“圓錐曲線”解題教學課例

楊勝凱

摘要：2020年貴州省教科院立項課題《高中數學“一題一課、多解變式”復習模式的實踐研究》（課題編號：2020B080），課題組成員立足于高考真題進行課題研究而形成的一題一課、多解變式教學案例。通過對2017年全國Ⅰ卷文科數學第20題的研究，以落實數學核心素養為載體，去研究一道題得到一類題的通性通法的解法，從而全方位、多角度地挖掘學生潛在的數學解題思維，培養學生問題探究意識和問題解決能力。該課例已運用于課堂，效果較好。

關鍵詞：數學核心素養;一題一課;圓錐曲線

一、教學設計

（一）知識點

拋物線的概念與性質、直線與拋物線的位置關系，弦長計算及方程思想、轉化化歸思想.

高考真題：（2017年全國Ⅰ卷文科數學第20題）設A，B為曲線C：上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

（1） 求直線AB的斜率;

（2） 設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

（二）學習背景

1.教材分析

高考定位 1.圓錐曲線中的定點與定值、最值與范圍問題是高考必考的問題之一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一;2.以橢圓或拋物線為背景，題型靈活多變，由于向量、導數等內容的充實，圓錐曲線逐漸向多元化、交匯型發展.尤其是與條件或結論相關存在性開放問題.對考生的代數恒等變形能力、計算能力有較高的要求，并突出數學思想方法考查.

2.學情分析

圓錐曲線作為壓軸大題，難度使許多考生高不可攀，也是學生最容易失分的地方;圓錐曲線的難點不僅是其自身的一些基本性質，還常將其與向量，不等式，函數等綜合在一起，難度更是雪上加霜令不少考生絞盡腦汁;其實考生都熟悉圓錐曲線的一些基本性質，但對其性質的靈活多變及運用卻不容易;本課著重分析高考中圓錐曲線的解題方法和思路，比如常用的韋達定理運用，及向量有關（雙根法）、雙斜率問題等，盡可能做到"授人以魚，不如授人以漁".訓練學生對問題進行分析，思考，探索，解決的方法，教導學生認真仔細尋求正確的方法解決問題.

3.核心問題

（1）知識層面，根據圓錐曲線的概念及其性質出發，用代數語言表示幾何元素，進而用解析方法（坐標法）解決幾何問題

（2）學生層面，首先，從題目中的基本量出發，找到圓錐曲線變量之間的關系。然后通過不同的方式方法去解決變量之間的關系。教學過程中想要做到盡量創新，就應該堅持從實踐到探索再到學習的循序漸進的過程。高中數學圓錐曲線教學中培養并激發學生的學習興趣便尤為重要。

（三） 學習目標

1.核心素養目標：此題考查數學運算、邏輯推理等數學核心素養能力.

2.長見識悟道理：

長見識要求：解題過程中，要適時審題，聯系知識點之間的關系，要善于發現問題與結論或性質之間的聯系，切實做到優化解題路徑.

悟道理要求：數學學習中，既要關注常規方法，又要關注非常規方法，做到思考到位，功夫到家.

二、教學過程

（一）一題多解

1.第（1）問的問題分析

審題，已知A，B為曲線C：上兩點，A與B的橫坐標之和為4，則可通過斜率公式去找到他們之間的關系，從而求出斜率。

（1）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1≠x2，，，x1+x2=4，

于是直線AB的斜率.

教學研討：①根據斜率公式，利用基本量兩個點直接代入化解，直接代公式就出結果.教學過程中，學生應該注重基礎知識，同時引導學生在圓錐曲線的第一問應該是拿分點，要勇敢去爭取.

2.第（2）問的問題分析

①利用韋達定理解決問題

欲求直線AB的方程，在第一問的基礎上可以知道直線AB的斜率，要求直線的方程，只需要一個條件去化解就可以得到答案.

解法1：由（1）知，設直線AB的方程為y=x+m，M（x3，y3），

由，得.

由題設知，解得x3=2，于是M（2，1）.

由，化解得x2-4x-4m=0.

∵△=16（m+1）>0，即m>-1，，

∵AM⊥BM，

，

，

化解得，

即，解得或（舍），

所以直線AB的方程為.

教學研討：直線與圓錐曲線聯立消元，用韋達定理去找題目中聯立的關系式子，此方法經常用來求解直線過定點的問題。但是在最后找到關系式，用或y1+y2、y1·y2代替化解時，計算量特別大，很難化解到最后的答案。同時解決此類問題，也可以找到一些相關性質化解。比如，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半;設線段AB的中點為N（2，2+m），|MN|=|m+1|.從x2-4x-4m=0，求得，從而.由題設知|AB|=2|MN|，即，解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.

三、教學反思

圓錐曲線在高考中是一個壓軸題，很多學生望而生畏。平時在教學過程中，往往是教學生通過引進坐標系，借助“數形結合”思想，來研究曲線本身的方程和簡單幾何性質，以及直線與曲線的位置關系及弦長等問題。 我們知道“解析法”思想始終貫穿在這全章的每個知識點，同時“轉化、討論”思想也相映其中，無形中增添了數學的魅力以及優化了知識結構。

四、學習鞏固

1.（2013年天津）設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過左焦點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點。若，求k的值。

2.已知橢圓E：的右焦點為F（1，0），過F且與x軸垂直的弦長為3.（1）求橢圓的標準方程;

（2）直線l過點F與橢圓交于A，B兩點，問x軸上是否存在點P，使為定值？若存在，求出P的坐標;若不存在，說明理由。

3.已知橢圓C：，若直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以線段AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點。求證：直線l恒過定點，并求出該點的坐標。