎？如果平均分成4份，你能表示出相應的5份嗎？”如此，不僅引導學生深度思考、探究“單位‘1’的量”，更突出分數單位的意義和價值，進而引導學生深度理解分數的本質，建構真分數和假分數的概念。抓住大問題，引導學生建構大概念，就能將學生的數學思維逐步引向深入。

2.大主題統領，集約學習內容

主題是學生數學大概念學習的載體、媒介。在小學數學教學中，教師應當積極主動地設計主題，用主題統馭學生的數學學習統整相關的數學學習內容。用大主題統領，要打破單元邊界、學科邊界等，引導學生從教材中的目錄、標題中發掘、提煉主題，從不同層次引導學生提取大概念。比如在學生學習了“認識厘米”“角的度量”“長方形的面積”“長方體的體積”等相關內容之后，筆者以“測量中的包含除”為主題研發了一節課，將相關測量內容進行整合。借助于大主題，不僅能引導學生整合相關知識，而且能引導學生習得相關的學科思維方法、思想觀念等。比如通過“包含除”這樣的大主題，學生深刻認識到，測量的本質就是看測量對象中包含有多少個測量單位。因此，對測量來說，首先應當建立測量標準、測量單位;其次要探究測量對象中包含有多少個這樣的測量單位，這個“多少個”其實也就是兩個不同的量之間的進率。根據這樣的進率還可以制造工具，或者建立進率模型等。借助于大主題，學生通過積極的對話、研討，將整數、分數、小數、百分數等在內的所有計數教學，以及平面圖形的周長、面積，立體圖形的側面積、體積等相關內容都囊括在內，因為它們都可以用“包含除”這一思想方法解決問題。

3.大結構整合，建構學習體系

基于大概念的數學學習，是一種大結構的數學學習。大結構就是要將學生數學學習的相關內容進行整合，從而幫助學生建構學習體系，讓學生的數學學習成為一個整體。比如教學“比的基本性質”之后，教師有必要引導學生建構知識結構，從而促進學生對知識的理解、應用。從橫向上來看，引導學生比較“商不變的規律”“分數的基本性質”“小數的性質”以及“比的基本性質”，認識它們的聯系與區別，體會到它們內在本質的一致性;從縱向上來看，引導學生認識它們各自的意義、作用和價值。以“比的基本性質”的縱向結構化教學為例，教學中，教師不僅要引導學生認識比的基本性質的作用是化簡比，認識化簡比的依據是比的基本性質，化簡比要充分地應用比的基本性質，要將一般性的整數比、小數比、分數比、數量比等化成最簡單的整數比的形式（簡稱“最簡比”）等，更要引導學生認識化簡比的現實作用，如各種物質材料的份額的配備、一件物品中各種材料所占的份額，等等。通過縱橫比較、整合，引導學生建構數學知識大結構，從而明確“商不變的規律”“分數的基本性質”“比的基本性質”等系列大概念的內涵、用途、功能。

大概念視野下的數學教學，是立足于結構論、系統論的視角來審視知識的。作為教師，要立足于數學的學科知識，從數學學科知識和學生數學素養生成發展的視角出發，重構數學知識與相關大概念的關聯、對接等?；诖蟾拍畹慕虒W立場，教師應當引導學生把握數學學科內容的本質、核心，促進學生數學學習力的提升、數學核心素養的發展，引導學生數學問題分析、解決、遷移等能力的發展。

參考文獻

[1] 威金斯，麥克泰格.追求理解的教學設計[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2012：.

[2] 呂程，王凌.概念域：數學概念教學的應有視角[J].教學與管理，2019（08）：27-29.

[3] 劉兆偉.小學數學教材的合理改造[J].教學與管理，2020（02）：54-55.

[4] 彭國慶.小學生數學推理能力的分析與培養[J].教學與管理，2021（14）：38-39.

[責任編輯：陳國慶]