挖掘教材價值 活用基本圖形

胡厚偉

[摘 ?要] 對一道中考試題的來源、結(jié)構(gòu)、解法三個方面進(jìn)行特色解讀. 基于基本圖形，從不同視角探索其解法的多樣性，挖掘試題蘊(yùn)含的價值及教學(xué)導(dǎo)向，在幾何教學(xué)中發(fā)展幾何直觀與空間觀念.

[關(guān)鍵詞] 基本圖形;解法賞析;幾何直觀;空間觀念

題目呈現(xiàn)

（2021年廣東第23題）如圖1，邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長.

特色解讀

1. 源于教材，巧妙改編，考查對基礎(chǔ)知識的理解

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的引領(lǐng)下，很多中考試題都呈現(xiàn)出教材例題、習(xí)題的影子. 命題者回歸教材尋找題源，進(jìn)行深度加工、拓展變式與整合創(chuàng)新編制而成中考題，已經(jīng)成為很多中考命題者的選擇. 本題以人教版教材八年級上冊第52頁的“第7題”作為命題素材，結(jié)合折疊、相似等知識巧妙改編、整合而成：如圖2，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC. 求證：AE是∠DAB的平分線.

從知識層面上看，該題考查圖形的性質(zhì)、圖形的變化兩個方面，綜合考查正方形、折疊、角平分線、平行線的相關(guān)性質(zhì). 掌握所學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步理解相關(guān)知識，考查學(xué)生應(yīng)用知識的能力，結(jié)合圖形變換，考查學(xué)生對知識的綜合運(yùn)用能力及推理能力.

2. 結(jié)構(gòu)簡單，問題明確，考查對基本圖形的識別

作為一道幾何綜合題，結(jié)構(gòu)簡單，問題明確，考查內(nèi)容卻十分豐富. 題中包含了許多常見的平面幾何中的基本圖形，比如“平行線與角平分線（折疊問題隱含角平分線）構(gòu)造等腰三角形”的基本圖形;巧妙地添加輔助線則構(gòu)成“A型”“8型”的相似三角形;還可構(gòu)成常見的“一線三垂直”的基本圖形. 學(xué)生對這些基本圖形的深入識別和遷移應(yīng)用，是順利解決此問題的關(guān)鍵所在.

3. 解法多樣，凸顯素養(yǎng)，考查對思想方法的運(yùn)用

此題以學(xué)生熟悉的正方形知識為背景，以折疊問題為載體，考查學(xué)生在軸對稱變換背景下的推理探究能力和解決問題的能力. 不僅突出對數(shù)學(xué)基本思想方法的考查，還強(qiáng)化對學(xué)生綜合素養(yǎng)的考查. 在求解過程中，將等量線段轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的三角形中，再通過直接或間接地設(shè)未知數(shù)，由勾股定理或相似比建立方程或方程組，從而求出線段的長度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法中的轉(zhuǎn)化思想與方程思想.

解法欣賞

1. 視角1：根據(jù)角平分線性質(zhì)定理構(gòu)造全等，利用勾股定理、相似建立方程求解

解法1 ?如圖3，延長BF交CD于點(diǎn)H，連接EH. 易證△EDH≌△EFH，得到DH=HF. 設(shè)CH=x，則DH=FH=1-x. 在Rt△BCH中，12+x2=（2-x）2，解得x=. 因?yàn)锳B∥CH，AC=，所以△HCG∽△BAG，可得比例式=，所以CG=.

點(diǎn)評 ?解法1的本質(zhì)是將原圖中缺少的部分補(bǔ)全，構(gòu)造出角平分線性質(zhì)定理的基本圖形. 同時，考查對“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”性質(zhì)定理的運(yùn)用，對學(xué)生的識圖能力要求較高. 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，可從圖1 中分離出其他豐富的基本圖形，比如兩條平行線的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，射影定理等所呈現(xiàn)的基本圖形（如圖4所示），從而可以衍生出一些新的解法和結(jié)論. 如求CH的長度時，易證∠BEH=90°，由射影定理EF 2=HF·BF，可得DH=HF=，故CH=1-DH=. 再利用相似求出線段CG的長度，此解法過程略.

2. 視角2：圖外補(bǔ)全三角形，恰構(gòu)“A”“8”雙相似

解法2 ?如圖5，延長AD，BF交于點(diǎn)H. 易證△EFH∽△BAH，可得==. 設(shè)HF=x，HE=y，則有==，解得x=，y=;故AH=AE+HE=. 因?yàn)锽C∥AH，所以△BCG∽△HAG，可得比例式==，求得CG=.

解法3 ?如圖5，延長AD，BF交于點(diǎn)H，設(shè)HF=x，HE=y. 由翻折可知，BE平分∠ABH，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可得=，故x=2y-1. 因?yàn)閠an∠H==，所以y=. 又因?yàn)锽C∥AH，所以=，故CG=.

點(diǎn)評 ?上面兩種解法的構(gòu)圖，不僅恰好構(gòu)成“A”“8”型雙相似三角形，還非常神奇地出現(xiàn)了角平分線性質(zhì)定理（三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例）的基本圖形，即如圖6所示，因?yàn)锽E為△ABH的角平分線，所以=. 實(shí)乃一次非常巧妙的構(gòu)圖.

3. 視角3：已知直角→構(gòu)造“一線三垂直”，結(jié)合相似列方程求解

解法4 ?如圖7，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，反向延長FH交BC于點(diǎn)K，則HK⊥BC.

易證△EHF∽△FKB，所以===. 設(shè)EH=x，則FK=2x. 所以HF=1-2x，BK=2-4x.

因?yàn)锽K=AH，所以2-4x=x+，解得x=，求得BK=，F(xiàn)K=，PK=CK=. 所以FP=，CP=. 又因?yàn)镕P∥AB，所以△FGP∽△BGA，可得==. 于是有PG=，所以CG=.

4. 視角4：已知角平分線→添加平行線→構(gòu)造等腰三角形，結(jié)合相似、勾股定理解決問題

解法5 ?如圖8，過點(diǎn)G作QK∥AB，分別交BC，AD于點(diǎn)K，H，交BE的延長線于點(diǎn)Q.

易證∠ABE=∠HQE，所以tan∠ABE=tan∠HQE，即==.

設(shè)HE=x，則QH=2x，HG=HA=+x，BG=QG=+3x. 則GK=-x，BK=HA=+x. 顯然∠BKG=90°，在Rt△BKG中，由勾股定理得x=，所以GK=. 所以CG=GK=.

解法6 ?如圖9，延長BF交CD于點(diǎn)H，再延長BE，CD交于點(diǎn)Q.

顯然QH=BH，QD=BF，所以DH=HF. 設(shè)DH=HF=x，則CH=1-x，BH=1+x. 在Rt△BCH中，12+（1-x）2=（1+x）2，解得x=. 因?yàn)镃H∥AB，所以△CGH∽△AGB，可得==. 所以CG=.

解法7 ?如圖10，過點(diǎn)E作EH∥FB，EH交AB于點(diǎn)H，過G作GQ⊥AB于點(diǎn)Q. 易證EH =BH，AQ =QG.

設(shè)AH=x，BH=EH=1-x. 在Rt△HAE中，x2+

2=（1-x）2，解得x=.

易證∠AHE=∠ABG，所以==，即=，可得AQ=. 所以AG=，易求得CG=AC-AG=.

解法8 ?如圖11，延長AB至點(diǎn)H，使得BH=BG，連接HG，過G作GQ⊥AB于點(diǎn)Q ，顯然有BE∥HG，所以∠QHG=∠ABE. 所以tan∠H =tan∠ABE，即==. 設(shè)GQ=AQ=m，則QH=2m，BQ=1-m. 所以BH=BG=3m-1. 在Rt△GQB中，m2+（1-m）2=（3m-1）2，解得m=. 所以AG=GQ=. 故有CG=AC-AG=-=.

點(diǎn)評 ?解法5、6、7、8的構(gòu)圖源于基本圖形（如圖12），而此基本圖形源于人教版八年級上冊第78頁例2. 例題內(nèi)容為“求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形一邊，那么這個三角形是等腰三角形”. 從圖10、圖11中分別分解出圖13（1）和圖13（2）兩個基本圖形，細(xì)細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，這恰是常見二倍角與半角的處理方法，即“外做雙等腰，內(nèi)做雙等腰”.

5. 視角5：利用三角形面積法求解

解法9 ?如圖14，延長BF交CD于點(diǎn)H，連接EH，過點(diǎn)G作GN⊥BC于點(diǎn)Q，GM⊥CD于點(diǎn)M.

由解法1可知CH=，顯然易證MG=NG，由面積關(guān)系可知S + S = S，即·CH·MG+·BC·NG=·BC·CH. 所以×MG+×1·NG=×1×，解得NG=.

所以CG=.

6. 視角6：從高觀點(diǎn)立意下去解決幾何問題

解法10 ?如圖15，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長BF交CD于點(diǎn)H，連接EH. 顯然A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（1，0），（1，1）. 由解法1可知DH=，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為

，1. 可求出AC，BH的函數(shù)解析式分別為y=x，y=-x+. 聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為

，

，所以CG=.

解法11 ?如圖16，過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H. 設(shè)∠ABE=∠FBE=α，則∠ABF=2α，∠CBG=90°-2α. 因?yàn)閠anα=，所以tan2α==. 所以tan（90°-2α）=，即=.易求得GH=CH=，所以CG=GH=.

教學(xué)思考

1. 挖掘教材例、習(xí)題功能，發(fā)揮其潛在的作用與價值

教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過專家們精心打磨、層層挑選和反復(fù)斟酌而定下的題目，不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧，還具有典型性、示范性和針對性. 同時，它們還有著鞏固基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練基本技能、啟迪數(shù)學(xué)思維的價值. 例題、習(xí)題教學(xué)時，不能只是為了解題而解題，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行剖析，培養(yǎng)學(xué)生一題多解、多解歸一、多反思多總結(jié)的習(xí)慣. 教師應(yīng)探尋不同例題、習(xí)題所涉及知識的關(guān)聯(lián)性和整體性，站在整個學(xué)段的數(shù)學(xué)體系中進(jìn)行有效的改編與整合，發(fā)揮出它們應(yīng)有的價值.

2. 關(guān)注基本圖形的運(yùn)用，發(fā)展幾何直觀與空間觀念

所謂基本圖形，是指教材中的概念、公理和定理所對應(yīng)的圖形. 可將基本圖形分為兩大類：第一類是點(diǎn)、線、角、平行線，三角形、四邊形、多邊形、圓等基本圖形;第二類是由兩個或兩個以上第一類圖形復(fù)合而成的基本圖形[1]. 在解法1中，當(dāng)延長BF交CD于點(diǎn)H，連接EH之后，就很容易發(fā)現(xiàn)圖4中的兩種基本圖形——“平行線中的M型”“射影圖”，仔細(xì)觀察還有“8型”相似三角形，于是解法自然生成.

幾何教學(xué)中，類似于文中解法中分解或構(gòu)造出的圖4、圖6、圖12、圖13的基本圖形有很多，比如“手拉手型”“A型”等基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握這些基本圖形的性質(zhì)或結(jié)論，從已知圖形中分解或構(gòu)造出解題所需的基本圖形，再運(yùn)用基本圖形建立已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的. 運(yùn)用此法可有效提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間觀念.

參考文獻(xiàn)：

[1]傅佑珊. 平面幾何基本圖形的方法與教學(xué)實(shí)踐[J]. 北京教育學(xué)院學(xué)報， 1997（02）：71-74.