數學的對稱之美與統一之美及其在中小學數學教學中的應用探析

羅建華

摘? 要：在很多人眼里，數學是一門枯燥乏味的課程，如果把美麗和數學相提并論，許多人會持不同意見。數學漂亮嗎？數學美嗎？這樣的問題將接踵而至。事實上，如果能冷靜下來，去細細品味那些枯燥公式、煩瑣證明之后的本質規律，就能體味到一種獨特的美，那是不同于生活中常見美的數學所特有的美：邏輯上的嚴謹性、結構上的協調性、理論上的抽象性、應用上的廣泛性以及其方法之優美與奇特、其形式之間的對稱與和諧、其內容的豐富與深刻等等，無不給人以美的感受、美的刺激、美的熱愛。美育，又稱美感教育，是培養人們認識、發現、體驗、欣賞和創造美的能力的一種教育方法，可以促進受教育者獲得美的理想、美的品質、美的修養和美的情感。一方面，中小學數學教育是為學生建立一個基本的邏輯體系，另一方面是為了學生做到主動學習、喜愛學習，最后形成終身學習的習慣，這才是中小學數學教育的立足點與支撐點。

關鍵詞：對稱美;統一美;數學教學

一、數學中的對稱美

（一）創設美的情境，讓學生感受數學的對稱美

在課堂上用課件放出美麗的軸對稱圖形，可比干巴巴地講課生動、形象多了，并且通過多媒體的放映，可以創立一個美的情境，讓學生置身于美中，全身心地感受到對稱美，在美境中得到成長。比如在學習軸對稱這一章時，教師可以這樣說：同學們，在這個世界上存在著許多軸對稱圖形，你們認為它是美的嗎？當然是美的，正是因為有了這些美麗的軸對稱圖形，世界才會變得如此五彩繽紛、豐富多彩！好了，就讓走近軸對稱圖形，去揭開她那神秘的面紗。（動畫呈現：有美麗迷人的泰姬陵、莊嚴肅穆的金字塔、雄偉壯麗的富士山和歷史悠久的巴黎圣母院等名勝古跡;有圓、矩形、橢圓、等腰三角形、正五邊形等各種圖形;還有漂亮的小蜜蜂，可愛的青蛙，美麗的蝴蝶等各種小動物……）隨著時間的推移，學生的情緒調動了起來，發出此起彼伏的贊嘆聲。學生已經完整地感受到了對稱圖形的美，師：“正因為有了這么多對稱與不對稱，才讓的世界變得如此五彩繽紛、美麗動人。”通過這些美麗的畫面，讓學生欣賞到對稱美，并產生追尋美的渴望。

師：剛才老師展示了那么多的軸對稱圖形，想必同學們已經對軸對稱圖形有了深刻的認識，不知道你們能不能畫出一幅老師最喜歡的軸對稱圖形？

經過前面的鋪墊，學生基本上理解了軸對稱原理，現在進行創作不僅可以鍛煉他們的動手能力，還可以進一步鞏固加深對知識的理解，教師在下面巡查，也可以查漏補缺。

本節課將要結束時，學生自主創作出來許多作品，如楓葉、彩虹、氣球等等。在本節課的作品展示環節，通過學生自己向全班介紹作品，加深了學生對對稱的理解，也表現了數學對稱美的文化內涵。

（二）探索美的秘密，創立美的等式

探索、發現、創造三部曲不僅是人類的求知過程，也是一種常用的教學手段，例如可以在先在黑板上寫出一些對稱等式，讓學生仔細觀察，再提出一個問題，其實答案就隱藏在等式之中，等到學生苦苦探索，最終得到規律答案，并利用規律創造新的等式。多媒體出示：

33×22=22×33? 13×62=26×31? 14×82=28×41

25×52=25×52? 34×86=68×43? 46×96=69×64

師：請同學們仔細觀察上面的6個等式，你覺得美嗎？為什么？你能找出它的規律嗎？

前面兩問比較容易，學生一下子就答出來了。可是對于最后一問，全班都陷入了沉默，見此情況教師決定給幾分鐘討論。學生經過激烈的討論最終發現了算式的秘密：1、每個算式都關于等號對稱;2、兩個個位、十位互換的兩位數的乘積等于兩個原兩位數的乘積。

師：剛剛得到了對稱等式的特征，你們能不能根據它的規律創造出一些類似的算式？

聽到這話，學生們躍躍欲試，不一會兒就創造出很多對稱等式，現出示一部分：

35×53=35×53? 55×77=77×55? 123×642=246×321

12×84=48×21? 13×93=39×31? 112×422=224×211

數學美育的魅力在于讓學生通過探索發現，不斷發現對稱美的秘密，并依據規律創造出對稱美。這樣不僅鍛煉了學生發現美的能力，還激發了他們探索美的熱情。

從回文數中得到啟發，巧解等差數列，回文數是指正序讀、反著讀都是一樣的整數，例如：1001、343、78987等。在回文數的整數乘法中，發現了一個有趣的現象：

通過仔細觀察發現出規律，并巧算出：回文數在數學算式上的巧妙應用正是反映了對稱美，從而引起學生濃厚的興趣。

對稱美是宇宙萬物中的一個永恒定律，就像有白就有黑，有陽就有陰一樣，現代物理學中有個理論說有正物質就有反物質，假設現實生活中所看到、感受到的一切客觀事物都是正物質，那么宇宙中也存在看不見、感受不到的等量的反物質，這樣宇宙才均衡，就像一樣，說起來有些不可思議，但是在做某些難題時，這種設想卻顯得巧妙、易懂。如在學習中對程度比較好的學生上等差數列求和時，大都用公式：“（首項+末項）×項數÷2”來教學，可這一公式對于成績較差學生要掌握和理解有一定困難。

有一道數學題叫作“懶人跑步減肥”，有個180斤的胖子想要減肥，于是他開始跑步，第一天他跑了10公里，后來每天都要比前一天少跑一些，每天少跑的距離是相等的，最后一天只跑了1公里，他一共跑了一個月（30天），問這個胖子一個月總共跑了多少公里？這道題難就難在不知道他每天具體跑了多少公里，也不知道每天比前一天少跑了多少公里，而且每天跑的距離不一定都是整數，唯一知道的是第一天和最后一天跑的距離。但是學過對稱，這個題目只要換個角度運用對稱的原理就可以巧妙地解答出來了：假設有一個瘦子他想通過跑步鍛煉身體，已知他第一天只跑了1公里，以后的每天都比前一天多跑一些距離，每天增加的距離是相等的，最后一天他跑了10公里，總共跑了一個月（30天），與前面的那位胖子的情況正好相反，也就是對稱。顯知胖子和瘦子一個月跑的距離是完全相等的，并且他們每天增加或減少的距離也是相等的，所以可以算得兩人每天一共跑了11公里，那么，一個月一共跑了11×30=330公里，即每人跑了330÷2=165公里。這道題的難點不過是沒有直接給出每1天跑的距離，其實完全不必糾結，完全可以利用對稱的原理，將這種等差數列求和化為類似回文數的對稱求和方式。學會運用對稱的思維來理解等差數列求和可比干巴巴地講求和公式要生動形象多了。

（三）從軸對稱圖形中發現對稱原理的運用

在學習了軸對稱圖形后，最常見的習題就是畫出軸對稱圖形的另一半。其實軸對稱圖形為人們研究數學問題提供了某些啟示，例如在博弈論中也經常用到對稱理論，有一道經典的題目：

一張桌面上擺了一排糖果，共計41個，有兩個小朋友比賽看誰能拿到最后的糖果就算贏，游戲規則是每人每次只可以拿一顆，最多拿兩顆，但是拿兩顆糖果時必須是相鄰的，即中間沒有其他的糖果，證明：先拿的人一定有辦法使對方輸。這題表面上看挺難的，以為從排列組合的角度來看，分法太多了，但是如果從對稱的角度來看卻十分容易。當先拿走了最中間的那一顆（第二十一顆糖果）后，左、右兩邊都各剩二十顆糖果，只要對方拿一邊的糖果，你就拿另一邊的糖果，而且位置、個數都和對方對稱，只要對方拿多少，你也拿多少，因為是對稱的，所以最后一次肯定是你的，因此先拿的人肯定是贏家。如果糖果是40粒，即偶數個時，只要你第一次拿走了中間的兩粒，使左、右兩邊各剩19顆糖果，就能保證必勝。

類似的題目還有：在一張長方形桌上，兩個賭徒在用圓形籌碼賭博，只不過這次的游戲規則有些另類：兩個人輪流在桌子上擺籌碼，每人每次只能擺一個籌碼，并且兩個籌碼之間不能重疊，保證每一個籌碼不能超過桌面邊緣一絲一毫，兩個人誰先擺不下籌碼就算輸。無論他們嘗試多少次，總是先擺的甲獲勝，這時，乙不禁充滿了疑問，這是為什么呢？發現桌子的形狀是長方形，因為長方形是中心對稱圖形，所以利用中心對稱性，先擺的甲他只要保證把第一個籌碼放在桌面的中心，那么不管乙把籌碼擺在哪里，甲總可以把籌碼擺在和乙關于桌面中心對稱的地方。這樣，只要乙有地方擺，那么甲也有地方擺，所以最后輸的一定是乙。

無論是“籌碼問題”，還是“糖果問題”，解答它們的思維方法都源于軸對稱圖形的基本特征，教師在教授軸對稱圖形性質特征時，可以部分引用這方面的知識，加深對軸對稱圖形知識的運用和深層理解，使學生樂于學習，發現對稱的美，領略到數學的魅力，激發學生發現美、鑒賞美、創造美的能力，并培養學生高尚的審美情趣。

二、數學中的統一美

（一）結論的統一美

一個統一的結論可以揭示自然界的一些秘密，促進人類社會的發展進步，人類的發展史就是一個不斷追求統一結論的過程。而作為所有學科的基礎，人類發展的基石——數學更是如此，對數學現象的所有分析都形成了無數個統一的結論，然而這只是冰山一角，自然界中還有許多沒有發現的結論等著。數學教材中的每一個公式，每一個定理都是一類問題的統一結論，也是最高度的概括與總結。例如，矩形的四個角是直角。除了公式和定理具有統一性外，許多看似毫無關系的問題也能得出統一的結論。

問題1：仔細觀察圖片，分析圖中有多少條線段？

問題2：圖中共有多少條小于180度的角？

問題3：小明參加的乒乓球隊在賀龍體育館進行比賽，已知有n支乒乓球隊參與乒乓球賽，請問在賀龍體育館一共進行了多少次比賽？

上面的幾個問題，雖然無論從故事背景，還是內容實質都大不相同，可以說是風馬牛不相及，但都有一個統一的結論，即由于這種情況在數學中十分常見，所以教師應該格外重視，主動鍛煉學生的歸納總結能力，以后碰到此類問題就可以巧妙解答，這就是數學結論統一美的魅力所在。

（二）方法的統一美

數學中有許多常見的方法，它們的應用十分廣泛，如消元法、降次法、圖像法、代入法等，它們在數學解題中扮演著十分重要的角色。

例如，二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知數，一元一次方程組也可以用圖像法得出答案。

舉個簡單的例子，在計算五邊形的內角和，可以輕易地想出以下幾種方法：

方法1：如圖3，連接AD兩點，再連接AC兩點，可以看到線段AD、AC將五邊形ABCDE分成三個三角形，因為一個三角形的內角和是180度，那么五邊形的內角和為180×3=540度。

方法2：如圖4，在五邊形中心任取一點O，連接OA、OB、OC、OD、OE，將五邊形分成5個三角形，便可以求和，即180×5-360=540度。

方法3：如圖5，在五邊形的任意一邊，假設在AB邊上取一點P，P點任取，連接PC、PD、PE，將五邊形分成了4個三角形，便可求和，即180×4-180=540度。

觀察可知，上述的三種解法，都有兩點統一的特征：（1）都是每個頂點跟任意一點連接，這個點可以是頂點，也可以是五邊形內部的一點，甚至可以是五邊形一邊上的任意一點;（2）將求五邊形內角和的問題，轉化成求幾個三角形內角和相加的問題。看到這里，有同學不禁想到如果任意一點是在五邊形的外面，那么還能構造出三角形來求五邊形的內角和嗎？其實是可以的，方法同上面三種解法一樣，在此不詳細論述。對不同的解題方法進行概括總結，得出統一的結論，有助于學生深刻地理解問題本質，拓展思路，鍛煉解題技巧，感受統一美的魅力。

（三）過程的統一美

在學習矩形、平行四邊形等數學圖形的過程中，學生將經歷定義、性質、認識、應用四個環節，學習全等、相似等數學關系的時候也是經歷了這四個環節。而在學習一元一次、二元一次等方程的過程都經歷了概念、解法、應用的三個階段。知識點的研究過程可以統一，那么數學的解題過程也有統一美嗎？

例：如圖6，點A的橫坐標為10，縱坐標為0，OA是半圓C的直徑，點C為圓心，有一點B沿著半圓周運動，連結OB，連接AB，并延長AB至點D，使DB=AB。過點D作垂直于x軸的直線，交直線OB于點F，交x軸點E，連結CF。

（1）如果測得∠AOB=30°，那么弧AB有多長？

（2）假設DE=8，那么線段EF的長度是多少？

（3）當點B沿著半圓C運動時，求三角形ECF與三角形AOB能否相似。若能的話，試求出點E的坐標;若不能，請給出理由。

解：（1）略。

（2）當交點E在點A，C之間時，如圖7，連結OD。因為DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=4。又因FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=3。

當交點E在點O的左側時，如圖8，連結OD。因為DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=16。又因△FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=12。

（3）略。

注：發現在解答第二問的時候有兩種情況，在這兩種情況中的圖形差異很大，得出的結論也不一樣，但是解題過程卻出乎意料的一致。這種解題過程的高度統一在第三問中也存在著，第三題共有六種情況，除了兩種情況無解外，其他幾種情況的解題過程基本一致，這里就不廢話了。

從這道題中可以發現，圖形通過平移、旋轉等變換改變了位置和形狀，但是解題的過程卻是高度統一的，從這種統一上，學生可以得到思路的啟發，找到快速簡捷的解決問題途徑，這就是統一美的意義所在。

三、對未來數學教學模式的思考和建議

滲透數學美在數學不僅是教學過程中體現的數學之美無處不在，也刺激了課堂氣氛，吸引學生的學習興趣，使學生形成思維美感。

針對教材里潛藏的美學因素，教師應在課堂教學中揭示出來，讓學生自然地認識到數學的美。在如何揭示數學的潛力在教材，教師可以使用發現方法教從審美的角度來看問題，引導學生運用創造思維，擁有獲取新知識與審美特征的喜悅，通過必要的實踐中獲得感悟，再發現新的知識。學生通過這個過程培養了審美直覺能力，提高了實踐創造能力。

教師在課堂教學中要注重于引導學生的審美意識，適當地將數學中美的因素呈現出來，讓學生體驗到數學的美感。

教師可以探索數學美的教科書，培養學生的感受美，欣賞美，讓學生可以用美學方法在數學創造美的能力。因此，在教學實踐中，學生可以更輕松，更快樂地學習數學知識，掌握數學技能，在自覺的、輕松的、活潑的氛圍中成長。

（責任編輯：淳? 潔）

參考文獻：

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