指向“四個理解”的冪函數教學設計研究

彭蕭 李兆敏

[摘 ?要] “四個理解”是教改中“以不變應萬變”的法寶. 理解數學是開展教學的前提，落腳于對章節知識邏輯網和上下位知識的理解，確立教學目標;理解學生是促進學生全面發展的保障，關注學生知識儲備與思維障礙找到最近發展區，自然衍生出教學重難點;理解教學是開展教學活動，創設有意義的情境與活動，設立針對性的問題串，促進教師的“教”與學生的“學”的統一;理解技術是發展學生直觀想象素養的“點睛之筆”. 在冪函數教學設計中，四個理解相互聯系，共同作用有效落實立德樹人的根本任務.

[關鍵詞] 四個理解;冪函數;教學設計

章建躍先生指出：在課堂教學改革中有效落實“四個理解”，即理解數學、理解學生、理解教學、理解技術，決定了育德、育智所能達到的水平和效果. 面對教師在“理解數學”上不到位，“玩不轉”數學的教育問題[1]，章先生提出“四個理解”是教學改革中“以不變應萬變”的法寶[2]. 教師要把學生當做一個活生生的人，而要想讓數學教學教出數學味道，教學設計值得每一位教師深思. 為解決數學教學中的這些問題，基于“四個理解”并結合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）的教學指導，對《普通高中人教A版數學必修（第一冊）》第三章第三節冪函數教學設計進行研究，以期供一線教師參考借鑒.

理解數學，設定教學目標

理解數學是開展教學的前提，是確定教學目標的方向舵. 理解數學在冪函數教學設計中的落腳點是對章節結構邏輯知識網的把握和對內容上、下位知識的清晰認識，《課標》在其“基本理念”中強調“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法”，這表明，理解數學知識應建構起邏輯關系網，整體把握主線教學，將冪函數這一節的教學放在“函數”這一主線下去探究章節結構中知識的內在聯系，形成系統的知識結構，架構起整個函數章節的數學知識體系，以便建立研究函數的一般思路：定義—圖像與性質—應用，為后面研究指數函數、對數函數、三角函數提供研究系統參考，實現數學知識的自然延拓. 該結構所體現的邏輯性、思維性，以及融入的數學學科核心素養才是貫穿課堂始終的“數學靈魂”.

理解冪函數的上、下位知識，明確知識的來龍去脈[3]，就是要在教學設計中將冪函數內容與已知的知識發生實質性的聯系，實現對知識的同化. 學生在初中已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數，在高中已掌握函數性質和概念，理解函數在高中是通過“對應說”把握其變化規律，而從具體情境中抽象出的以前學過的函數模型及函數中不變的性質便是冪函數概念形成的上位知識;根據抽象出的函數模型需要進一步歸納概括以實現對冪函數概念的同化，并將函數性質引申到研究冪函數中冪指數α對其性質的影響，這是一個借助圖像去高度概括和抽象的過程，因此可稱為冪函數的下位知識.

基于此，教師可將從具體函數中抽象出函數概念、確定一般函數的研究思路，借助圖像探究五個冪函數和任意冪函數的性質，進一步滲透“數形結合思想、由特殊到一般的思想”作為教學目標.

理解學生，清晰教學重難點

理解學生是促進學生全面發展的保障. 以學生為主體的教學，是要把學生看作一個有思想有活力的個體，關注學生的知識儲備是否充足，不足之處怎樣搭建“知與不知”的橋梁;思維是否有障礙，如何尋找介于“已知區”和“未知區”之間的“最近發展區”. 在探索過程中，衍生出教學設計的重難點. 《課標》在“課程理念”中強調數學課程是為了實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”，如果沒有一定的數學知識儲備，那么應用數學知識處理問題也變成空談，教學設計要清楚學生的已有知識系統，通過新課學習豐富知識儲備，為“四能”的獲得和擴充終身學習的知識庫做準備. 進而確定教學重點是從五個具體冪函數歸納認識冪函數的概念和性質，在研究過程中做到對知識系統擴充，形成高中第一個初等函數研究的典范.

教育學家維果茨基提出“最近發展區”這一理念，內涵中將介于已知區和未知區之間的區域歸結為“最近發展區”[4]，人的認知水平常在這三個層次之間不斷轉化，螺旋式上升. 理解學生就要尋找學生的最近發展區，并搭建跨越知與不知的橋梁，在這里將這個橋梁的搭建過程理解為學生的思維障礙，突破這個障礙就是本節課要確定的教學難點. 根據數學認知過程的四個階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段和輸出階段，畫出冪函數認知發展水平的模式（如圖1），力求突破學生畫y=x3，y=x圖像的思維障礙，做到理解學生的最近發展區，衍生出冪函數的教學難點是畫出五個冪函數的圖像，并能借助圖像研究出一般冪函數y=xα中冪指數α對圖像及性質的影響.

理解教學，精設教學過程

理解教學是開展教學活動，師生共同提高的過程. 教學過程的精心設計，將思想、方法融入有趣且有意義的教學情境和教學活動中，實現教學方式的多樣化，有利于促進教師的“教”與學生的“學”的自然統一.

1. 情境創設引入教學，實現概念形成

數學知識的高度概括性，使得數學直接感知、理解和內化存在一定難度，往往“學的人不知數學如何去意會”，而“教的人不知數學如何去言傳”，這就需要創設情境去消除“意會”和“言傳”之間的障礙[5]. 由此，在教學中，為學生提供具有現實意義和思考價值的問題情境[6]，能充分調動學生學習的主動性，啟發學生思維，帶給學生心靈感染和內心情感的體驗，這也是提高數學教學實效的重要途徑. 在《課標》課程理念中也提出創設合適的教學情境能啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.

將問題情境創設思想應用于冪函數教學引入中，對于冪函數概念形成的教學在以往創設的教學情境上，進行創新，基于新型冠狀病毒肆虐全球，全世界人民攜手抗擊疫情的社會大情境下，找到情境創設突破口，創設能引起學生關注與思考的教學情境，使創設的教學情境更能引起學生的情感共鳴，找到教育的“觸點”，實現對教學的理解. 其新舊教學情境對照如表1：

表1 ?冪函數問題情境表

2. 問題串驅動教學，實現性質探究

在驅動教學進程中，“問題串”已成為教學的共識，但不同學者對“問題串”的使用理解不同. 龍艷文學者基于問題串設計的必要性、合理性、嚴謹性對概念教學的問題進行改進，深入教學中概念的理解[7]. 王先進學者將問題串看作思維訓練的良好載體，指引著思維的發展[8]. 學者們對問題串的研究主要從問題串的形式、問題串的作用進行教學設計，但問題串的設計離不開對教學的理解，在學者的理解之上，從學生冪函數的理解障礙出發，教師對冪函數教學問題串進行改進，設計引領思維發展的冪函數性質探究的問題串.

教學片段設計1

問題1：研究函數的性質，一般借助什么？

問題2：按照畫圖像的步驟，在畫α=1，2，-1，3，這五個冪函數的圖像時，哪些圖像的大致走向不太好畫出？思考畫不出來的原因.

問題3：依據函數y=x3的畫圖思路，請同學們研究函數y=x的圖像如何畫，并完善在同一平面直角坐標系中這五個冪函數的大致圖像.

設計說明：三個問題層層遞進，是讓學生思考在畫函數y=x3，y=x時，如何合理取點，突破畫圖障礙，這個過程讓學生經歷“思想障礙—思索原因—思有所獲—消除障礙”的過程，真正從理解學生的思維障礙出發，做到理解教學，因材施教，讓學生知道“哪里不會”到懂得“突破不會”再到“應用所會”，為突破教學重難點做鋪墊，這也體現了數學學習中“何由以知其所以然”的重要性.

教學片段設計2

問題4：所有圖像都過第幾象限？所有圖像都過哪個公共點？

問題5：第二象限中有的函數有圖像，有的沒有圖像，請同學們觀察，這五個冪函數中哪些函數在第二象限有圖像，解析式有什么特征？

問題6：同樣，有的函數在第三象限有圖像，這些函數有什么共同特征？

問題7：第一象限內函數圖像的單調性是怎樣的？你能作出函數y=x-2，y=x的大致圖像嗎？

設計說明：問題4、5、6的設置完成了對五個冪函數借助圖像研究性質的過程，為問題7展開對函數在第一象限的研究做鋪墊，通過問題串讓學生的關注點聚焦于α的奇偶性影響冪函數的奇偶性，α符號的正負影響冪函數的單調性，從對五個特殊的冪函數的圖像與性質研究推廣到對一般冪函數的圖像與性質研究，以此突破教學重難點，實現思維的跨越與知識的延伸.

問題串的設置解決了學生“要研究什么”“需要關注什么”到“總結推廣研究得到了什么”的研究過程. 至此本節課真正讓學生在困惑中尋找方向，在問題驅動中解決困惑，學會知識，由此得到的知識為研究指數函數、對數函數找到思路的固著點，是數學思維和素養的有力保障.

理解技術，升華教學內容

理解技術是指將信息化時代的元素融入教學中，體現信息技術在教學中起的“畫龍點睛”的作用. 高中數學學習較為抽象，信息技術可作為應用于數學教學的一種認知工具和數學學習的一部分，一個關鍵特征是應用數字、圖形和符號，為抽象的數學理論構建一個直觀、動態的模型[9]. 在理解數學的基礎上，教師借助數學軟件開展教學，能讓學生的數學抽象、直觀想象的素養得到有效發展. 通俗地講就是學生直觀感受到數學知識“不能動”時，借助軟件輔助思考，讓這些知識“活起來”. 當教學中遇到憑借教師講解依舊無法突破的知識時，我們應敏銳地把握住，并采用上述技術來講授，使其成為活躍思維、發展直觀想象素養的點睛之筆.

比如應用Geogebra（以下簡稱GGB）軟件輔助冪函數教學. 在探究α對冪函數在第一象限的單調性的影響時，此時可以借助GGB創建滾動條（如圖2）：當拖動滾動條時，學生能直觀感受到當α>0時冪函數在（0，+∞）上單調遞增，并且隨著拖動α數值越來越大時，冪函數在（1，+∞）上越來越靠近y軸，在（0，1）上越來越靠近x軸. 通過這樣一個動態的演示讓學生的思維動起來，既突破了教學難點，也發展了數學素養. 在學生動手畫冪函數的圖像時，對于畫函數y=x3的圖像，有的喜歡去取整數點，在取（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）后，學生對其在（0，1）上的大致圖像把握不準，這時在教師的引導下縮小取點間距，不妨再取點，. 在學生繼續思考作圖后，教師借助GGB準確畫出函數y=x3的圖像，于是形成完整的五個冪函數的圖像（如圖3）. 通過信息技術解決學生的困惑，再到對函數圖像的整體把握，這樣的信息技術應用能有效促進教學，提高教學效率.

結語

“四個理解”在冪函數教學設計環節中看似各司其職，卻彼此聯系、相互作用，共同承擔課堂教學的完整性、連續性、復雜性. 理解數學是開展教學的前提，教師只有理解知識邏輯網和上下位知識，才能實現冪函數的教學目標;理解學生是促進學生全面發展的保障，教師既要關注學生的知識儲備，也要關注學生的思維障礙，切身感受學生的發展需要，由此才能貼近學生，明確教學重難點;理解教學是師生在教學活動中共同提高的保證，有意義的活動與情境、有針對性的問題串都能促進教學有效開展，達到師生“教”與“學”的統一;理解技術是關注知識自然延拓與發展核心素養的“點睛之筆”. 做足“四個理解”的教學設計，對順利開展數學“育人”教學和培養“全面發展的人”有著不可替代的作用. 教學是動態過程，這就需要教師基于“四個理解”的教學設計，在實踐的反思、改進、創新上多下功夫，落實立德樹人的根本任務，實現數學所育之人能擔起民族復興的大任，成為全面發展的社會主義建設者和接班人.

參考文獻：

[1] ?章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續1）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（19）：6-11.

[2] 章建躍. 理解數學是教好數學的前提[J]. 數學通報，2015，54（01）：61-63.

[3] 章建躍.立德樹人與數學課程改革——暨“第九屆高中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”總結[J]. 中國數學教育，2019（08）：7-12.

[4] 趙國義. 教學設計必須考慮學生的“最近發展區”[J]. 數學通報，2015，54（05）：27-28+45.

[5] 張志勇. 高中數學可視化情境的設計原則及實施路徑[J]. 數學通報，2019，58（03）：15-19+24.

[6] 任旭，夏小剛. 問題情境的創設：基于思維發展的理解[J]. 數學教育學報，2017，26（04）：15-18.

[7] 龍艷文. 基于概念生成中三個層面追問的問題串設計[J]. 數學通報，2017，56（03）：11-13+17.

[8] 王先進. 談問題串的設計方法[J]. 數學通報，2012，51（07）：17-19+23.

[9] “中小學數學課程核心內容及其教學的研究”課題組，章建躍. 數學·信息技術·數學教學[J]. 課程·教材·教法，2012，32（12）：62-66+94.