圍繞學科大概念備好數學課

馬燕青 呂增鋒

摘要：圍繞學科大概念開展數學教學，首先要圍繞學科大概念備好數學課。為此，可以圍繞學科大概念的層級領悟編寫思路，圍繞學科大概念的內容指向分析教學內容，圍繞學科大概念的育人宗旨定位教學目標，圍繞學科大概念的生活價值優化教學設計。

關鍵詞：學科大概念;數學大概念;數學教學;備課

本文系浙江省寧波市2021年教育科學規劃重點課題“大概念視角下高中數學單元教學的研究”（編號：2021YZD079）的階段性研究成果。學科大概念又稱學科大觀念，是指從學科內容中抽象概括出來的，具有廣泛聯系整合作用，并能夠廣泛遷移應用的概念或觀點華志遠.落實“大概念”教學理念——對高中數學新教材中三角函數定義變更的思考與教學[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：75。。它處于學科的中心位置，對學科其他內容具有統攝力、關聯性，集中反映學科的本質，體現學科的思想方法（或者說學科專家的思維方式），凸顯學科的價值，兼具認識論、方法論和價值論三重意義。因此，圍繞學科大概念開展學科教學，能夠幫助學生整體把握學科內容，形成良好的知識結構，深入理解學科本質，體悟學科思想方法，感受學科價值，獲得“帶得走”的素養。

備課是教學工作的重要環節。本文重點就如何圍繞學科大概念備好數學課，談幾點思考。

一、圍繞學科大概念的層級，領悟編寫思路

備課首先要分析教材。在具體分析教材內容之前，要整體分析教材編寫思路。對此，可圍繞學科大概念的層級展開。

學科大概念是有層級的——或者說，“大”是相對的。一般可以分為課程大概念、單元大概念和課時大概念——也就是粗略地分為大、中、小三個層級。它們分別居于課程（或學科）、單元（或學科分支）、課時的中心位置，統攝下一層級、關聯這一層級的內容，形成相應的結構體系，在避免內容零散、龐雜的同時，幫助學生建立看待系統整體的“透鏡”頓繼安，何彩霞.大概念統攝下的單元教學設計[J].基礎教育課程，2019（8）：7。。這里，需要指出的是，居于中間層級的單元還可以繼續分為具有相對大小的若干層級，如指向課程中主題或模塊的大單元和指向教材中章節的小單元;這些大大小小的單元中，也有相應的大概念。

人教A版高中數學教材的編寫就是圍繞學科大概念的層級依次展開的。首先，在“四基”“四能”“三會”“六核”等課程大概念的統攝下，形成了編寫教材的主線，構建了以“函數”“幾何與代數”“概率與統計”“數學建?；顒优c數學探究活動”為主題的四個大單元。接著，從課程大概念出發，衍生出組織大單元內容的大單元大概念，如“函數是刻畫客觀世界變化規律的重要模型”“函數是一種映射”“函數思想貫穿高中數學始終”等“函數”大單元大概念，把“三角函數”“數列”“導數”等小單元內容也都納入“函數”大單元中。然后，在大單元大概念的基礎上，繼續衍生出小單元大概念，如“三角函數是刻畫周期現象的函數模型”“數列是一類特殊的函數”“導數可以度量變化的快慢”等。接著，把小單元大概念進一步細化為課時大概念，如“單位圓是研究三角函數的工具”“等差數列的通項公式是一次函數”“導數就是瞬時變化率”等。最后，圍繞課時大概念組織每一課的教學內容。

二、圍繞學科大概念的內容指向，分析教學內容

教學內容分析是教學目標確定和過程設計的基礎。教學內容分析是否到位，不僅關系到能否真正發揮教材的作用，更會直接影響課堂教學的質量。圍繞學科大概念的內容指向分析教學內容，能夠解決邏輯混亂、顧此失彼、視角單一等問題，從而實現教學內容分析的完整化、系統化。

按照內容指向，學科大概念通常可以分為指向“是什么”的大概念、指向“為什么”的大概念、指向“怎么樣”的大概念。這些指向一般既有“明指”，又有“暗指”。比如，“數學是思維的體操”明指“數學學習為了什么”，暗指“數學教學要發展學生的思維”。又如，“函數是貫穿高中數學的一條主線”明指“函數是什么”，暗指“函數思想的主線作用”。因此，讀懂學科大概念的內容指向有助于更好地理解學科內容。

具體到數學學科，可以從“是什么”“為什么”“怎么樣”三個維度依次展開分析。第一步，分別確定指向這三個維度的學科大概念。數學研究對象的多樣性決定了指向“是什么”的大概念的豐富性，常見的有“數學是模型”“數學是工具”“數學是運算”“數學是推理”等;而指向“為什么”的大概念可以是“數學有用”“數學是聯系的”;指向“怎么樣”的大概念一般就是“數學具有育人功能”。第二步，以指向三個維度的大概念為基點，衍生出一系列的“小概念”。第三步，以“小概念”為線索與切入口，對教學內容做細致剖析。

例如，分析“平面向量的數量積”內容時，可以從“向量是一種運算”這一指向“是什么”的大概念出發，分析平面向量數量積的“運算背景”“運算規則”和“運算的幾何意義”;從“數學是聯系的”這一指向“為什么”的大概念出發，分析平面向量數量積“與線性運算的聯系”“與生活的聯系”“與物理的聯系”;從“數學具有育人功能”這一指向“怎么樣”的大概念出發，分析平面向量數量積的“認知功能”“德育功能”和“蘊含的核心素養”。最后，經過有序的組織與整合，可使“平面向量的數量積”的內容分析水到渠成。

本節課，學生在學習了向量的概念及線性運算的基礎上，通過物理中的“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，了解平面向量數量積的運算背景、運算發展（運算的幾何意義）。向量運算是“帶有方向的量的運算”，不僅要考慮大小，而且要考慮方向。向量線性運算的結果還是向量，而數量積的運算結果是數量;向量線性運算是封閉的，而數量積運算不封閉。數量積的這兩大特征是學生以往經歷中所沒有的。新教材刪去了用“向量的投影”來定義數量積幾何意義的做法，因為投影的本意是指圖形的影子投到一個面或一條線上，而向量的“投影”卻是一個“可正可負”的數量，容易造成學生認知上的障礙。取而代之的是，新教材引入了“投影向量”來直觀呈現數量積的本質。相比“向量的投影”，“投影向量”與“平面向量基本定理”“正交分解”自然關聯，與向量數量積的物理背景聯系緊密——只有跟位移共線的力，才真正在做功。平面向量數量積的學習，有助于學生認識到數學運算的發展是外部需求與內部完善共同作用的結果，同時對發展學生的數學運算、邏輯推理等素養具有重要意義。

三、圍繞學科大概念的育人宗旨，定位教學目標

隨著時代的發展與教育的變革，教學目標的內涵與外延也在發生變化。通常所說的教學目標指的是課時目標，即在一節課中，通過怎樣的路徑和方式讓學生掌握相關的知識與技能。但隨著單元教學及研究的興起，由單元教學目標細化得到課時目標的做法成為主流。不僅如此，教學目標關注的內容也越來越多，由原先關注“雙基”到后來關注“三基”，再到現在“四基”“四能”“三維目標”“核心素養”等都要關注。這些變化帶來的直接影響就是，增加了教師準確定位教學目標的難度。

從某種程度上講，學科大概念本身就是對課程標準、核心素養、教學重難點、評價標準等深度提煉的結晶，其展現出來的育人宗旨可以作為制訂教學目標的“標桿”。學科大概念的育人宗旨是“形成專家思維”。何為“專家思維”？它有兩大特點：一是專家頭腦中的知識是靠大概念組織起來的，這反映的是專家對學科的理解深度;二是專家頭腦中的知識結構具有很強的關聯性，專家能夠根據知識之間的關系以及知識與現象、與情境的關聯程度，把知識有序地“安放”在結構框架中，進而能夠根據任務需求，熟練調用相關的知識。

對于數學學科而言，專家思維通常指的就是學習（研究）數學的各種“套路”。比如，研究數學對象常按照“背景—定義—表示—性質—應用”的“套路”展開;認識新的數學對象常按照“體會必要性—感受合理性—驗證科學性—展現先進性” 的“套路”展開;學習公式、定理的“套路”之一是“發現—猜想—驗證—應用”;學習立體幾何中性質、判定的“套路”之一是“觀察生活現象—抽象數學原理—定理辨析內化”。因此，數學教學目標的制訂可圍繞數學學習“套路”獲取的方法與路徑詳細展開。這樣，既可以避免陷入課時目標與單元目標的糾纏之中，又可以確保教學目標定位的高度與準度。

例如，《平面向量的數量積》這節課，教學目標通常這樣闡述：通過物理中的“功”等實例，給出向量數量積的概念，并能解釋其物理意義與幾何意義;類比向量線性運算的性質提出數量積的運算律，并能進行證明。而如果從培養“向量運算”專家思維這一宗旨出發，按照學習數學運算的“套路”，即“運算背景—運算規則—運算的幾何意義”，教學目標就可以這樣闡述：了解數量積產生的物理背景與數學背景，體會數量積運算與向量線性運算在運算規則上的差異，理解數量積運算的獨特性，知道向量投影與投影向量的聯系。不難發現，圍繞學科大概念育人宗旨制訂的教學目標更具整體性與連續性。

四、圍繞學科大概念的生活價值，優化教學設計

教學設計要以教學內容和教學目標為基礎。圍繞學科大概念進行教學設計，是復雜、多維的。這里重點談談學科大概念中容易因為學科價值而被忽略的生活價值。

如何恰當處理科學世界和生活世界之間的關系，是困擾教育改革的一個基本問題。隨著課程改革的推進，數學教育要使學生學會“解決真實情境中的問題”早已成為共識。只不過，在實際操作中沒有嚴格按照這個“共識”進行，從而導致人們對數學與現實生活關系的“誤會”依舊存在。

具體到數學學科，不難發現，學科大概念中既有科學理性的成分，又有生活感性的體驗。如，“數學是有用的”“數學是聯系的”“數學是一種文化”“三角函數是刻畫圓周運動的重要模型”等，無不在向世人訴說“數學與真實世界是連通的”。因此，展現學科大概念生活價值的關鍵就是構建知識與真實世界的關聯，在真實、具體情境中培養學生的應用意識與創新能力。

例如，引入“平面向量的數量積”，絕大部分教師是借助物理中“功”的定義：W=Fs，因為力F與位移s都是矢量（向量），而功W是數量，因此，存在一種運算對象都是向量，而運算結果是數量的運算，即數量積?！叭詢烧Z”，數量積的定義就出來了。但是，很多教師根本沒有了解過什么是“功”以及學生對“功”的認知程度。事實上，初中物理（科學）中就有“功”的概念，但僅僅局限于力F與位移s共線的情景;高中物理中雖然有了“功”的一般定義，但對其運算的原理并沒有詳細解釋;而且，物理的教學進度與數學不同步，數學課教“平面向量的數量積”時，物理課常常還沒開始教“功”這塊內容。以學生原本就不是非常熟悉的概念來引出另一個陌生的概念，邏輯上講不通。

對這樣的引入方式，可以圍繞學科大概念的生活價值來優化。一種優化方法是，組織學生對“功”進行一次真正的學習，圍繞“功是能量改變的量度”這個大概念把“功”的來龍去脈搞清楚，那么，平面向量的數量積自然也就清楚了。另一種優化方法是，先讓學生學習向量的坐標表示，圍繞“向量坐標運算”這個大概念對數量積運算進行重構。例如，顧客甲買了數學書x1本，語文書y1本，則顧客甲買書的情況是（x1，y1），顧客乙買了數學書x2本，語文書y2本，則顧客乙買書的情況是（x2，y2），那么，甲乙兩人買書的情況可以用數對（x1+x2，y1+y2）來表示，這就是向量加法的坐標形式。同理，數量積運算就可以這樣定義：若數學書x2元/本，語文書y2元/本，則書的單價可以表示為（x2，y2），這樣，顧客甲買數學書和語文書一共花的錢為x1x2+y1y2，即（x1，y1）·（x2，y2）=x1x2+y1y2。

當然，圍繞學科大概念的備課是一個多階段、多層次、多維度的過程性與結果性議題。備課的基本原則就是以學科大概念作為凸顯學科本質、思想和價值的聚集點，為教師的教學提供事實與理論依據，同時賦予學生的學習以新的意義，使得學科大概念在學生未來的發展中發生持續的作用。