聯(lián)通與融合：理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)策略

【摘 要】“理解性學(xué)習(xí)”是基于已有認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生自身已有的知識(shí)、方法或活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，完成對(duì)新信息意義本質(zhì)的內(nèi)化、聯(lián)系與建構(gòu)。“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的發(fā)現(xiàn)路徑眾多，設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)可以從“理解性學(xué)習(xí)”的視角，聯(lián)通等比數(shù)列前n項(xiàng)和的發(fā)現(xiàn)史，融合人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知，將數(shù)學(xué)知識(shí)理解上升到數(shù)學(xué)思想方法，最終能上升到學(xué)生的數(shù)學(xué)文化。

【關(guān)鍵詞】理解性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)文化；等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）59-0075-06

【作者簡(jiǎn)介】陸賢彬，江蘇省靖江市教師發(fā)展中心（江蘇泰州，214599）主任，高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”是蘇教版選擇性必修第一冊(cè)中的內(nèi)容，雖然《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中只有一段30余字的內(nèi)容要求——“探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系”，但它卻是各類優(yōu)課評(píng)比、專題研修課、課改觀摩課青睞的選題，研究者也圍繞它發(fā)表了許多論文。究其原因有二：其一，從認(rèn)知層面看，“等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)”屬于策略性知識(shí)，而“掌握策略與方法”是思維需求的最高層次，其推導(dǎo)過(guò)程需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的策略意識(shí)、發(fā)揮學(xué)生的探索智慧［1］；其二，從實(shí)踐過(guò)程看，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列求和公式的路徑眾多，面對(duì)不同學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)生，教師可以選擇“錯(cuò)位相減法”，搭建“Sn”與“Sn-1”的遞推關(guān)系式，構(gòu)造“Sn”的等量關(guān)系式，采用“歸納—猜想—數(shù)學(xué)歸納法證明”合情推理方式、“歸納—猜想—綜合法證明”演繹推理方法等。

本文嘗試以“理解性學(xué)習(xí)”的視角，以“等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)”為載體，闡釋“聯(lián)通與融合”的教學(xué)設(shè)計(jì)策略。

一、高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的意蘊(yùn)

1.理解性學(xué)習(xí)

“理解性學(xué)習(xí)”是針對(duì)“機(jī)械性學(xué)習(xí)”“強(qiáng)制性學(xué)習(xí)”等實(shí)際教學(xué)的普遍性弊病提出的，并且是“素養(yǎng)指向的有效教學(xué)”的重要標(biāo)志。最早明確提出“理解性學(xué)習(xí)”“理解性教學(xué)”的學(xué)者是美國(guó)哈佛大學(xué)教育學(xué)院的大衛(wèi)·珀金斯教授，他倡導(dǎo)學(xué)習(xí)者根據(jù)自身已有的知識(shí)基礎(chǔ)對(duì)新信息意義本質(zhì)進(jìn)行內(nèi)化、聯(lián)系與建構(gòu)，并歸納出理解性學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的“四要素”框架：生成性主題、理解性目標(biāo)、理解性實(shí)作、追蹤式評(píng)價(jià)。伴隨新課標(biāo)的實(shí)施，“理解性學(xué)習(xí)”漸漸成為指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的學(xué)習(xí)范式。

2.高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)

近年來(lái)，呂林海、郭曉娜等眾多專家對(duì)“理解性學(xué)習(xí)”進(jìn)行了深入研究，分別從文化的視角、學(xué)習(xí)科學(xué)、本體論意義及哲學(xué)解釋等維度做了系統(tǒng)詮釋［2］［3］，對(duì)“理解性學(xué)習(xí)”的“理解”內(nèi)涵基本形成共識(shí)：所謂“理解”是從學(xué)生能否解釋、釋譯、應(yīng)用、洞察、移情、自我認(rèn)知六個(gè)維度進(jìn)行考慮，強(qiáng)調(diào)“思維”是實(shí)現(xiàn)“理解”的關(guān)鍵，在設(shè)計(jì)課程時(shí)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生能力為導(dǎo)向，根據(jù)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展需求來(lái)設(shè)計(jì)課程。

所謂高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)，是指高中學(xué)生在理解基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。首先，高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)是以高中學(xué)生理解數(shù)學(xué)為目標(biāo)指向的；其次，這樣的學(xué)習(xí)須真實(shí)地促成高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，而這兩個(gè)方面的結(jié)合從目標(biāo)與效果兩個(gè)維度圈定了數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的基本要義。高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)并非一種具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，而更多的是一種體現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的理念取向，包括從數(shù)學(xué)知識(shí)理解上升到數(shù)學(xué)思想方法，最終上升到學(xué)生的數(shù)學(xué)文化。

二、發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的路徑分析

1.“錯(cuò)位相減法”直接推導(dǎo)與“已有認(rèn)知”不聯(lián)通

在高中數(shù)學(xué)教材中，人教A版、北師大版、蘇教版和滬教版教材均采用“錯(cuò)位相減法”進(jìn)行等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。“錯(cuò)位相減法”是教師對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的形象描述，教材中沒(méi)有明確命名，學(xué)生也難以精準(zhǔn)提煉，往往由教師在完成推導(dǎo)后直接告知。顧名思義，首先，對(duì)于目標(biāo)等式Sn=a1+a2+…+an，兩邊乘以q，得到一個(gè)關(guān)聯(lián)式qSn=a2+a3+…+an+an+1；其次，“錯(cuò)位相減”，將兩式中帶“…”的一段（n-1項(xiàng)的和）相減，轉(zhuǎn)化為“0+0+…+0”（n-1個(gè)0的和），先“化不定為確定”，進(jìn)而“化無(wú)限為有限”，整理可得（q-1）Sn=a1（qn-1）。“錯(cuò)位相減法”是一種最高思維層次的策略性方法，本質(zhì)上是應(yīng)用等比數(shù)列定義，即an與an-1之間的遞推關(guān)系，對(duì)等式進(jìn)行乘以“q”的恒等變形。其中蘊(yùn)含著“由一生二，相鄰式相減”“化歸與轉(zhuǎn)化”“化繁為簡(jiǎn)”等數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

在功利性教學(xué)的現(xiàn)實(shí)訴求下，大多的常態(tài)課往往采用教材提供的問(wèn)題情境及“錯(cuò)位相減法”，這樣的教學(xué)不僅可以“短平快”地獲得等比數(shù)列求和公式，而且能夠?qū)⑻骄康闹攸c(diǎn)放在體悟“乘以q，錯(cuò)位相減”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。有的課堂還增加探究“除以q，錯(cuò)位相減”；還有的課堂將等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1中的“常數(shù)a1”換成等差數(shù)列an，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，求Sn=a1+a2q+…+anqn-1。

因?yàn)轵v出了大量思考時(shí)間用于公式的解釋、記憶、練習(xí)與應(yīng)用，這種教學(xué)設(shè)計(jì)能夠增加課堂容量，但很難解釋學(xué)生的疑問(wèn)：“老師，你怎么想到乘以q的呢？” 事實(shí)上，“錯(cuò)位相減法”的直接告知，沒(méi)有達(dá)成“探索并掌握”的新課標(biāo)要求，也讓學(xué)生錯(cuò)失了探索發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。

從“理解性學(xué)習(xí)”的視角看，一方面，從“理解”的解釋、釋譯、應(yīng)用、洞察、移情、自我認(rèn)知六個(gè)維度進(jìn)行量度，經(jīng)歷“錯(cuò)位相減法”的推導(dǎo)和探究過(guò)程，學(xué)生能夠“解釋”方法，因?yàn)榻處熖釤挼姆椒Q“錯(cuò)位相減”就已表明了其中的程序性知識(shí)；也能“釋譯”“應(yīng)用”，探究并拓展求和的本質(zhì)，解釋其中的方法與思想；但達(dá)不到“洞察”，既沒(méi)有從學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，也沒(méi)有從學(xué)生的方法基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)出發(fā)，學(xué)生無(wú)法“洞察”其中的因果與邏輯；達(dá)不到“移情”，因?yàn)榻Y(jié)論不是由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，故無(wú)法檢視自身思維的成就或缺陷。

另一方面，按照高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的界定，這樣的學(xué)習(xí)僅達(dá)成了理解數(shù)學(xué)知識(shí)的目標(biāo)，而沒(méi)有實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解，即沒(méi)有將對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解上升到對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，進(jìn)而形成一種基于數(shù)學(xué)思維的文化理解。

2.聯(lián)通等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)史，體悟數(shù)學(xué)家式的理解

“數(shù)學(xué)文化”已然融入所有高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)知識(shí)理解上升到數(shù)學(xué)思想方法、最終上升到學(xué)生的數(shù)學(xué)文化是高中數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的核心價(jià)值。聯(lián)通數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展，將數(shù)學(xué)史融合于數(shù)學(xué)課程、內(nèi)化于教學(xué)內(nèi)容、根植于學(xué)生內(nèi)心，讓數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在課堂上一起生長(zhǎng)。按照探索發(fā)展所基于的認(rèn)知基礎(chǔ)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)史大概分為三個(gè)階段：搭建Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式，猜想Sn的表達(dá)式，構(gòu)造Sn的等量關(guān)系式。

第一階段，通過(guò)特殊等比數(shù)列和式的簡(jiǎn)易變形搭建Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式。大約公元前1650年，萊因德紙草書上載有等比數(shù)列7，72，73，74，75的求和問(wèn)題，寫成一般形式，即數(shù)列7，72，…，7n 的前n項(xiàng)和為Sn=（1+Sn-1）×7，但未能給出求和的一般公式。［4］

第二階段，通過(guò)對(duì)特殊等比數(shù)列的歸納猜想，啟示探究未知數(shù)學(xué)的邏輯。大約公元前300年，塞流斯時(shí)期的泥版AO 6484上有一個(gè)1，2，22，…，29的求和問(wèn)題，通過(guò)觀察與歸納寫成一般形式，即1+2+22+…+2n=2n+2n-1。［4］

第三階段，基于等比數(shù)列定義的恒等變換，構(gòu)造Sn的等量關(guān)系式。①定義+等比定理。約公元前325年—前265年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第９卷中根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用比例性質(zhì)推導(dǎo)出了求和公式q-1=[a1（qn-1）Sn]。②定義+錯(cuò)位相減。18世紀(jì)，歐拉（L. Euler，1707—1783）在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（1822）中采用了我們所熟知的“錯(cuò)位相減法”，構(gòu)造Sn的等量關(guān)系式。③定義+掐頭去尾。與歐拉同時(shí)期的法國(guó)數(shù)學(xué)家拉克洛瓦（S. F. Lacroix，1765—1843）在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（1812）中采用“掐頭去尾法”，他發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和減去首項(xiàng)，恰好是減去末項(xiàng)的q倍［5］：掐頭，Sn-a1=a2+a3+…+an；去尾，Sn-an=a1+a2+…+an-1。根據(jù)定義得[Sn-a1Sn-a1qn-1]=q，構(gòu)造出Sn的等量關(guān)系式。［5］

代數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了兩個(gè)主要階段——修辭代數(shù)和符號(hào)代數(shù)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)史恰恰與此契合。歷史告訴我們，在沒(méi)有用字母表示數(shù)、一切均用文字來(lái)表達(dá)的修辭代數(shù)時(shí)代，人們很難得到等比數(shù)列求和的一般公式，在研究一些特殊數(shù)列的過(guò)程中，尋找等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn和前n-1項(xiàng)和Sn-1之間的關(guān)系是更為合理的想法，而“錯(cuò)位相減法”“掐頭去尾法”是符號(hào)代數(shù)高度發(fā)展的產(chǎn)物。在18世紀(jì)，函數(shù)的概念已演變?yōu)椤白兞康膶?duì)應(yīng)關(guān)系”［6］，人們將數(shù)列作為特殊的函數(shù)，構(gòu)造“Sn”與“n”的等量關(guān)系也是一種合理的選擇。

3.聯(lián)通認(rèn)知基礎(chǔ)，融合知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，追求自然而然地理解

“理解性學(xué)習(xí)”是基于已有認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的知識(shí)、方法或活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，教師設(shè)計(jì)情境、提出問(wèn)題、明確任務(wù)、組織活動(dòng)、全程評(píng)價(jià)，學(xué)生完成對(duì)新信息意義本質(zhì)的內(nèi)化、聯(lián)系與建構(gòu)。課堂教學(xué)時(shí)，教師聯(lián)通學(xué)生已有基礎(chǔ)，融合知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，追求“自然流淌”的境界，既能凸顯所學(xué)知識(shí)的必要性，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

新課標(biāo)對(duì)數(shù)列內(nèi)容的安排，遵循先一般后特殊的順序，先認(rèn)知一般數(shù)列，再學(xué)習(xí)兩個(gè)重要的數(shù)列模型——等差數(shù)列和等比數(shù)列。所以，按照學(xué)生認(rèn)知數(shù)列的先后順序，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的知識(shí)與方法基礎(chǔ)分別是：數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系可以表示數(shù)列；給出有限項(xiàng)的一列數(shù)，可以猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；“逆序相加”推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式；等等。下面，筆者從學(xué)生認(rèn)知發(fā)生的視角出發(fā)，介紹幾種等比數(shù)列前n項(xiàng)和的發(fā)現(xiàn)路徑。

【發(fā)現(xiàn)1】聯(lián)通數(shù)列概念，嘗試中意外驚喜

從數(shù)列的前n項(xiàng)和概念入手。從問(wèn)題解決的對(duì)象看，探索的目標(biāo)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和，即Sn=a1+a1q+…+a1qn-1，由前面習(xí)得的一般數(shù)列知識(shí)可知，等比數(shù)列前n項(xiàng)和也是一個(gè)數(shù)列：S1，S2，…，Sn。所以，“求等比數(shù)列前n項(xiàng)和”可轉(zhuǎn)化為“求新數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)”，基于數(shù)列的遞推關(guān)系式，問(wèn)題可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為尋找Sn與Sn-1相鄰兩項(xiàng)的等量關(guān)系。對(duì)于Sn=a1+a1q+…+a1qn-1與Sn-1=a1+a1q+…+a1qn-2，要讓等式左邊的Sn與Sn-1產(chǎn)生聯(lián)系，通常對(duì)等式右邊的式子有兩種“化同”加工路徑。一是將右邊式子的項(xiàng)數(shù)“化同”，可得Sn-a1=qSn-a1qn；二是將右邊式子的最高次冪“化同”，可得Sn=a1+qSn-a1qn。

【發(fā)現(xiàn)2】聯(lián)通逆序相加，類比中“收之桑榆”

從類比等差數(shù)列求和入手。學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)——“‘逆序相加法’推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和”是方法基礎(chǔ)，“類比”是認(rèn)知等差數(shù)列和等比數(shù)列的邏輯推理基礎(chǔ)。在前面研究等比數(shù)列定義、等比數(shù)列通項(xiàng)、等比數(shù)列性質(zhì)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)習(xí)得了“類比”這種合情推理的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)“類比”能夠很輕松自然地探索出等比數(shù)列通項(xiàng)與性質(zhì)。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“理解”——自我認(rèn)知。等差數(shù)列與等比數(shù)列如何類比？“-”類比為“÷”；“+”類比為“×”；“乘”類比為“乘方”；“除”類比為“開(kāi)方”；“累加法，求通項(xiàng)”類比為“累乘法，求通項(xiàng)”。教師繼續(xù)引導(dǎo)“逆序相加法，求前n項(xiàng)和應(yīng)該類比什么呢？”引導(dǎo)學(xué)生自己克服思維定式，得出類比“逆序相乘法，求前n項(xiàng)積”的結(jié)論“求和”未成、收獲“求積”，加深了學(xué)生對(duì)類比推理的數(shù)學(xué)理解。

【發(fā)現(xiàn)3】聯(lián)通等比定義，探究中發(fā)現(xiàn)公式

從等比數(shù)列的定義入手。從學(xué)習(xí)科學(xué)的視角看，基于等比數(shù)列求和公式的學(xué)習(xí)目標(biāo)，研究的對(duì)象是“等比數(shù)列”，“等比數(shù)列是什么”是學(xué)生需要提取的核心信息。等比數(shù)列的定義是學(xué)生上一課習(xí)得的，既是研究等比數(shù)列求和的知識(shí)基礎(chǔ)，也是學(xué)生能快速提取和加工的最近信息。如果提取的等比數(shù)列定義是[an+1an] = q，正是上文歐幾里得“定義+等比定理”發(fā)現(xiàn)路徑，定義結(jié)構(gòu)是“商”的形式，恒等變化的技巧性強(qiáng)。一般學(xué)生很難想到將定義變形為“積”的形式，從an+1=qan出發(fā)，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的求和公式。

事實(shí)上，等式an+1=qan中的“n”具有一般性，“一”就是“無(wú)限”，賦值n能得到系列具體等式：a2=qa1，a3=qa2，…，an=qan-1。將n-1個(gè)等式的左右兩邊分別相加，根據(jù)Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1可得a2+a3+…+an=q（a1+a2+…+an-1）。最終得出Sn-a1=qSn-1，將“Sn-1”用“Sn-a1qn-1”替換，整理可得Sn-a1=qSn-a1qn。

三、發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)踐

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)路徑很多，但具體到課堂，適合學(xué)生理解性學(xué)習(xí)的路徑往往只有一兩種。2020年9月，筆者參與該選題的泰州市級(jí)名教師“同課異構(gòu)”教學(xué)評(píng)比活動(dòng)，借班泰州市的一所三星高中進(jìn)行授課，學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)比較薄弱，學(xué)情也不熟悉。所以，筆者采用的是“歸納—猜想—證明”的發(fā)現(xiàn)路徑，課前確定的學(xué)習(xí)目標(biāo)得到較好落實(shí)，具體教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)錄如下。

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)

目標(biāo)1：類比等差數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，明確本課的學(xué)習(xí)任務(wù)，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出需要解決的問(wèn)題，強(qiáng)化類比推理研究等差和等比數(shù)列的數(shù)學(xué)意識(shí)。

目標(biāo)2：從等差數(shù)列求和的數(shù)學(xué)情境中，回歸數(shù)列求和的本質(zhì)和方法，在探究等比數(shù)列求和的過(guò)程中，學(xué)會(huì)“特殊化”思想和“歸納、猜想、證明”的問(wèn)題解決策略，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

目標(biāo)3：經(jīng)歷“分析法”和“綜合法”證明的過(guò)程，理解等比數(shù)列求和采用的“錯(cuò)位相減法”，體會(huì)“求和”過(guò)程中化繁為簡(jiǎn)的策略，能夠記憶和運(yùn)用習(xí)得的公式，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)模型等素養(yǎng)。

2.學(xué)習(xí)活動(dòng)

【活動(dòng)1】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師：在前面的學(xué)習(xí)中我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)、性質(zhì)、前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)、性質(zhì)。你覺(jué)得我們今天會(huì)學(xué)什么？

生1：今天該學(xué)習(xí)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”。

師：這個(gè)同學(xué)說(shuō)得對(duì)，學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列要學(xué)會(huì)“類比推理”，可以讓我們的“數(shù)列”學(xué)習(xí)變得更簡(jiǎn)單、更有效。

【活動(dòng)2】表達(dá)問(wèn)題

師：數(shù)學(xué)問(wèn)題常寫成“已知”“求”的形式，“求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”如何數(shù)學(xué)地表達(dá)？

生2：已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，求Sn=a1+a2+…+an。

生3：可以具體些，已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，求Sn=a1+a1q+…+a1qn-1。

生4：可以簡(jiǎn)單些，因?yàn)樯?提出的式子中每一項(xiàng)都有a1，可以將a1提取Sn=a1（1+q+…+qn-1），求1+q+…+qn-1即可。

師：生4說(shuō)得很好，將生3提出的式子中的a1特殊化為“1”。

【活動(dòng)3】探索問(wèn)題

師：怎樣求Sn=1+q+…+qn-1？我們可以嘗試用等差數(shù)列求和的方法——“逆序相加”。

∵Sn=a1+a2+…+an-1+an

Sn=an+an-1+…+a2+a1

∴2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）

生5：對(duì)于上式，如果是等差數(shù)列，括號(hào)內(nèi)是常數(shù)，可以進(jìn)一步求和；但對(duì)于等比數(shù)列，括號(hào)內(nèi)不是常數(shù)列，也不是其他特殊數(shù)列，進(jìn)一步求和難以繼續(xù)。

師：求和的本質(zhì)是將復(fù)雜的部分簡(jiǎn)化，等差數(shù)列“逆序相加”得到的是一個(gè)常數(shù)列的和。有興趣的同學(xué)課后繼續(xù)思考：針對(duì)等比數(shù)列的求和，是不是不適用類比推理了？還是類比推理出錯(cuò)了？

生6：可以求前n項(xiàng)的積。

∵Tn=a1·a2…an-1·an

Tn=an·an-1…a2·a1

∴T[2n]=（a1·an）·（a2·an-1）…（an-1·a2）·（an·a1）

師：生6突破了思維定式，“逆序相加法，求等差數(shù)列的和”應(yīng)類比為“逆序相乘法，求等比數(shù)列的積”。現(xiàn)在我們回到等比數(shù)列的求和上來(lái)，怎么辦呢？

生7：我想“特殊化”，寫了幾個(gè)簡(jiǎn)單的等比數(shù)列先試試，但還沒(méi)有得到一般結(jié)果。

師：很好，現(xiàn)在我們a1已經(jīng)特殊化為“1”，還有哪些量可以特殊化？

生8：q退到1，Sn=1+1+1+…+1=n；q退到2，Sn=1+2+22+…+2n-1=？

生9：將n也特殊化，n取2、3、4、5……，可得1+2=3，1+2+4=7，1+2+4+8=15……結(jié)論：1+2+4+…+2n=2n-1。

師：請(qǐng)同學(xué)們猜想1+q+q2+…+qn-1= ？

（版面所限，猜想過(guò)程略）

結(jié)論：1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]

【活動(dòng)4】解決問(wèn)題

師：如何證明1+q+q2+…+qn-1= [qn-1q-1]？

生：首先，可采用分析法，簡(jiǎn)分母：只要證明“（q-1）（1+q+q2+…+qn-1）=qn-1”；簡(jiǎn)式子：只要證明：（q-1）Sn=qn-1；簡(jiǎn)括號(hào)：即證明：qSn-Sn=qn-1。還可以使用綜合法，即錯(cuò)位相減法（限于版面，略）。

以上是發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)位相減法”之前的課堂實(shí)錄，經(jīng)歷歸納、猜想和分析法探索，自然而然地走到“乘q”后錯(cuò)位相減。實(shí)踐中，4個(gè)活動(dòng)共花費(fèi)近30分鐘時(shí)間，教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)學(xué)生的思維參與度高，氣氛很活躍，每個(gè)人都能體會(huì)到了探索發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)。事實(shí)上，特殊化的數(shù)學(xué)思想、歸納猜想的數(shù)學(xué)推理，正是人們?cè)趯?duì)新信息意義建構(gòu)初期的自然選擇，這也驗(yàn)證“歷史發(fā)生原理”——學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展與人類的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷史具有相似性。

作為“理解性學(xué)習(xí)”的一次實(shí)踐，本課例的學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱，故選擇“猜想+錯(cuò)位相減法”與發(fā)現(xiàn)史相似的路徑，對(duì)于學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，則可以選擇更多的路徑進(jìn)行探索與發(fā)現(xiàn)。總之，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，聯(lián)通與融合數(shù)學(xué)文化，“為理解而教”“培養(yǎng)具有高水平數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生”應(yīng)成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)代追求。

【參考文獻(xiàn)】

［1］關(guān)雅南.“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”PCK分析研究［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（1-2）：69-71，89.

［2］呂林海，王愛(ài)芬.理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)的思想源起與內(nèi)涵論爭(zhēng)［J］.教育理論與實(shí)踐，2008（7）：53-59.

［3］郭曉娜.理解性學(xué)習(xí)的實(shí)踐策略： 基于哲學(xué)解釋學(xué)的視角［J］.全球教育展望，2016（2）：41-49，128.

［4］吳現(xiàn)榮，宋軍.HPM視角下的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（7）：28-31，34.

［5］李玲，汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（11）：46-49.

［6］陸賢彬. 聯(lián)通發(fā)展歷史，理解函數(shù)概念［J］.新世紀(jì)智能，2020（98）：12-14.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項(xiàng)課題“‘簡(jiǎn)中求道’數(shù)學(xué)教育思想的行動(dòng)研究”（D/2016/02/304）及江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點(diǎn)課題“促進(jìn)理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)踐研究”（B-b/2018/02/87）的研究成果。