淺析整體思想在數學教學中的應用

許含潔

[摘? 要] 整體思想表現在思考問題時，打破思維的局限性，將視線放到問題的整體結構中，從宏觀層面全面地觀察問題的本質，將一些獨立卻又相關的量視為一個整體進行處理. 文章探討了整體思想在求圖形面積、方程、整體操作以及應用題中的應用.

[關鍵詞] 整體思想;數學教學;方程;應用題

數學整體思想是以數學事物的整體性質為著手點，強調對其結構進行整體性的改造與分析，從“集成”的角度將一些圖形或式子等打包為一個整體，進行整體處理的數學思想[1]. 這種思想方法在數學教學中應用得較多，如解方程（組）、代數式的求值或化簡、幾何證明等均有涉及. 一般以整體運算、設元、代入、補型等方式進行操作. 筆者從自身的執教經驗出發，從以下幾方面談談整體思想的實際應用情況，與讀者共勉.

在求圖形面積中的應用

縱觀近些年的中考數學題，關于求圖形面積的問題屢見不鮮且靈活多變，此類試題雖新穎有活力，但也給部分學生帶來了困擾. 一些基礎不夠扎實，數學思想方法欠缺的學生看到此類問題打心底就感到恐懼. 筆者研究了不少關于求圖形面積的問題，發現此類問題若從整體思想的角度去分析，常能起到事半功倍的效果.

例1 如圖1，函數y=-x的圖像與y= -的圖像有兩個交點，分別是點A，B. 若過這兩點分別作y軸的兩根垂線，點C，D為垂足，此時四邊形ACBD的面積是（? ）

A. 2? B. 4? C. 6? D. 8

本題以反比例函數的幾何意義為思維的切入點，連接A，C，B，D四點，易知S=S=2. 利用反比例函數的中心對稱性可得CO=DO，AO=BO，由此可判定待求的四邊形ACBD是一個平行四邊形，面積為4S=8. 因此，可確定本題選D.

本題從反比例函數的幾何意義、對稱變換的角度進行思考與分析，把圖像中呈現的一些零碎且毫無規則可言的圖形轉化成學生所熟悉的規則圖形. 學生面對轉化后的平面圖形，解題思路變得清晰.

整體思想在求圖形面積時最大的功能是將神態各異的不規則圖形，轉化為我們所熟悉的特殊圖形來進行解決. 這種方法不僅能啟發學生的數學思維，還能有效地培養學生的創新意識，讓學生在探索與思考中實現解題的創新，提升數學能力.

在方程組中的應用

整體思想主要體現在摒棄局部思維，從大局著手進行整體觀察與分析，以探尋新的解決問題的途徑. 代數問題的解決中，我們常發現將它們進行合并能消元或湊成整數，一般稱這種操作為整體合并，最常用的整體合并方式有錯位合并、配方合并、首尾合并等.

二元一次方程組是初中數學教學的重點與難點，教師可引導學生從二元消為一元的角度去分析問題. 這就涉及加減消元與代入消元的問題，不論是哪種消元都需要將一部分內容視為整體進行使用.

例2 已知x，y滿足方程組2x+y=1009，x+2y=-1006，求x2-y2的值.

本題若按照正常解題思路分析，需分別計算出x與y的值，再計算x2-y2，此過程異常煩瑣，增加計算量的同時也會導致錯誤的發生. 若換一種思維角度，運用倒推法從結論著手，x2-y2可寫成（x+y）（x-y），只要能分別計算出（x+y）與（x-y）的值，此題的答案便呼之欲出.

將方程組中的兩個式子相減，即2x+y-（x+2y）=1009-（-1006），計算可得x-y=2015;將方程組中的兩個式子相加，即2x+y+x+2y=1009-1006，計算可得3x+3y=3，x+y=1. 所以x2-y2=（x+y）（x-y）=1×2015=2015.

通過兩個式子整體的加減，我們很快地解決了問題，這種解題思路既簡潔又方便. 解方程組時遇到數字大的情況，計算會異常繁雜，這是一個棘手的問題，學生一不小心就會出現失誤. 此時，將未知數的系數作為觀察的點，若兩個方程中未知數的系數具有一定的關聯性，則可進行整體加減，將數值化小，獲得簡易方程，由此達到事半功倍的解題效果.

在整體操作中的應用

數學教學離不開實踐活動的開展，而一節課的時間是有限的，用怎樣的方式方法來提高活動效率是我們關注的問題[2]. 整體操作一般是指從宏觀的視角來觀察、分析與改造問題，將一些操作對象視為整體，在處理時以這個整體為單位進行處置.

遇到操作性的實踐活動，教師首先要引導學生用集成的眼光來看待操作對象，操作時有意識地將一些具有相同屬性的個體歸在一個整體下. 在此過程中，學生需經歷觀察、猜想、思考、討論、歸納、推理與反思等流程，結合自身原有的認知經驗提出解決問題的辦法.

例3 有7只杯口向上的茶杯擺在講臺上，現在請你們按照規則將它們的杯口全部倒扣在講臺上，規則是一次需翻轉四只茶杯. 在這種情況下，能不能將所有的茶杯都倒扣在講臺上？若可以，需經過幾輪翻轉？證明你的結論.

學生看到本題的第一感覺就是要拿幾個茶杯來試試，因為這是一個很容易操作的活動. 但是，在嘗試過程中，學生發現翻轉幾次后就亂了順序，感覺毫無頭緒. 其實本題的答案是無法做到所有茶杯都倒扣在講臺上的，我們可以用賦值的方法來操作.

將正放的茶杯標記為“+1”，將倒扣的茶杯標記為“-1”，此時該活動就轉變為七個“+1”輪流翻轉成“-1”的活動. 每翻轉一次，就有四個符號發生變化，最終想要得到的結果是所有的數都要變成“-1”，此時7個數的乘積也變為“-1”（將7個數的乘積看為一個整體）.

想要讓數字的符號發生變化，就是將這個數與“-1”相乘，每次翻轉就有四個數與“-1”相乘，也就是乘以（-1）4=1，所以它們的乘積在翻動后是保持不變的. 初始階段這七個數都是“+1”，經過n輪翻轉后，它們的乘積依然保持為“+1”，所以永遠不可能將這七個“+1”同時翻轉成“-1”.

本題若依次嘗試，很難獲得問題的結論. 而賦值法的應用，通過奇數和偶數規律的判別，問題的本質就水落石出了. 若杯子的總數為偶數，每次翻動一次的數量為奇數，也能用整體思想解題. 因此，整體思想的應用需多加琢磨，在應用中勤思考，達到觸類旁通的目的.

在應用題中的應用

學困生有一個共同特點，看到題干較長的題目就畏縮不前，覺得自己肯定做不出來[3]. 而應用題一般都有比較長的文字描述，為了鼓勵學生大膽向前，同時啟發學生的數學思維，在解一些應用題時可利用整體思想化繁為簡，直擊問題的本質，起到出奇制勝的教學效果.

例4 李明、陳紅和吳剛三個人是同班同學，李明和陳紅分別從自家出發朝對方家步行，他們兩家的距離為30km，李明的速度是2km/h，陳紅的速度是1km/h. 吳剛則以5km/h的騎行速度往返于李明和陳紅之間，若三人同時出發，至兩人相遇，吳剛騎行的路程是多少千米？

本題待求的量是吳剛騎行的路程，首先要知道吳剛與其他兩人中的一人相遇騎行的路程，再將各段路程加在一起就是待求距離. 此過程次數繁多，計算復雜，難免會出現紕漏. 從整體思想的角度去思考，只要從“路程=速度×時間”的公式著手即可.

吳剛的騎行速度是5km/h，他所騎行的時間就是李明與陳紅相向而行至相遇所花費的時間. 列式為：30÷（2+1）=10h，5×10=50km. 從這個角度來思考，問題變得異常清晰，解題不再有什么障礙，因數據比較小且容易計算，更加不會因計算失誤而導致錯誤的發生.

應用題主要是為了訓練與考查學生的思維能力，整體思想在本題的應用，即實現了對問題的再創造，又有效地激發了學生的數學思維. 因此，整體思想的運用是解決應用題的法寶之一.

總之，整體思想在初中數學教學中的應用較多，這種數學思想對培養與發展學生的思維能力與思維品質具有深遠的影響. 作為教師，應在教學的各個環節與各個章節有意識地滲透整體思想，潛移默化地引導學生，讓學生在潤物細無聲中形成良好的數學思維，提高解題能力，為核心素養的形成奠定基礎.

參考文獻：

[1] 錢瑕玲. 中學數學思想方法[M]. 北京：北京師范大學出版社，2001.

[2] 林崇德. 學習與發展[M]. 北京：北京師范大學出版社，1999.

[3] 約翰·D. 布蘭思福特.人是如何學習的[M]. 程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯. 上海：華東師范大學出版社，2013.