從“任意角”的教學設計解讀數學教學情境的基本要求

陳小紅

[摘 ?要] 以“任意角”的教學設計為例談數學教學情境的基本要求，即數學教學情境要：真實可信，簡明易懂，目的明確，反映本質，系統連貫.

[關鍵詞] 任意角;數學情境;教學設計

數學教學情境越來越被廣大數學教師所重視，但在實際教學中往往會出現一系列的問題：如情境的可信度低，為了達到教學目的而人為編造一些假情境;情境紛繁復雜，難以讀懂;情境目的性和指向性不明，讓學生無法回答;情境過分地掩蓋數學對象的本質，不能凸顯數學對象的重要特征;情境系統性不夠，教學主線不明，層次性不明顯等. 筆者以“任意角”的教學設計為例談談對數學教學情境的一些基本要求的認識.

教學設計

1. 問題情境

現實世界中的許多運動、變化都有著循環往復的現象，如地球自轉和公轉帶來的晝夜交替和四季變化、月亮的盈虧圓缺以及潮汐漲落，又如車輪旋轉、單擺運動、電流變化等. 面對生活中存在著的眾多周而復始現象，可以用怎樣的數學模型刻畫這種變化規律呢？

師：這就是本章要學習的三角函數模型.研究三角函數也是使用研究函數的一般“套路”，會經歷怎樣的研究過程？

預設：（引導學生回答）研究函數一般經歷研究函數的三要素（尤其是定義域與對應法則）、函數的性質、函數的圖像、函數的應用等幾個重要的過程.

師：本章前2節內容分別為任意角、弧度制，任意角的出現使角的范圍不受限制，弧度制的出現讓角的表示實數化，這為研究三角函數的定義域提供了知識保障.

設計意圖：開門見山，讓學生了解本章的概貌，進一步明確學習三角函數的基本步驟，明確學習本章前兩節內容的目的.

問題1 初中我們學習過角的概念，初中階段是如何定義角的？初中階段學習了哪些角？

預設：平面內，從一個端點引出兩條射線組成的圖形稱為角.初中階段學習了直角、平角、周角、銳角及鈍角.

設計意圖：復習初中的角的概念，為后面引發認知沖突打下基礎.

問題2 （借助于動畫描述）旋轉也可以產生角，如何用運動的觀念來定義角？

預設：一個角可以看作平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形. 射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉的開始位置和終止位置分別稱為角的始邊和終邊（因為概念本身的需要，所以將原先的角的兩邊做了區分，即分為始邊與終邊）.

設計意圖：引入旋轉意義下的角的概念.

問題3的情境

將汽車的方向盤按逆時針或者順時針旋轉到底，稱為方向盤“打死”.駕校師傅常說：方向盤從正位向左（逆時針旋轉，下同）打一圈半可以把方向盤向左“打死”，從正位向右（順時針，下同）打一圈半可以把方向盤向右“打死”.

問題3.1 如圖2，方向盤從正位向左打半圈，方向盤的某個半徑OA逆時針旋轉了多少度？方向盤從正位向左打一圈半，方向盤某個半徑OA逆時針旋轉了多少度？兩次獨立操作之后，OA的位置一樣嗎？

設計意圖：提出這個問題有3個意圖. 意圖1，說明角的范圍需要從“量”上進行擴充.旋轉意義下的角的大小不能由角的始邊和終邊決定，要看旋轉量，即初中學習的角的概念不能解決這些問題，需要“改進”. 意圖2，第2小問的結果540°源于學生的直覺結果，即先逆時針旋360°，再逆時針旋轉180°，兩者“相加”所得. 此時并沒有定義超過360°的角，學生的直覺結果為角的加法的概念提供重要的感性素材. 意圖3，為軸線角的概念提供實例，也為終邊相同的角提供實例.

問題3.2 如圖3，方向盤從正位向左打一圈半，和從正位向右打一圈半，方向盤某個半徑OA旋轉的角一樣嗎？如果不一樣，如何區別它們？

設計意圖：提出這個問題有2個意圖. 意圖1，說明旋轉意義下的角的大小不能由角的始邊和終邊決定，不僅要看旋轉的量，還要看旋轉的方向.旋轉方向不同，角是有差別的. 因此，角的概念要區分旋轉方向的差異. 這也說明初中學習的角的概念需要進一步“改進”. 意圖2同問題3.1的意圖3.

2. 學生活動

（1）舉一些類似的例子說明角的推廣的必要性，如“時鐘的秒針2分鐘轉過多少角度？”“將螺絲釘旋松和旋緊，螺絲刀轉過多少角度？”等等.

設計意圖：通過舉例進一步感受角的推廣的必要性.

（2）討論如何通過建立角的“新”定義解決這些問題.

設計意圖：主要討論如何區分角的旋轉方向.

3. 數學建構

在以前的數學學習中，如何來表示具有相反意義的量？如“從某一點向南5米，記為5，則從這一點向北5米記為什么？”

設計意圖：利用實數的正負表示具有相反意義的量作為先行組織者，引導學生能產生正向遷移，得出正角、負角的概念.

（1）角的符號——正角、負角

按逆時針方向旋轉所成的角叫作正角，按順時針方向旋轉所成的角叫作負角.如果射線沒有作任何旋轉，也把它看成一個角，叫作零角.

問題4：（操作1）將汽車方向盤從正位先向左旋轉一圈半，再回一圈，如何表示某個半徑OA旋轉的兩個角？方向盤某個半徑OA經過兩次旋轉后得到怎樣的角？

設計意圖：結合前面的問題3.1的第2小問中540°的來源，感受角的加法實質上是兩次連續（即第二個角的始邊與第一個角的終邊重合）旋轉的“合效果”，并在此基礎上歸納出兩角的和的定義.

（2）兩角的和的定義

對于兩個任意角α，β，將α的終邊旋轉角β（當β為正角時，按逆時針方向旋轉;當β為負角時，按順時針方向旋轉;當β為零角時，不旋轉），這時終邊所對應的角稱為α與β的和，記為α+β. 很容易驗證，兩角的和的運算滿足交換律與結合律.

根據定義，操作1的兩次旋轉后，相應的角可以記為540°+（-360°）.

（3）兩角的差的定義

將射線繞其端點分別按逆時針方向、順時針方向旋轉相同的量所成的兩個角稱為相反角，并規定α的相反角為 -α. 明顯α+（-α）=（-α）+α=0°. 把滿足x+β=α的角x稱為α與β的差，記為α-β. 注意到[α+（-β）]+β=α，因此α-β=α+（-β）.

問題5：（操作1）將汽車方向盤從正位先向左打一圈半，再回一圈.

（操作2）將汽車方向盤從正位向左打半圈.

兩種操作后的汽車行駛轉向效果一樣嗎？

預設：操作1的兩次旋轉后汽車的轉向的“合效果”等同于操作2旋轉后汽車的轉向效果，為此我們認為等式540°+（-360°）=180°是合理的.

根據運算規則，也有540°+（-360°）=540°-360°=180°. 說明前面的角的加法和減法及其運算法則是合理的，因為它們保證了運算的結果與實際的結果的吻合性.

設計意圖：通過具體的操作，進一步確認兩角的和與差的定義是合理的.

（4）坐標系中的象限角與軸線角

操作題：（1）分別作出下列角：-60°，-135°，225°;（2）用量角器作出65°角.

問題6：從前面的操作題中，尤其是用量角器度量角，你能得到怎樣的啟示？

設計意圖：讓學生理解，一個角大小的給定，既不取決于終邊的位置，也不取決于始邊的位置，而是兩者相對的位置關系.用量角器度量角，需要將量角器中的“始邊”與待度量的角的始邊重合. 因此，讓各角的始邊重合，更方便研究（例如比較兩個銳角或鈍角的大小等）.

為了便于研究，常以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系. 這樣，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角. 角的終邊在坐標軸上，就叫這個角為軸線角.

4. 數學應用

例1 在平面直角坐標系內作出60°，420°，-300°角的終邊，思考它們之間有什么關系？你能得到更一般的結論嗎？（聯系前面方向盤向左打半圈與打一圈半的例子）

一般地，與角α的終邊相同的角的集合為{ββ=k·360°+α，k∈Z}.

設計意圖：引導學生通過歸納得出相應的結論.第一，明確每加（減）360°對應于將終邊按逆（順）時針再旋轉一周，因此k·360°+α（k∈Z）與α的終邊始終相同. 第二，只有將α的終邊按照逆時針或順時針方向再旋轉360°的整數倍后的角才可能與α的終邊重合，因此與α的終邊相同的角為k·360°+α（k∈Z）.

例2 在0°到360°的范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：（1）650°;（2）-150°;（3）-990°15′.

設計意圖：進一步鞏固終邊相同的角的關系，明確這樣做的目的更容易判斷角所在的象限，為后面研究終邊相同的三角函數（即第一組誘導公式）提供必要的知識儲備.

例3 已知角α與240°的終邊相同，判斷是第幾象限角.

設計意圖：進一步鞏固終邊相同的角的關系，能利用分類討論思想判斷角所在的象限.

5. 課堂小結

（1）知識結構.

（2）思想方法

轉化與化歸思想，分類討論思想.

對數學教學情境的基本要求的思考

在高中數學教學中，為了激發學生有意義的學習，教學情境中的問題更應該符合這幾個基本要求：真實可信，簡明易懂，目的明確，反映本質，系統連貫.

真實可信，即構成問題情境的各個要素的來源要科學而真實，這也是數學教師科學嚴謹治學的體現. 真實可信是數學教學情境的基本屬性. 筆者認為不應為了達到某種教學目的而人為地編造虛無的情境.真實的情境來源有哪些？筆者簡單地舉幾種來源，但不拘泥于這幾種來源：第一，從具體的生活實物中選取，例如本案例中“車的方向盤”就是生活實物，這樣的情境比較契合任意角的相關概念;第二，從數學或其他學科（例如向量與物理等）的真實的感性材料中選取，從中概括、歸納某些數學概念、規律或公式等;第三，從能讓學生產生認知沖突的材料中選取，例如將學生對同一問題的不同解答得到的不同結果作為問題情境，等等.

簡明易懂，即一方面問題情境要簡明，沒有干擾條件，信息要精煉不能冗長;另一方面，問題情境要易懂，表述上要準確而不含糊，無矛盾且有條理，語言具有啟發性. 從知識的聯系和發展中提出問題，提出的問題貼合教學且自然.例如，本案例中，學生對“汽車的方向盤”比較了解，理解沒有困難，而且相關問題的表述比較清楚，沒有干擾條件.

目的明確，即問題情境要緊緊圍繞當前的教學任務，使得學生的注意力集中在教學任務上. 例如，本案例中問題情境的目的很明確，讓學生從“汽車方向盤從正位向左打一圈半”“角的終邊相同但旋轉量不同”中感受到初中學習的角的“不夠用”，因此角在“量”上的擴充成為自然的需求;再如，“汽車方向盤從正位向左打一圈半，與向右打一圈半”會產生截然不同的結果，讓學生感受到旋轉的方向也是初中學習的角所無法解釋的，因此角的符號的引入也成為自然的需求.

反映本質，即“問題要問在點子上”，情境中的問題直接能反映所學新知識的本質，引導學生思維指向教學任務，而不能干擾學生思路. 例如，本案例中，“方向盤向左打一圈半”是逆時針旋轉了多少度，學生回答是540°，這種直覺實際是兩角的“和”的一種心理意向，即兩角和的本質就是“連續旋轉”的一種刻畫，在這里可提出“540°是360°與180°的和”的初步結論;待后面有了正角和負角概念后，再次提出問題“將汽車方向盤從正位先向左打一圈半，再回一圈，方向盤某個半徑OA經過兩次旋轉后得到怎樣的角”，即可明確一個角再加一個負角對應于怎樣的“連續旋轉”，為進一步完善兩角和的概念做鋪墊.

系統連貫，即問題應按照數學知識的發生發展過程，以相應的數學思想方法為主線，組成一個循序漸進、具有內在聯系的問題體系，這些問題都要為持續不斷地揭示新知識的本質服務，為學生循序漸進地掌握新知識引路. 本案例中按問題呈現順序，對應的基本目的依次是：介紹本章的概貌與研究方法—介紹前2小節的內容與目標—回顧舊知（初中所學的角的概念）—形成新知（旋轉意義下角的定義）—形成認知沖突（舊知無法解決的新問題）—完善新知（利用角的符號刻畫旋轉方向，利用角的運算擴充角的范圍）. 其中形成認知沖突與完善新知是關鍵的兩步，利于學生深刻理解角的擴充的必要性與合理性.問題情境的系統連貫性也為學生用圖表來厘清各知識點的邏輯聯系，進一步形成知識網絡結構帶來了極大的方便.例如，本案例的總結用“學生先總結，教師再梳理”的方式，以圖表的形式呈現.對圖表做如下解讀：角的擴充的源頭有兩個，一個是現實的需要，另一個是數學的本質;有幾個問題用初中的角的概念不能解決，如角的旋轉方向、角的旋轉量等，由此引發的認知沖突都是產生新的角的概念的動力;如何解決這些問題——用符號區分角的旋轉方向，用角的和與差來突破角的范圍的桎梏;符號的引入進一步擴充了參與運算的角的范圍;在坐標系中將角的始邊置于同一位置，更方便研究角;研究終邊重合的角的終極目的是研究三角函數的周期性等.