由淺入深，見微知著，以點帶面

陳沛余

[摘? 要] 在發展學生核心素養的大背景下，研究者對高三一輪復習課做了一些新的嘗試，充分了解學生的情況，編擬微專題，以“導數的幾何意義——切線方程”為例，明確目標，由淺入深，以點帶面，見微知著，提高復習效率，提升核心素養.

[關鍵詞] 高三一輪復習;核心素養;提高效率

高三一輪復習是整個高三復習的基礎和關鍵.高三數學一輪復習多以某本教輔為藍本，按部就班地對知識、技能、方法等逐點梳理，以喚醒學生的記憶. 隨著時間的推移，學生會對這種教學方式產生疲勞甚至厭倦，以至于一輪復習結束后學生無法牢固掌握知識，解題能力沒有提高，思維停滯不前，數學核心素養的提升更是淪為空談.那么一輪復習如何才能提高效率、提升核心素養呢？筆者嘗試在一輪復習中穿插微專題復習，明確目標，對某一重點、難點或疑點進行突破.例如，在復習導數時，將“導數的幾何意義——切線方程”這一學生經常出錯的問題作為重點突破. 下文是筆者講授這節課的教學實錄以及教學思考.

[?] 教學過程回顧

1. 創設情境，回顧導數的幾何意義

教師：同學們，我們前段時間學習了導數，那么導數有什么意義呢？我們先看視頻（視頻截圖如圖1所示）.

這是殲-15在遼寧艦上的起飛現場.這個視頻中最激動人心的時刻是什么？是不是戰斗機起飛脫離甲板的這一瞬間？飛機在甲板上滑行一定距離后必須達到一定角度才能起飛，角度怎么求呢？從側面看，這是甲板的圖像，如圖2所示，建立平面直角坐標系，能得到函數解析式. 如果函數解析式是y=（ex-1），飛機在x=10處起飛，那么飛機飛離甲板的瞬間方向如何？也就是該點處的切線斜率該怎么求呢？

學生異口同聲：求導！

教師：對，我們已經學習過導數了，知道可以用導數求這一點處的切線斜率.也就是說，函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義就是曲線y=f（x）在點P（x，f（x））處的切線斜率k，那么這節課我們就來著重講一下如何運用導數的幾何意義解決切線問題.

點評：著名心理學家皮亞杰認為，一切有效的工作必須是以某種動機為先決條件的. 動機分為內部動機（興趣、需要）和外部動機（追求激勵、逃離懲罰）.? 事實上，內部動機比外部動機更利于思維的開發，也就是說資源要足夠引起學生的興趣.視頻中殲-15在遼寧艦上起飛非常地振奮人心，吸引學生的注意力，調動課堂氣氛，一系列的問題引導學生構建導數模型解決飛機離開甲板的瞬時方向問題. 數學學習從枯燥乏味的被動接受轉換為了縱橫捭闔的思維游戲，學生發現導數在生活中具有實際意義，課堂的有效性也就自然地流淌出來了.

2. 嘗試——解決在某點處的切線問題

題1：曲線y=ex的一條切線的斜率為1，則切點的橫坐標為_________.

題2：曲線y=mx+lnx在點（1，m）處的切線斜率為0，則m=_____.

題3：曲線f（x）=x3+x+1在點（1，3）處的切線方程為______.

由教師板書解題過程.

教師：這3個問題比較簡單，第一題已知曲線和切線斜率，求切點的橫坐標，第二題已知切點和切線斜率求曲線，第三題已知曲線和切點求切線方程，所以切線問題實為切線、切點、曲線三者“知二求一”的問題（如圖3所示），其中什么最重要？（學生答：切點）對，因為我們要用導數去解決切線問題，就肯定要知道某點處的切線斜率，也就是切點的導數. 所以切點是最重要的.

下面我們總結：函數在某點處，也就是函數f（x）在點P（x，y）處的切線方程是y-y=f′（x）·（x-x）.

點評：設計3道簡單的在某點處的切線問題，旨在低起點、慢啟動，在教師的指導下，學生通過理解、研究導數的幾何意義，總結出解決函數切線問題的一般規律，提升數學邏輯推理素養.

3. 提升——求解過某點的切線方程

題4：求過點P（0，-1），且與曲線y=xlnx相切的直線方程.

教師：這個點在曲線上嗎？

學生：不在，需要設切點.

教師（邊講解邊板書）：對，切點知道了，斜率就知道了. 因為斜率是該點處的導數值，求導得f′（x）=lnx+1，設切點為（x，y），那么斜率k=lnx+1，由點斜式寫出切線方程為y-xlnx=（lnx+1）（x-x），將（0，-1）代入切線方程得x=1，所以切線方程為x-y-1=0.

題5：求過點P（2，8），且與曲線y=x3相切的直線方程.

請學生練習，教師展示生1的解法：因為y′=3x2，k=12，所以l：y-8=12（x-2）.

教師：只有這一個答案嗎？現在思考一個問題：點P（2，8）在曲線y=x3上，切線過這個點，這個點就一定是切點嗎？（有學生回答“不是”，也有學生沉默表示疑惑）

通過幾何畫板把圖像畫出來，如圖4所示，發現在這一點處的切線確實是存在的.

請生1上講臺，在一體機上直接拖動切線，探索是否存在過點P、但點P不是切點的切線. 如圖5所示，生1通過親身體驗，發現這樣的切線也是存在的，因此不能單純地把點P當成切點.

生2：所以這題要分兩種情況，一種為點P是切點，一種為點P不是切點.

教師展示生2的解答過程：點P不是切點，設切點為（x，y），則k=3x=（x≠2），即3x-6x=x-8，即x-3x+4=0. 三次方程因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2（舍），進而得到切線方程.

教師：我的做法是，同樣設切點為（x，y），則切線方程為y-x=3x（x-x），將（2，8）代入切線方程，得三次方程x-3x+4=0，和生2一樣因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2，因此切線方程有兩個. 這樣做避免了討論.

教師引導學生一起總結：過某點的切線問題分為“點在曲線上”與“點不在曲線上”，“點在曲線上”又細分為“該點是切點”和“該點不是切點”. 做題策略為：不論什么情況，先設出切點，因為切點處的導數是切線的斜率，所以只要用導數去解決切線問題，一定會用到切點，如圖6所示. 時刻牢記，切點很重要.

點評：蘇霍姆林斯基說過，如果學生想牢固地掌握數學知識，必須用內心創造和體驗的方法學習數學. 培養數學運算能力的關鍵在于“做中學”“做中悟”，即親身體驗. 過某點的切線問題設計了兩個層次，一是“點不在曲線上”，可以直接設切點求解切線方程;二是“點在曲線上”，通過學生板演暴露思維誤區，再利用幾何畫板請學生親自動手操作，發現錯誤并糾正錯誤，提升其直觀想象、邏輯推理素養，進而主動尋求真知、理清概念、正本清源.

4. 拓展——探究切線的存在性問題

探究：函數f（x）=xlnx是否存在過點

，0的切線？

學生靜靜思考，一時未有思路.

教師：大家對這個函數不是特別熟悉，我們先來觀察圖像（如圖7所示），你們有哪些發現？

生3：這個函數圖像是先遞減再遞增的，而且遞增的這部分有一種向下凹的感覺，所以切線肯定在函數圖像的下方，不可能經過

，0.

教師：很有道理，大家都是這么想的嗎？

（學生交頭接耳，小聲議論）

生4：我也不確定，幾何畫板給出的只有這一小段圖像，無窮遠處無法判斷.

教師：這位同學的疑問也有道理，無窮遠處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠處的圖像是向上凸的呢？因此我們的想象不能代替結論.就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？

學生：設切點！

教師與學生一起板書解答過程：設切點為（x，y），寫出切線方程，將

，0代入切線方程，判斷x是否存在.（詳細解答過程略）

課后思考題：函數f（x）=xlnx是否存在過點（a，0）（0<a<1）的切線？

點評：本題對數學推理、數學抽象以及數學運算能力提出了較高要求. 高中數學課程標準指出：“高中數學課程應為學生提供選擇和發展的空間，為學生提供多層次、多種類的選擇，以促進學生的個性發展和對未來的人生規劃的思考.”[1]布魯納說過，“探索是數學的生命線”. 嚴謹性是學習數學最基本的要求，是思維品質的基礎，在一定程度上影響著解題能力. 學生在主動探究、相互質疑中發現想象并不能代替結論，掌握知識的同時還學習了數學方法，獲得了情感體驗. 通過對切線存在性問題的拓展探究，教師留下的是課堂探究時間，開發的是學生的思維和素養.

5. 歸納總結，形成解題思維

回放圖6，教師及時帶領學生站在整體的高度進行梳理與歸納，幫助學生跳出問題，進而駕馭問題，促進學生“大徹大悟”：本節課主要學習的是，利用導數的幾何意義解決切線問題的三個題型，發現切線問題本質上是曲線、切線、切點三者的關系問題，在某點處切線的斜率即為該點處的導數，因此利用導數解決切線問題的關鍵是切點.

[?] 教學反思

1. 微專題復習，由淺入深，滲透核心素養

根據高考的重點，以及高一、高二學段學生掌握知識的情況，筆者編擬了“導數的幾何意義——切線方程”這一微專題，主題鮮明. 例題選取緊緊圍繞考綱，設置了“在某點處的切線問題”“過某點的切線問題”“切線的存在性問題”三個層次的題型，由淺入深，促進不同層次的學生積極思考，使所有學生都有收獲.堅決摒棄教師照本宣科、一講到底的模式，讓學生成為課堂的主角，從課堂引入、例題分析、幾何畫板動手實踐、合作探究等各個環節，有目的地培養其思維的嚴謹性和靈活性，滲透數學建模、數學抽象、數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.

2. 元認知提問，見微知著，激發學習動機

動機常常是“認知不協調問題”，即一個人經歷的事物與他的觀念相沖突，而“認知不協調問題”常產生于問題驅動[2]. 本節課中，筆者在學生的最近發展區開展思維風暴，通過“飛機飛離甲板的瞬間方向如何？該點處的切線斜率如何求？”“切線問題中切點、切線、曲線什么最重要？”“該點在曲線上嗎？這個點一定是切點嗎？”“如果不是切點怎么解決這個問題？”“無窮遠處的情況我們可以想象嗎？我們的想象一定對嗎？也許無窮遠處的圖像是向上凸的呢？就算我們的想象是正確的，那么又如何證明呢？”等一系列元認知提問，引發學生的認知沖突，激發學習動機，使學生通過獨立思考以及合作探究解決“思維障礙”，提煉出“利用導數解決切線問題的關鍵點是切點”這一結論，從而完善學生的認知結構. 同時，學生認識到筆者是真誠地對他們的想法感興趣，學習數學的幸福感自然增加了，有利于學習動機的激發與持續.

3. 思規律重歸納，以點帶面，提高復習效率

本節課以“在某點處的切線問題”和“過某點的切線問題”為突破口，進行一題多變、一題多解、一法多題的訓練，并適時進行知識類比、歸納推廣，將切線問題的思維圖多次呈現給學生，促使學生在異中求同、同中求異，帶領學生對“切線的存在性問題”進行深入探究.以點帶面，讓學生從會解一道題，到理解一類題，再到掌握一系列題，挖掘知識本質，深化數學理解，掌握知識的規律性，擺脫“題海”，提高復習效率.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 花奎. 微型探究揭本質，深度學習促素養——一節習題研究課的教學活動及課后調研和思考[J]. 中學教研（數學），2017（12）：4-8.