初中數學“數學抽象”素養測評的實踐探索

摘要：數學抽象是通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。2020年江蘇省義務教育學業質量監測中，初中數學項目組依據課標明確了數學抽象素養測評的實踐依據和表現水平，基于橫向對比研究厘定了數學抽象素養測評的研究思路。以M8SS17為例，說明數學抽象素養測評試題的改進過程。

關鍵詞：數學抽象;學業質量監測;素養測評;初中數學

一、 數學抽象素養測評的實踐依據

（一） 數學抽象的內涵和表現

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對“數學抽象”的描述為：“數學抽象是通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學語言予以表征……數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學的結構與體系。”

（二） 數學抽象的評價要素

基于數學抽象的具體表現，有研究指出：“數學抽象的基本操作步驟是：分離屬性與建構模型—概括與一般化—定義與符號化—系統化。有了這樣的操作步驟，就可以在教學實踐中設計出有針對性的抽象活動，讓學生經歷數學抽象過程，發展數學抽象素養。”仔細斟酌這一“基本操作步驟”，不難發現：這里的“分離屬性與建構模型”就是發現問題;“概括與一般化”就是提出問題;“定義與符號化”意味著分析問題能力的發展，因為定義過程中對命題的具體表征標志著新的信息表征通道的獲得;“系統化”意味著解決問題能力的發展，因為新的數學結構系統的形成標志著抽象已由“工具性理解”上升到“概念性理解”，這意味著新經驗的普適是經驗增值的標志，也是解決問題能力發展的標志。

數學抽象的表現是學生數學抽象素養測評的基本參考依據，其內隱于思維品質，外顯于問題解決的路線、手段、策略中。所以素養雖然不能被直接觀測，但可以通過學生在具體任務中的實際表現加以推測。要確保這種推測的合理性，就必須充分了解所測素養的內涵和外延，建立素養與具體任務上的外在表現之間的關聯。基于數學抽象的內涵和表現以及初中生的認知水平，我們厘定了數學抽象素養的評價要素，包括：在實際情境中明確實際問題;分析實際問題中的相關因素（變量）;用自然語言描述特點;通過數學的思維方式，總結出一般的規律;借助符號、圖形等實現對數學概念、關系和規律的表征;提煉出解決一類問題的數學原理及其中蘊含的數學思想;在新的情境中選擇和運用恰當的數學方法解決問題。

二、 數學抽象素養測評的表現水平

（一） 從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系

1. 水平描述

水平A：能在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予以表達;能在所得數學結論的基礎上形成新命題。

水平B：能在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則;能將已知的數學命題推廣到一般的情形。

水平C：能在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則;能在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題。

水平D：不能根據具體情境抽象出數學概念和規則;機械識記已有命題，不能進行抽象。

2. 相關示例

（1） 李奶奶買了一筐草莓，連筐共重a kg，其中筐重1 kg。將草莓平均分給4位小朋友，每位小朋友可分得（）

A. a4 kgB. a4-1kg

C. a+14kgD. a-14 kg

（2） 如圖1，風箏牽引繩AB的長度所在范圍是（）

A. 36 m至38 mB. 38 m至40 m

C. 40 m至42 mD. 42 m至44 m

（二） 從事物的具體背景中，借助符號進行運算和推理，抽象出一般規律和結構

1. 水平描述

水平A：能通過數學對象、運算或關系理解數學的抽象結構;能理解數學結論的一般性，感悟高度概括、有序多級的數學知識體系;能在現實問題中把握對象的數學特征，并用數學語言予以表達，感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想。

水平B：能用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則;能理解數學命題的條件與結論，構建相關知識之間的聯系;能理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證，并提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想。

水平C：能解釋數學概念和規則的含義;能了解命題的條件與結論，并能從熟悉的問題中抽象出數學問題（獨立的、關聯不密切）;能用數學語言進行基本的表達、推理和論證，在相似問題的解決中感悟通性通法和其中的數學思想。

水平D：不能解釋數學概念和規則的意義;不能了解命題的條件與結論;不能用數學語言表達、推理和論證;不能感悟數學思想方法。

2. 相關示例

用黑白兩色棋子按圖2所示的方式擺圖形，依照此規律，第n個圖形中黑色棋子共有個。

（三） 用數學語言予以表征

1. 水平描述

水平A：能用數學原理解釋自然現象和社會現象;能針對具體問題運用或創造數學方法解決問題。

水平B：能用一般的概念解釋具體現象;能在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。

水平C：能夠結合實際情境解釋相關的抽象概念;能模仿學過的數學方法解決簡單的問題。

水平D：不能結合具體情境表達或解釋一些特征或關系;不能在具體情境中選擇和運用數學方法解決問題。

2. 相關示例

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費標準如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費用y與采摘質量x之間的關系如圖3所示。

（1） 寫出題中的變量：;（至少寫兩個）

（2） a=;

（3） 若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費用相同，求y與x之間的函數表達式。

三、 數學抽象素養測評的研究思路

（一） 橫向對比研究

在測評試題命制過程中，項目組對比研究了PISA測試數學試題、SAT數學試題、中學生數學建模競賽試題和日本初中生數學試題等系列材料。研究發現，各測評項目在問題解決的具體問題設置和考查取向上存在一定的差異。日本初中生數學試題和SAT數學試題的問題任務設計淡化學科語言、圖像等，按照生活真實情況加以呈現，并給出生活化的問題任務，對學生在“數學概念及概念之間關系的抽象”“數學規律的揭示以及數學術語的表征水平”等層面的考查較多，也較為準確。PISA測試試題和中學生數學建模競賽試題則更講究問題情境設置生活化，學生解決問題時需要經歷的抽象過程更完整、更復雜，任務設置的層次與數學抽象水平的層級更加貼合，更利于準確地評價學生的數學抽象素養層級。

（二） 測評總體思路

具有較高數學抽象素養的學生，能夠在若干具體的情境中抽象出數學問題，能夠將已知的數學命題推廣到一般的情形，并能創造性地靈活運用數學方法解決問題。數學抽象素養的形成源于數學知識的習得和運用。數學抽象素養的測評，內容上力求淡化單純對知識點理解和掌握情況的考查，強調在真實情境下解決問題能力因素的考量，注重考查學生對具體問題數學本質的抽象能力，著眼于通性通法。在命制測評試題時，要特別注重創設真實情境，充分關注數學抽象素養與情境特征的明確關系，確定合理的任務呈現方式，提供恰當的支撐性材料或信息，同時兼顧設問指向和設問方式對問題解決的影響。

測評的命題思路一般通過多維細目表呈現。核心素養測評命題的多維細目表除了一般應具備的題號、題型、分值、預估難度等項目外，還應包括核心素養具體表現、情境類型、具體內容、試題目標等，以此來細化落實核心素養的測評。表1即2020年江蘇省義務教育學業質量監測中數學抽象素養測評試題命制的多維細目表。

四、 數學抽象素養測評的試題改進

2020年江蘇省義務教育學業質量監測中關于數學抽象素養的測評共5小題17分。結合30人訪談、300人試測和5000人測試的結果，項目組對每一題都進行了多次打磨修改。下面以M8SS171（為完整呈現改進過程，這里一并呈現該解答題的后續幾小問）為例，說明數學抽象素養測評試題的改進過程。

學科情境有效提取題目中給出的信息該題重點考查學生在實際生活情境中，通過閱讀抽象出有用的數學信息，并理清各信息之間的結構聯系，進一步抽象并建立函數結構模型，最終解決實際問題的數學抽象素養。

（一） 試題初稿及說明

已知甲、乙兩家葡萄園，甲葡萄園進園采摘葡萄的費用如表2所示。

乙葡萄園，進園需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，應付的金額y（元）與采摘的數量x（千克）之間的關系如圖4所示。

（1） y（填“是”或“不是”）x的函數;

（2） 由圖像可知a=;

（3） 小明和小強分別在甲、乙兩家葡萄園采摘了8千克葡萄，所付金額相同，求b的值;

（4） 若在甲、乙葡萄園分別采摘了x千克（x>0）葡萄，應付金額差為40元，請直接寫出x的值。

該題創設了一個貼合學生生活實際的情境，旨在讓學生通過自主閱讀，理解給定的信息，根據給定問題的解決需要，對其中有用的數學信息進行剝離和抽象，并逐步深入到對情境中數量與數量之間關系的抽象，最終依據獲得的數量關系，確立數學模型，解決問題。項目組深入討論后，有兩點發現：一是用同樣的兩個字母“x”“y”表示在甲、乙兩個葡萄園分別進行的兩個不同采摘活動中的變量，不僅會給學生理解數量與數量之間的關系帶來一些不必要的干擾，也會嚴重阻礙抽象層級的有序推進，需要改進;二是（3）（4）兩個設問較好地體現了“建立邏輯規則，提出問題解決模型，指向數學思想方法的抽象與應用”，可以有效考查內隱于學生思維品質中的數學抽象素養的不同外顯形式，需要保留。

（二） 試題過程稿及說明

已知甲、乙兩家葡萄園，甲葡萄園進園采摘葡萄的費用如下頁表3所示。

乙葡萄園，進園需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，應付的金額y2（元）與采摘的數量x（千克）之間的關系如圖5所示。

y1（元）404040404550556065707580……（1） y1（填“是”或“不是”）x的函數;

（2） 由圖像可知a=;

（3） 小明和小強分別在甲、乙兩家葡萄園采摘了8千克葡萄，所付金額相同，求進乙葡萄園采摘葡萄應付的金額y2與采摘的數量x之間的函數關系式;

（4） 若在甲、乙葡萄園分別采摘m千克，應付金額差為40元，直接寫出m的值。

試測和訪談后得知，學生熟悉這一真實的生活情境，對解答此類問題也有著濃厚的興趣，但在解決過程中存在如下問題：一是對函數的本質定義模糊不清，所以對第（1）問的解答停留在機械性地選擇“是”或“不是”的層面，區分度達到-0.14，這嚴重偏離了“考查學生對兩個變化過程中‘應付的金額y（元）與采摘的數量x（千克）之間的關系的理解與抽象水平”這一本質目的，說明問題設計的指向性（基于八年級學生的實際抽象水平）還需要進一步明確;二是在甲園中采摘的數學信息用表格的形式給出，閱讀量較大，較多學生對其中兩個變量之間的關系表達不準確或不能表達，這使得整個問題切入過難;三是在對后兩個問題的解答中，較多學生在不能完成前兩個問題解答的前提下，會利用坐標系中的單位長度，通過畫圖找出某點的坐標進行計算，進而解決問題，這也導致問題考查的重心偏離了數學抽象素養。所以，在300人前測的基礎上，項目組依據數據和訪談情況，又對試題做了修改。

（三） 試題定稿及說明

甲、乙兩家葡萄園采摘葡萄的收費標準如下：

甲葡萄園：入園采摘葡萄不超過4千克需付費40元，超過4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄園：入園門票為每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，總費用y與采摘質量x之間的關系如圖6所示。

（1） 寫出題中的變量：;（至少寫兩個）

（2） a=;

（3） 若分別在甲、乙兩家葡萄園采摘8千克葡萄，所付費用相同，求y與x之間的函數表達式。

多次打磨后的試題，問題表述更加貼合生活實際（生活中，不會用表格來呈現采摘質量與所付費用之間的關系），問題（1）的設問指向也由原來的對多個量之間復雜關系的揭示轉為分析問題中具體數量的特征，這就使得對問題中數量及數量之間關系的抽象切入過程變得舒緩許多。這一改變，不僅利于學生數學抽象的有序推進，更利于學生將問題解決的活動重心向后移，進而讓更多的學生在（2）（3）兩個問題解決中的抽象水平得以表現，實現數學抽象素養的層級性評價。分析全省監測數據后發現，問題（1）學生的得分率為0.74，與預設難度基本吻合。

“數學抽象素養是數學、數學教育、數學學習對受教育者的影響及改變，屬于個體的思維品質和能力，只有在具體的問題情境中，通過問題的解決過程才能外顯于行為，才能被察覺。”因此，在命制測評試題時，要關注問題的情境性，關注知識的形成性，關注思維的深刻性，設計貼合學生生活實際的有趣問題，讓學生在問題探究過程中，有層次地展現自己的數學抽象素養，為學生數學抽象素養水平的劃分提供客觀的依據。

參考文獻：

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[5] 喻平.數學關鍵能力測驗試題編制：理論與方法[J].數學通報，2019（12）.

（馬敏，江蘇省連云港市教育局教研室，特級教師，正高級教師。中國教育學會中學數學教學專業委員會理事、學術委員。全國優秀教育工作者，全國師德先進個人，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，“蘇教名家”培養工程培養對象。曾獲全國和江蘇省初中數學青年教師優秀課評比一等獎。）