新媒體支持下的民族地區高中數學微課設計

【摘要】本文以“三角”主題教學為例，論述高中數學微課設計的策略，認為微課設計應遵循緊扣教學目標、緊緊依托學情以及考慮各學校的設施情況三個原則，結合教學實際闡述五個高中數學微課設計具體要求。

【關鍵詞】新媒體 民族地區 高中數學 微課設計

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）02-0082-04

隨著互聯網的高速發展，新媒體呈爆發式增長發展。高中數學微課依托新媒體平臺，將視聽等多元素結合，把數學知識生動地呈現到學習者的面前。數學微課跨越了時間與空間的限制，逐漸成為高中生新的學習方式。充分利用新媒體平臺，依托名優教師的教學資源，建立起符合民族地區學情的數學學習資源庫，能為我區高中生提供優質的教學資源。本文以“三角”主題教學為例，闡述高中數學微課的設計方案。

一、微課設計應遵循三個原則

（一）微課設計應緊扣教學目標

在進行微課設計的時候，我們不僅要關注每一課時教學目標的達成，還要關注章節、單元和主題教學目標的相互關系，整體把握，整體設計。三角函數是函數主題下的內容，是學生學習了指數函數、對數函數之后的又一個重要的函數。《三角函數》一章的課程目標是通過實例，學習三角函數及其性質，體會三角函數在解決具有周期變化規律問題中的作用;而《解三角形》一章是在學習了《三角函數》相關知識的基礎上，通過任意三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中邊與角的數量關系，并在生產生活中能夠運用所學知識解決測量和幾何計算有關的實際問題。

在制訂微課教學目標過程中，教師還可以借助布魯姆教學目標制訂教學計劃。布魯姆教學目標分析指出認知領域的教育目標從低到高可以分為六個層次：識記、理解、應用、分析、綜合、評價。

表1 布魯姆教育目標分類表

[知識維度 認知過程維度 識記 理解 應用 分析 綜合 評價 事實性知識 概念性知識 程序性知識 反省認知知識 ]

（二）微課設計應緊緊依托學情

不同班級、不同學校的學生的數學基礎、學習習慣、運算能力和思維水平等存在差異。在學習高中數學“三角”這一板塊內容之前，學生已經學習了集合、函數、圓的方程等知識，具備進一步學習三角函數的基礎。但是，不同層次的學生之間仍存在著較大的差距，尤其表現在對三角知識的探究、聯想以及遷移上。生源基礎薄弱的學校，應注重基礎知識、課本核心概念的微課設計，根據實際情況還需要加上必要的典型例題和對應的鞏固練習。生源基礎較好的學校可以把易錯點、難點的數學知識歸納總結成微專題，進而將其錄制成微課供學生學習，還可在微課的最后設計附上思維拓展的變式試題和答案，供學有余力的學生課后自主學習。但是不論設計什么類型的微課，最終目的都是達成課程標準提出的提升學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學學科核心素養。

（三）微課設計應考慮各學校的設施情況

學校的信息技術軟件和硬件不同，微課設計的方案也不同。信息技術硬件軟件設施較落后的學校，可以將制作完成的微課拷貝到教室電腦或者教師辦公室的電腦，供學生學習。而信息技術硬件軟件設施較好的學校，則可以通過班級希沃電腦、平板電腦、班級微信公眾號、視頻號、嗶哩嗶哩網站、班級QQ群、廣播電視點播系統等發布微課，供學生在不同的時間和空間學習。

二、例析高中數學微課設計

下面，筆者以南寧市第三中學高中部五象校區為例，闡述高中數學微課設計策略。南寧市第三中學高中部五象校區生源較好，絕大多數學生有比較好的學習基礎和學習習慣。對數學學科而言，學生掌握的數學基礎知識、擁有的數學基本技能、領悟的基本數學思想、積累的數學基本活動經驗都是比較豐富的，但是他們在發現和提出數學問題、分析數學問題、解決數學問題等方面略有不足，對一些核心概念、重要的公式定理的推導，在課堂學習中不能快速地接受并理解。從學生完成配套練習《新課程測評》、活頁習題和周測試題的反饋來看，有些題型他們屢屢犯錯，教師可以將這些問題歸納總結，形成微課供學生學習。

南寧市第三中學高中部五象校區擁有較好的信息技術硬件和軟件，每位教師都配置性能較好的電腦，每個班級都配備希沃電腦，學校網絡全覆蓋。良好的技術支持為本校區開展微課設計提供了強大的保障。教師可以將制作好的微課拷貝到班級希沃電腦，發布到班級QQ群、班級微信公眾號、視頻號、嗶哩嗶哩網站和廣播電視點播系統等平臺，供學生在不同的時間和空間任意學習。

根據本校區學情，教師在制作數學微課時，應符合以下幾個要求。

（一）核心數學概念和重要的公式定理應重點錄制

數學概念是數量關系和空間形式本質特征的反映形式，是數學基礎知識的重要組成部分。數學概念的內涵和外延組成了數學概念的本質。在進行數學核心概念的微課設計時，教師應該創設情境，精心設計數學活動，讓學生經歷發現、分析、提煉、升華等過程，加深對核心數學概念的理解。

在《三角函數》一章中，核心的概念和公式定理有任意角的三角函數、三角函數線、同角三角函數的關系、三角函數的誘導公式、正弦函數和余弦函數的圖象與性質、正切函數的圖象與性質、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質、三角函數模型的簡單應用，等等。教師需要針對這些核心的數學概念和重要的公式定理，精心設計微課。

在學習核心概念正弦定理的過程中，用多種方法探究證明正弦定理是學生學習的難點，針對此難點，筆者制作了微課進行突破。

設計探究一

在[]ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若[]ABC是直角三角形，不妨取C=90°，則sinA=[ac]，sinB=[bc]，從而[asinA]=[bsinB]=c，又因為C=90°，所以sinC=1，所以[asinA]=[bsinB]=[csinC].若[]ABC是等邊三角形，因為A=B=C，a=b=c，上述優美的關系式無疑也是成立的.對于一般的三角形，上述優美的關系式還成立嗎？易得在[]ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即：[asinA]=[bsinB]=[csinC].

設計探究二

利用面積相等證明.如圖1所示，過點A作AD⊥BC于D，在Rt[]ABD中，AD=csinB，在Rt[]ACD中，AD=bsinC，從而bsinC=csinB，即[bsinB]=[csinC]，同理可證[asinA]=[bsinB]，所猜想的關系式得證.請問：這個證明過程有無漏洞？

如圖2所示，如果[]ABC是鈍角三角形，過點A所作的高AD在三角形的外部，在Rt[]ABD中，AD=csin（π-B）=csinB，與銳角的情況是一致的，獲證.

設計探究三

如圖3，作[]ABC的外接圓，O為圓心，半徑為R，連接BO并延長交圓O于點C′，則BC′=2R，從而∠BAC′=90°，在Rt[]ABC′中，sinC′=[c2R].根據同弧所對的圓周角相等，即sinC=sinC′=[c2R]，從而[csinC]=2R，同理可證[asinA]=2R，[bsinB]=2R，因此，對任意的三角形都有[asinA]=[bsinB]=[csinC]=2R.用此方法，還證明了三角形邊與對角正弦值之比為三角形外接圓半徑的2倍這一幾何意義.

設計探究四

如圖4，在[]ABC中建立平面直角坐標系xOy，點C在y軸上的射影為C′，則[AC]與[BC]在y軸正方向上的射影相同，分別為：[AC]cos（A-90°）=bsinA，[BC]cos（90°-B）=asinB，所以bsinA=asinB，即[asinA]=[bsinB]，同理可證A為銳角或者直角時關系式成立.

（二）抓住教學的重點和難點，有效突破

數學教學的重點和難點往往是學生掌握不到位的知識點，也是學生學習數學過程中的認知障礙，導致數學思維堵塞的源頭。這些數學重點和難點如果不能有效突破，會成為學生進一步學習的絆腳石。如何幫助學生有效突破學習中的重點和難點，應該是微課設計需要重點考慮的問題。

在微課設計中借助數學實驗和幾何畫板等工具進行驗證是有效突破數學教學中的重點和難點的有效途徑。比如教學人教A版必修5第一章《解三角形》余弦定理的推導，教師設置問題：在任意[]ABC中，它的三角A，B，C與對應的三邊a，b，c存在怎樣的關系？并利用幾何畫板，任意改變三邊和三角的值，讓學生觀察邊和角的變化關系，引導學生大膽提出猜想。在大邊對大角的前提下，是否還有其他體現數學對稱性和幾何美的性質？學生提出幾組大膽的猜想，教師通過操作幾何畫板一一驗證猜想，發現不論角和邊如何改變，a2=b2+c2-2bccosA這個猜想是恒成立的，接下來便是嚴格的數學證明。突破證明余弦定理這一難點的微課設計如下。

探究活動一

當A是銳角時，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，則在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

從而，BD=AB-AD=c-bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2=c2-2cbcosA+b2=c2-2cbcosA+b2.

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證A是直角或者鈍角的情況.

探究活動二

用平面向量法證明.

在△ABC中，由[BC]=[AC]-[AB]可得：[BC]=[AC-AB].

∴[BC2]=（[AC-AB]）2=[AC2]+[AB2]-2[AC]·[AB]=[AC2]+[AB2]-2[AC]·[AB]cosA=b2+c2-2bccosA.即a2=b2+c2-2bccosA.

探究活動三

利用坐標系法證明.如圖5.

以A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，證法如下：點C的坐標為（bcosA，bsinA），根據兩點間的距離公式得[BC]=[（bcosA-c）2+（bsinA-0）2].整理化簡得a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A.即a2=b2+c2-2bccosA.證明完畢.

（三）組合典型例題和習題，形成微專題

理論與實踐相結合是學習的有效途徑。在學習核心概念以后，借助典型例題的講解可以幫助學生快速掌握所學知識。課本中的例題、習題都是編者精心設計的，有效利用它們可以起到舉一反三的效果。結合課本“探索與發現”欄目可以拓展學生學科閱讀能力，課外探索數學的能力。

以必修5中的例題為例：在[]ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）。這是經典的三角形解的個數問題，并且題目特意給的是非特殊角，課堂教學必須使用計算機輔助教學才能完成。在完成此例題后，教師引導學生閱讀“探究與發現”欄目“解三角形的進一步討論”，通過幾何畫板設計已知角A是銳角，且a<b時分三種情況動態展示a<bsinA，a=bsinA，a>bsinA。這樣一來，教師巧妙利用課本的例題、習題和“探索與發現”等材料制作微課專題，有效突破難點。

（四）典型錯題應呈螺旋式上升分層設計

美國教育學家布魯納提出“螺旋式上升”的教育理念，其目的在于培養兒童出色的智力，即在不同時間學段出現類似的學科教學內容，利用兒童緩慢上升發展的智力水平，不斷加深和拓展學科內容。瑞士教育學家皮亞杰把兒童認知發展劃分為四個階段，即感知運算階段（0—2歲）、前運算階段（2—7歲）、具體運算階段（7—11歲）、形式運算階段（11歲后一直發展）。當兒童的低層次的智力水平的平衡被沖擊后，平衡能在更高一級的水平得以恢復。我們新課程數學課本內容是按照這些兒童認知規律編排的，教師在進行微課設計時，應遵循螺旋式上升分層設計原則。

比如關于三角函數ω問題是典型的錯題，如何針對這些錯題設計微課教學？教師可以先設計一個條件的ω情況，比如題目：已知函數f（x）=sin[ωx-π4]（ω>0）在（0，2π）上有且僅有兩個零點，則ω的取值范圍是？再比如題目：已知函數f（x）=sinωx+cosωx（ω>0），若f（x）在[0，2π]恰有3個最值點，則ω的取值范圍是？在學生能夠正確解答這些一個條件的ω情況題目之后，教師再設計兩個條件的ω情況，比如題目：已知函數f（x）=sin（ωx+φ），其中ω>0，[φ]≤[π2]，[-π4]為f（x）的零點，且[f（x）≤][f（π4）]恒成立，f（x）在[-π12，π24]區間上有最小值無最大值，則ω的最大值是？通過這樣分層練習，學生的學習能力能夠得到螺旋式提升。

（五）應具備復習、測驗和評價功能

復習是高中數學教學過程中一個非常重要的環節，它可以整合舊知形成知識結構。利用思維導圖整理數學知識樹是一個有效的復習方法。

測試和評價常見的形式為課堂提問、課堂觀察、作業批改、書面測試、錯題整理和錯題重做等。書面測試可分為微測試和周測等，微測試共六題，其中選擇題四題、填空題兩題;周測共十二題，其中選擇題六題、填空題四題、大題兩題。選擇題改卷均通過“門口易測網”App實現，學生考試結束后可以立即通過該App查看得分情況，也可以查看詳細的解答過程;教師通過該App可以查看“班級報告”“試題報告”“試題分析報告”“知識點報告”和“比較報告”等，詳細了解學生的評價情況。比如我們在一次微測試中設計了六道題，題目知識點囊括了已知兩角及一邊解三角形、已知兩邊及一邊的對角解三角形、三角形解的個數、三角形面積公式、簡單恒等變形、邊角互化、輔助角公式等，測試的評價反饋為我們下一步的教學準備提供了數據支持。

充分應用新媒體輔助高中數學教師課堂教學和學生數學學習是一條行之有效的途徑。但是，收集、篩選、整理優質數學資源，根據學情進行微課的錄制，會耗費教師大量的時間和精力。本文在理論的基礎上，結合實踐闡述如何有的放矢設計微課。我們在實踐的過程中有可能會出現很多問題，但是我們一邊實踐一邊改進，在實踐與改進中完善設計，定能探索出一條符合學情特點的、能夠有效提升高中數學教學效果的可行之路。

參考文獻

[1]李耀光，何小亞.新課程數學概念“螺旋式”上升編排的認知審視[J].數學教育學報，2010（4）.

[2]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養：史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017（4）.

注：本文系廣西教育科學規劃2021年度A類課題“新媒體支持下優化民族地區高中數學教學的實踐探究”（編號：2021A047）的研究成果。

作者簡介：陳烈（1979— ），廣西北流人，高級教師，教育學碩士，研究方向為基礎教育。

（責編 劉小瑗）