初中運算推理教學初探

夏乾冬 陶家友

摘要：要加強代數推理的教學，首先要落實運算推理的教學。為此，教師要引導學生在運算的整個過程中充分關注推理的元素。具體而言，要明晰運算對象，選擇運算律和運算法則;依據運算律和運算法則，形成運算方法;調整推理路徑，優化運算方法。

關鍵詞：初中數學;運算推理;運算對象﹔運算方法

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）要求加強代數推理的教學，尤其是要加強初中代數中演繹推理的教學。究其原因，數與式的運算（變形）主要表現出程序化操作的特征（而沒有表達為“因為……所以……”的推理形式），而且是代數的核心內容。這就容易導致師生在熟練的操作中忘記運算本質上就是推理（從已知的數或式出發，依據運算法則和運算律，形成運算過程，獲得運算結果的演繹推理），并且忽視運算以外代數內容中的推理。由此，代數推理可分為運算推理和命題推理：前者更具有代數的特殊性，后者更接近推理的一般性。因此，要加強代數推理的教學，首先要落實運算推理的教學，讓運算思維可見。

運算是一種復雜的認知活動，一般包括明晰運算對象、形成運算方法、優化運算方法等環節。在整個過程中，教師要引導學生充分關注推理的元素，以落實運算推理的教學。

一、明晰運算對象，選擇運算律和運算法則

相比于小學階段，初中階段數學運算的一個顯著特征是運算對象的拓展，從自然數、正分數（包括正小數）拓展到有理數、實數，從數拓展到代數式（當然，運算也從加、減、乘、除拓展到乘方、開方）。在運算對象拓展的過程中，運算律保持不變，從而得到相應的運算法則，并且實現從數的特殊運算結果向式的一般運算規律的提升。所以在運算過程中，教師首先要引導學生明晰運算對象，從而選擇合適的運算律和運算法則作為算理依據，為通過推理形成運算方法做好準備。

例1 計算：（1）—3＋5；（2）（-1）100x5+（-4）÷2; 3

教學中，可以引導學生思考：這幾個式子的運算對象分別是什么？應該依據什么進行運算？從而發現：（1）的運算對象是—3和5，運算是加法，根據運算對象的特征，可以依據異號兩數相加的法則進行運算；（2）的運算對象有—1、100、5、—4、2，運算有乘方、乘法、除法以及加法，因此可以依據乘方的意義、有理數的乘法法則和除法法則以及加法法則進行運算（當然，因為是多步運算，一般規定的運算順序也是重要的運算依據，并且前一步的運算結果會成為下一步的運算對象）；（3）的運算對象是兩個分式，運算是減法，因此可以依據異分母分式相減的法則以及分式的基本性質進行運算。

二、依據運算律和運算法則，形成運算方法

要想得到運算結果，需要通過一定的運算方法（怎樣算），展開相應的運算過程。而運算方法不是憑空產生的，不是“想當然”的結果，需要基于一定的運算道理（為什么這樣算）產生，也就是依據運算律和運算法則推理形成。正如課標研制（修訂）組組長史寧中教授談到代數推理時指出的：“算律決定算理，算理決定算法，這個思想非常重要。”①所以在運算過程中，教師還要引導學生依據運算律和運算法則形成運算方法，即在明晰算理的基礎上掌握算法—這是落實運算推理教學的關鍵。

例2 計算：（1）（3＋22）2；

（2）（-2a2）3+a·a。

教學中，可以引導學生利用內容結構圖呈現思維過程，依據每一步的算理得到每一步的算法，展開運算推理，分別如圖1、下頁圖2所示。

此外，還可以引導學生在橫式書寫中添加每一步的依據（理由），第（1）小題的添加過程省略，第（2）小題的添加過程如下：

這樣做，可避免學生跳步計算，增加運算的準確性。比如，第（1）小題的計算中很容易出現由完全平方公式認識不清導致的（3＋22）2＝3＋8的錯誤，第（2）小題的計算中很容易出現由積的乘方法則認識不清導致的（—2a2）3＝—2a6的錯誤］。而且，可讓學生充分感受運算推理的嚴謹性，養成言之有據（有理）的習慣。

三、調整推理路徑，優化運算方法

基于運算對象，依據運算律和運算法則展開運算的方法通常不唯一，即具有一定的靈活性。運算方法的選擇不僅會影響運算的正確率，而且關系到數學知識結構和表征關系的理解。所以在運算過程中，特別是在依據運算法則按部就班地得到運算結果后，教師要引導學生尋找不同的運算依據（包括運算公式）及對象表征（比如幾何表征），從而調整推理路徑，優化運算方法。

例3 計算：

對于第（1）小題，學生通常會依據有理數、正分數加減運算法則和乘法運算法則，按運算順序完成各步運算，得到最終結果。教學中，教師可以引導學生依據乘法對加法的分配律優化運算方法：先做分數乘整數運算，再做整數加減法運算。

對于第（2）小題，學生通常會依據乘方、開方的意義和小數、整數乘法、減法的運算法則，按運算順序完成各步運算。但是，算出12.52—102＝56.25比較煩瑣，得到56.25＝7.52比較困難。教學中，教師可以引導學生再依據平方差公式和積的乘方法則優化運算方法：因為12.52—102＝（12.5＋10）x（12.5-10）=22.5x2.5=225x0.25=152x0.52 ＝（15x0.5）2＝（7.5）2，所以12.52—102＝7.5。此外，還可以引導學生通過幾何表征，依據勾股定理和圖形的放縮來優化運算方法：12.52—102表示斜邊長為12.5、一條直角邊長為10的直角三角形的另一條直角邊長（如圖3所示），該直角三角形邊長縮小2.5倍后是斜邊長為5、一條直角邊長為4的直角三角形，顯然其另一條直角邊長為3，于是縮小前直角三角形的另一條直角邊長為7.5，所以、12.52—102＝7.5。