高中數學課程視角下關于“函數單調性定義”教學分析

何桃容

摘要：在高中數學課程中，“函數單調性定義”是其中一項重點教學內容。本文基于高中數學課程視角下，對“函數單調性定義”這一重點教學內容進行了系統地分析與探究。

關鍵詞：高中數學;函數單調性定義;教學分析

教師在教學“函數單調性定義”這一內容時，應該積極探索高效的教學方法，創新教學理念，以此促進高中數學課程教學水平的發展。

一、初、高中“函數單調性”內容的對比

（一）知識體系的對比

在初中，依托平面直角坐標系，學生對照給出的函數圖像，依照橫向右看、縱向上看（即沿x軸、y軸的正向）的原則，通過“看圖說話”認識函數的單調性，所以初中學習函數單調性的特點是“直觀→文字語言描述”，與初中對單調性的描述性刻畫相比，高中函數單調性的定義有以下三個特點（以增函數為例）：第一，定義的表述是純粹的數學符號語言精確表達，而非數學文字語言描述;第二，刻畫自變量增加，函數值也增加用的是“比大小”的方法，即單調性的形式化定義是借助于不等式給出的，其結構的獨特性是很難有此前可以借鑒和類比的內容;

第三，定義中對于x1，x2（x1<x2）的“任意性”，既無法在圖像上看到，也無法用具體數值說明，是對數學符號的抽象刻畫。從上面分析即可看出，從初中借助直觀“看圖說話”的描述，到高中借助數學符號語言的精確定義，初中與高中的關于函數的單調性的知識跨度非常之大。

（二）認知體系的對比

我們知道，初中數學教材中已經對函數的單調性給出了描述性刻畫“對于一個函數，當自變量增加時，如果函數值也隨著增加，則稱函數是單調遞增的”，首先，這種對函數單調性的描述性刻畫與人們認識事物增大或減小的描述是非常一致的;其次，這種描述的過程中沒有使用特殊的數學符號語言;再次，在初中對于函數單調性的要求不高，沒有要求利用函數的單調性進行某些計算或證明，因此學生在初中學習函數的單調性并不存在較大的障礙。對脫離初中不久的高一學生而言，要想正確理解高中數學中的函數單調性定義，在認知上還是存在較大的障礙的：首先，學生剛上高中，一般還沒有適應高中數學知識相對初中的容量大、進度快、練習少的特點，從習慣到方法還沒有調整過來;其次，高中數學中的函數單調性定義的符號多，抽象性較強，表述特殊，必須借助若干特殊函數、圖像直觀分析，甚至通過舉反例來理解抽象的概念，這與初中的教學形成了較大的認知層次上的差距。

（三）應用性的對比

從教材和應用的視角看，初中對函數單調性的要求基本上是用“看圖說話”的方法判斷某些具體函數的單調性，而高中函數單調性具有要求高、聯系廣、多方位綜合的特點，高中數學的函數單調性與不等式、數列、向量、微積分，甚至一些解析幾何的綜合問題都有密切聯系。例如，高中要依據單調性定義，借助于不等式等知識判斷函數的單調性，反之，要會由具體函數的單調性得出某些不等關系，因此單調性是分析和解決某些數學問題的有力工具。

二、整體把握高中數學課程視角下函數單調性的教學實踐

當認識到高中數學函數單調性定義在教材呈現上的特點后，我們可以從整體把握高中數學課程的視角，對現行教學關于函數單調性定義教學的引入部分進行重新調整。引入情境的設計注重從定義的整體出發，注重直觀的作用，對定義中函數的抽象性、定義結構的抽象性加強分層設計，具體做法如下：

（1）增加“檢驗學生是否由低到高按身高排隊”的實例：老師要求體育課代表先把全體學生按照身高從低到高（從左到右）排一隊，當隊伍排好后，老師對課代表說，如果不測量身高，你能用什么簡單的方法讓老師確信隊伍一定按要求排好了（按大小個排隊的情境是學生身邊熟悉的問題）。

（2）課代表回答說：您隨意指定一個人，只要在他右邊的（無論是否相鄰）任何一個人都比他高，則隊伍就按要求排好了（將排隊問題轉化為兩個人身高的比較問題：學生由自身的生活經驗很容易判斷此說法的正確性;“比較大小”將定義中的連續變為離散，無限變為有限，而定義中變量的“任意性”定義的基本結構在實例中不變）。

（3）教師為了能夠將課代表的意圖表示得更清晰，把學生從左至右編了由小到大的號碼，若對于任意-個號碼為a的學生及他右邊的任個號碼為b的學生（a<b），都有a的身高小于b的身高，則可以肯定排隊是正確的（將實例逐步符號化、抽象化：在比較身高的情境中，初步感受合理方法的符號化過程，體會“任意”在檢驗排隊問題中的含義）。

（4）我們嘗試用符號來表示上面的檢驗方法：若用h（x）（x表示學生的號碼）表示學生的身高，則上面檢驗排隊的方法可以表示為：若對于任意一個學生a及a右邊任意一個學生b，都有h（a）<h（b），則所有學生是按照從左向右、從低到高排隊的（把上面實例中的刻畫進一步符號化、抽象化、向定義結構靠近：這樣一個與函數單調性定義結構基本一樣的實例，能幫助學生直觀具體地理解函數單調性定義的結構，也讓學生明白，很多抽象的數學定義其實離我們的生活并不遙遠）

（5）在此基礎上引入二次函數為載體時的函數單調性定義（熟悉的特殊函數;將上面離散的、有限的x，h（x）變為連續 無限的x，f（x）=x2）。

這種方法可以克服多年來單調性定義在此環節啟而不發的尷尬局面，由學生用自己的語言表述單調性的定義，使學生感受到單調性定義來得很自然，我們的生活中處處有數學。

結束語：

綜上所述，通過對初、高中“函數單調性”的內容進行對比，不難發現高中數學課程“函數單調性”內容更具有深度和廣度，這就需要教師在教學過程中，不斷探索高效的教學方法，以適應高中生的學習需求，讓高中生可以牢固地理解并掌握“函數單調性定義”內容，提高此內容的教學效率，從而達到預期的教學目標。

參考文獻：

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