初中生數(shù)學(xué)運算能力欠缺的歸因分析及對策

姜合峰　謝亞錦　陳文鑫　龔葦

摘? ?要 學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)必須具有較強的數(shù)學(xué)運算能力。基于初中生數(shù)學(xué)運算能力欠缺的現(xiàn)狀，分析學(xué)生運算出錯的常見原因，以及數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力發(fā)展的因素，并提出提高初中生的運算能力的策略，從而增強和提高初中生的運算意識和能力，促進其全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞 初中階段? 運算能力? 數(shù)學(xué)教學(xué)

“運算能力”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出的十大核心詞之一。運算能力是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力，培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算和算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題[1]。運算能力滲透于初中數(shù)學(xué)課程的所有模塊，是學(xué)生不可或缺的一項基本技能。因此，學(xué)生運算能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占著舉足輕重的位置，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要部分，需要教師有充分的認識，進行更深層次的探討。

綜觀我國初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，部分教師對“運算能力”的理解不夠深入。面對學(xué)生運算中出現(xiàn)的錯誤，老師通常簡單將其歸咎于“粗心大意”，對策就是反復(fù)練習(xí)，學(xué)生對枯燥的計算產(chǎn)生厭惡心理。事實上這樣的歸因是片面的，只要我們好好反思一下就會發(fā)現(xiàn)，在看似“粗心”的背后，隱藏著學(xué)生運算能力的缺失、教學(xué)訓(xùn)練的盲點和老師的責(zé)任[2]。針對初中生運算能力有待提高這一現(xiàn)狀，文章從學(xué)生的學(xué)和教師的教兩個方面進行歸因分析，就提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力提出相應(yīng)的策略，以期為教師的教和學(xué)生的學(xué)提供幫助。

一、初中生運算出錯的常見原因分析

1.依賴工具，計算習(xí)慣不良

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，很多學(xué)生都有通過手機計算器、網(wǎng)上搜題等渠道來幫助自己完成計算的習(xí)慣。長此以往，學(xué)生對計算器產(chǎn)生依賴，無形中削弱了學(xué)生對算理與算法的理解。盡管在考試中教師要求不允許使用計算器，但很多學(xué)生習(xí)慣去口算，沒有使用演草紙進行驗算的習(xí)慣，弱化了運算的能力，造成運算中出現(xiàn)丟失符號、抄錯數(shù)字、漏掉括號等低級錯誤。

2.記憶較弱，知識提取不順

初中的數(shù)學(xué)運算相對于小學(xué)來說復(fù)雜了許多，運算范圍擴大了，運算的級次提高了，需要學(xué)生記憶的概念、性質(zhì)、公式、法則也相對增加了許多，自然而然對學(xué)生記憶和提取信息的能力也提出了更高的要求。若是學(xué)生在運算過程中對概念、公式、法則等記憶混亂，不能準確提取相關(guān)知識，則必然會導(dǎo)致運算不順暢甚至運算錯誤。

例1（2016.山西中考）解方程：2（x-3）=x-9

求解方程的關(guān)鍵是掌握等式的基本性質(zhì)。該題很多學(xué)生采取的做法是，左右兩邊同時除以（x-3），得到2（x-3）=x+3，化簡后求得x=9。在等式的基本性質(zhì)中，等式左右兩邊同時乘或除的式子是不能為0的，這里學(xué)生顯然忽略了x-3=0的情況，這就是典型的性質(zhì)記憶模糊，提取信息時有遺漏。

3.思維定式，遷移方式不正

對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移有正遷移和負遷移兩種類型。正遷移可以對類似內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生正向的推動力，如掌握平面幾何有助于掌握立體幾何。相反，負遷移常常表現(xiàn)為一種學(xué)習(xí)干擾了另一種知識的學(xué)習(xí)，如在不等式運算時錯誤使用等式的規(guī)則。許多教師在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，初中生在學(xué)習(xí)過程中很容易受到舊知識的干擾，造成學(xué)習(xí)上的困難。

例2.解一元一次不等式：3-2x≥9+4x

在解該不等式的過程中，絕大多數(shù)同學(xué)出現(xiàn)錯誤的原因是在不等式的左右兩邊同時除以一個負數(shù)時沒有進行變號。這就是由于受到一元一次方程的干擾加上思維定式，造成了知識間的負遷移。

4.審題不清，閱讀能力不強

解題的第一步就是要認真審題，準確理解題意。但是不少學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題時只是機械地閱讀，缺少邏輯思維和清晰的行為控制，讀題時停留在對題目的直接的、字面意義的理解上，不能很好地將文字語言和符號語言進行互化。

例3 請根據(jù)程序框圖（圖1）的步驟求解a的值。

此類問題在初中數(shù)學(xué)試題中并不少見。在解決該問題時，絕大多數(shù)同學(xué)出現(xiàn)錯誤的原因是對數(shù)學(xué)符號缺乏了解，不明白框圖中符號的意思，導(dǎo)致不能將符號語言轉(zhuǎn)為文字語言進行理解，從而造成思緒混亂，錯誤理解題意。

二、課堂教學(xué)中影響學(xué)生運算能力發(fā)展的現(xiàn)象

1.重信息技術(shù)，輕學(xué)生主體

當前，越來越多的教師能夠熟練運用教育技術(shù)來輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，其中利用最多的就是多媒體課件。多媒體課件在幫助教師順利展開教學(xué)活動的同時，在課件的設(shè)計和制作上存在一些問題，容易造成信息傳輸速度快，學(xué)生“消化不良”[3]。比如，課件代替了板書。原本教師進行板書的這一段時間，學(xué)生剛好可以進行審題和思考。利用教育信息技術(shù)后，習(xí)題和答案以動畫的形式直接展現(xiàn)在課件上，沒有展示詳細的運算步驟，忽略了板書的示范性，削弱了學(xué)生的運算練習(xí)，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)運算算理的理解，也影響了學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的提升。

2.重熟能生巧，輕思想方法

部分教師對運算能力的理解不是很到位，將數(shù)學(xué)運算看做是一件很簡單的事情，他們往往認為“運算能力”的培養(yǎng)無非就是讓學(xué)生會計算，采取的策略就是熟能生巧，對于“正確求解”背后的“思想方法”和算理關(guān)注甚少。長此以往，導(dǎo)致學(xué)生的思維長時間停留在同一層次，阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的提升。比如，在二次根式加減的運算的教學(xué)中，教師常常是讓學(xué)生通過做大量的練習(xí)題來掌握該知識點。事實上，“合并同類二次根式”與之前學(xué)習(xí)過的“合并同類項”在算理算法上類似，如果教師能挖掘出其背后隱藏的“類比”的思想方法，讓學(xué)生的思維上升一個層次，將有助于學(xué)生運算能力的提升。

3.重形式記憶，輕概念實質(zhì)

一些教師由于對教材理解不夠透徹，在概念教學(xué)中沒有做到“淡化形式，注重實質(zhì)”，導(dǎo)致學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念往往只認“形”而不認“神”。例如，在講解反比例函數(shù)的概念時，教師往往將重點放在y=k/x這一種形式上，誤將反比例函數(shù)的形式當做了它的實質(zhì)，而反比例函數(shù)的實質(zhì)是自變量和因變量的乘積是一個定值。反比例函數(shù)的表達式可以寫成y=kx、xy=k、y=k/x（k≠0），這三種表達式本質(zhì)上是一樣的。如果教師對于基本的概念都講解不清晰，學(xué)生在運算時是一定會出現(xiàn)錯誤的。

4.重解題思路，輕計算過程

在求解應(yīng)用題的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有的教師為了提高教學(xué)速度和效率，講解時注重解題思路，剖析解題方法和技巧，對于計算的具體實施步驟以及步驟的合理性、簡潔性等不予重視，讓學(xué)生課下自行完成，而對課下學(xué)生的具體完成情況又沒有進行監(jiān)督檢查。致使學(xué)生做應(yīng)用題時式子一列就認為大功告成，至于運算步驟和結(jié)果則漠不關(guān)心。當在考試中不得不進行運算時，學(xué)生又產(chǎn)生畏懼心理，自然影響了運算能力的提升。

三、提高初中生數(shù)學(xué)運算能力的策略

1.重視運算習(xí)慣，激發(fā)運算興趣

學(xué)生運算出錯除了基礎(chǔ)知識沒掌握牢固外，更多的是運算習(xí)慣差造成的，比如書寫潦草、抄錯符號、看錯題目等。因此，在日常教學(xué)中教師要培養(yǎng)學(xué)生認真讀題、規(guī)范書寫、做完檢查反思等習(xí)慣。數(shù)學(xué)教師還要做到嚴格要求，以身示范，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度和一絲不茍的精神。

大多數(shù)學(xué)生一提到數(shù)學(xué)運算就會覺得枯燥無趣。作為教師要學(xué)會善于挖掘數(shù)學(xué)中的美，想辦法增強課堂的趣味性，改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的負面認知，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，黃金分割數(shù)是0.618，現(xiàn)實生活中有很多符合黃金分割數(shù)的有趣的現(xiàn)象。教師可以和學(xué)生進行課堂活動，讓學(xué)生量一量自己從肚臍到腳底的長度，再比上自己的身高，看看結(jié)果是否接近0.618。課下還可以給學(xué)生布置探究作業(yè)，看看身邊還存在哪些“黃金分割數(shù)”。這樣一來，通過在數(shù)學(xué)中融入美育教育，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提升了學(xué)生的探究能力。

2.夯實基礎(chǔ)知識，明確運算算理

（1）加強概念講解。概念學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容，同時也是數(shù)學(xué)運算的助推器。需要特別強調(diào)的是，概念引入的方法可以是多樣的，但不能是盲目的，重要的是要抓住實質(zhì)。比如，在講解“反比例函數(shù)”時，問題情境創(chuàng)設(shè)要能體現(xiàn)“自變量和因變量乘積為定值”這一特征;在講解“方程”時，情境創(chuàng)設(shè)一定要突出“等量關(guān)系”這一特征;在引入平方根概念時，情境創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)開平方與平方存在“逆運算”這一特征等等。

（2）注重推理過程。要想提升數(shù)學(xué)運算能力，學(xué)生需要熟練掌握每一個公式、性質(zhì)和法則，不只是簡單的記憶背誦，而是使學(xué)生能夠明晰公式法則的推理過程，明確背后的運算算理和適用范圍。例如，在講解函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，教師為了幫助學(xué)生正確掌握函數(shù)圖象平移過程中函數(shù)解析式的變化，歸納了函數(shù)圖象平移口訣：“上加下減，左加右減”。對于學(xué)生來說，單是“告訴”還不夠，需要讓其明確“算理算法”。通過觀察具體的函數(shù)圖象，讓學(xué)生體會“上加下減”是針對y值而言的，x不變;“左加右減”是針對x值而言的，y不變，函數(shù)圖象在向左平移的過程中，x的值本身變小了，為了保證y不變，x就要加。同理，函數(shù)圖象在向右平移時x要減。通過完善推理過程，不僅可以提高學(xué)生的推理能力，同時能夠幫助學(xué)生熟練掌握公式性質(zhì)，更好地進行運算，提升學(xué)生的運算素養(yǎng)。

（3）研究記憶方法。針對學(xué)生混淆知識點，記憶薄弱這一現(xiàn)象，教師要采取相應(yīng)的解決策略，可采用口訣法、列表法、數(shù)形結(jié)合法等幫助學(xué)生記憶。例如，關(guān)于三角函數(shù)值的記憶可以借助用表格，觀察其中的規(guī)律，幫助學(xué)生記憶，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的“自然”，而不是去死記硬背。

3.優(yōu)化運算程序，提高運算速度

設(shè)計和優(yōu)化運算程序，選擇合適的運算方法，盡可能簡潔地獲得運算結(jié)果，提高學(xué)生運算速度，也是衡量學(xué)生運算能力的一個標準。解題過程中，教師要在學(xué)生會算和算對的基礎(chǔ)上提高學(xué)生簡便運算的能力，引導(dǎo)學(xué)生在眾多解法中尋求最優(yōu)解法，不斷優(yōu)化學(xué)生的運算程序，保證運算的速度和簡潔性，從而提高學(xué)生的運算能力和運算素養(yǎng)。

這個問題如果按照一般的解法，不論是用代入消元法還是加減消元法，運算起來都比較復(fù)雜。這個時候教師可以引導(dǎo)學(xué)生換個角度進行思考，尋求更簡便的算法，少算多思。根據(jù)等式的性質(zhì)。將兩個式子直接進行加減，（1）+（2），化簡后為x+y=3;（1）-（2）得x-y=1，重新聯(lián)立方程組x+y=3x-y=1，易求得x=2? y=1。這樣一來，不僅保證了運算速度，還體現(xiàn)了運算中的簡潔美。

4.強化運算訓(xùn)練，貫穿課程始終

運算不僅涉及初中數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容，“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)也離不開運算。例如，在探索勾股定理時，如果不進行平方運算，怎么能得出直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？在利用勾股定理解決問題時，如果不清楚平方根的運算，怎么能求出直角三角形的邊呢？因此，可以在數(shù)學(xué)課程的各個知識模塊中貫穿數(shù)學(xué)運算訓(xùn)練。比如，在證明題的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)運算來證明數(shù)學(xué)結(jié)論;在進行命題教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)了性質(zhì)之后，選擇恰當?shù)倪\算方法解答相關(guān)問題，以此來達到強化運算訓(xùn)練，提升運算能力的目的。

綜上所述，初中生數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展受到運算習(xí)慣、認知結(jié)構(gòu)、閱讀能力、邏輯推理等多方面的影響。教師要明確影響學(xué)生運算能力提升的不利因素，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意培養(yǎng)學(xué)生良好的運算習(xí)慣，注重學(xué)生對算理算法的理解，采取多種措施提高學(xué)生的運算速度，盡量將數(shù)學(xué)運算貫穿于教學(xué)的全過程，為提升學(xué)生的“運算能力”不懈追求。

參考文獻

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[作者：姜合峰（1973-），男，山西夏縣人，太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授;謝亞錦（1997-），女，河南漯河人，太原師范學(xué)院碩士生;陳文鑫（1998-），女，河南駐馬店人，太原師范學(xué)院碩士生;龔葦（1997-），女，重慶人，太原師范學(xué)院碩士生。]

【責(zé)任編輯? 郭振玲】

*該文為太原師范學(xué)院“1331工程”第二批建設(shè)計劃立德樹人-基礎(chǔ)教育服務(wù)（晉中市）行動計劃項目-重點項目“城鎮(zhèn)初中生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)提升研究”的研究成果