重通法巧轉化，提高解題效率

陶炳宏

[摘? 要] 傳統教學多采用“題海戰術”，但高考題型變幻莫測，這種機械的訓練容易造成學生思路僵化，思維缺乏變通性，對同一類型問題習慣于從單一角度分析，從而無法找到最優解題思路，解題效率低下. 為提高解題效率，教師應引導學生分析問題時去抓住問題的核心和本質，利用科學的方法將問題進行有效轉化，從而化繁為簡、化難為易、化特殊為一般.

[關鍵詞] 解題效率;變通性;轉化

因高考試題的題型新、題量大，為了提高學生成績，部分教師認為需要讓學生多做題、做難題、做偏題，這樣在遇到新穎復雜的題目時不會產生畏難心理. 這種片面的認知，容易使學生因多做題而出現思維疲勞和思維定式，解題缺乏變通性，解題效率低下;因做難題和偏題使學生忽視了對基礎知識和基本技能的積累，反而在遇到綜合題目時顯得力不從心.

隨著教改的不斷深入，對如何發展學生的思維水平，如何提升學生的綜合能力提出了更高的要求，因此教學中不能只關注于“教”和“練”，也應關注學生數學思想和數學技能的培養，提升他們的分析問題、解決問題的能力，從而提高他們的解題效率. 那么如何提升解題效率呢？筆者淺談了自己的幾點認識，以期共鑒.

[?] 利用必要條件化繁為簡

必要條件因其可以簡潔迅速地解決問題，在數學解題中應用較廣泛，例如，其常出現在解決含參不等式恒成立、求參數取值范圍、用分析法證明不等式、探究存在類等相關問題中. 其實解題的過程可以看作是一個轉化的過程，通過已有認知找到等價條件進行等價轉化，但因有時問題較為復雜，使之在尋找等價關系時思維受阻. 對此，我們可嘗試利用必要條件解題，利用必要性對問題進行合理轉化，也許會收獲化難為易、化繁為簡的效果.

例1? 已知函數f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0），當x∈[0，1]時，都有≤f（x）≤3成立，試求m的取值范圍.

題目解析：由已知條件可知，二次函數f（x）的對稱軸與參數的m值有關，因此為動對稱軸. 雖然已知給了定區間上的函數值域，但因對稱軸的位置不確定，所以在求解本題時需要進行分類討論. 問題可以轉化為f（x）在區間[0，1]上的最大值小于等于3，最小值大于等于，又m>0，所以需要分成三類進行討論：第一類為0<<，第二類為≤<1，第三類為≥1. 因為本題沒有必要確定最大值的位置，所以可以將分類優化，即把第一類和第二類合并，此時只需要滿足f（0）≤3，且f（1）≤3，f≥;第二類為≥1.

解：當x=0時，由條件可知≤m≤2，所以二次函數f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0）的圖像對稱軸為x=∈，1?[0，1]. 由f（0）≤3，且f（1）≤3，f（）≥，可得2-≤m≤2.

評注：對于含參不等式恒成立問題，若需要求參數的取值范圍經常會用到分類討論，但有時也可以從必要性的角度出發，這樣可以達到縮小參數范圍的效果. 這樣合理地利用必要條件，引導學生抓住問題的本質，化繁為簡，提高了解題效率.

[?] 利用分類討論化難為易

分類討論是數學思想的重要成員，因其具有多樣性、邏輯性和綜合性，在歷屆高考題中從未缺席. 但在解決分類討論問題時，有些學生因對分類的標準和分類的原因缺乏清晰的認識，常出現分類重復或分類遺漏等情況，從而不能正確求解問題. 為提高分類討論的能力，學生必須注意夯實基礎，認清問題的本質，搞清楚分類討論的標準，遵循分類原則，做到科學合理分類，由此提高解題的準確性和高效性.

[?] 利用數形結合化抽象為直觀

數學問題常以抽象著稱，尤其復雜的代數問題更為抽象，若從數的角度出發無從下手，則可以嘗試轉變思路，結合圖形進行直觀觀察，從形的角度嘗試求解. 在處理復雜的數量關系時多從圖形的性質出發，這樣往往可以簡化問題，因此，在解題教學中教師要引導學生多角度觀察，多維度思考，重視數形結合思想的應用，有效地將復雜問題簡單化，將抽象問題直觀化，以達到提高解題效率的目的.

評注：若一個二元方程組含有3個未知量，用代數法求解會很難實現. 設b=x，c=y，將a看為參數，轉化為含有參數的二元方程組，方程組轉化后容易聯想到直線和圓，因為方程組有解，所以圓與直線的位置關系必然相切或相交. 這樣將“數”完美地轉化為“形”，問題不僅變得更加直觀，求解也變得更加容易.

數與形不是孤立存在的，彼此間存在著密切的聯系，可以進行相互的轉化. 數形結合思想在解決多元等式、向量、最值、不等式、立體幾何等方面的問題具有一定的優勢，利用形的直觀性變抽象的問題為具體的問題.

[?] 利用變式化特殊為一般

數學題目千變萬化，欲使學生順利地解決問題，必須引導學生關注問題的本質，通過必要的變式訓練使學生掌握解決問題的通法，這樣可以有效地解決變化莫測的數學問題.

例4? 已知tanα=，求sinα，cosα的值.

題目解析：

方法1：用同角三角函數求解. 根據同角三角函數關系式可得tanα==，sin2α+cos2α=1. 兩式聯立可以求解. 方法2：由于tanα=，因此可以確定α在第一象限或第三象限，接下來可以根據α的位置進行分類討論. 方法3：利用比例的性質，由tanα==，可得 =，利用此種方法解題更妙.

例5? 已知sinα=，α是第二象限角，求tanα.

解：因為α是第二象限角，sinα=，所以cosα=-=-，tanα=-.

變式1：已知sinα=，求tanα.

題目解析：本題未給出α在哪個象限，由sinα=>0可知，α是第一象限角或第二象限角，因此需要分類討論.

變式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.

題目解析：本題是在變式1基礎上的變式，若0<m<1，則與變式1解法相同;若m=1，則tanα不存在.

變式3：已知sinα=m（m≤1），求tanα.

題目解析：在求本題時需要對m進行更細致的分類. 若m=1，-1時，tanα不存在;若m=0，則tanα=0;若0<m<1時，α為第一象限角或第二象限角;-1<m<0，α為第三象限角或第四象限角.

評注：通過變式訓練不僅可以達到鞏固知識的目的，而且有助于學生根據變化總結出一般規律，從而化特殊為一般，找到解決問題的方法. 同時，通過變式也可以將其與有關的知識互相關聯，從而達到融會貫通的目的. 另外，通過有效的變式訓練可以暴露出學生的知識盲區，對完善學生的認知結構有著積極的意義.

總之，要提高解題效率，提升學習的熱情，教師應引導學生從多角度思考問題，讓學生積極地參與到教學實踐中，在實踐中積累解題方法和解題技巧，通過合作和探究來發展學生的思維能力，實現學生的全面發展.

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