幾何直觀，讓內(nèi)隱的概念“看得見”

尹昌濤

【摘 要】概念教學是數(shù)學教學的重要組成部分，學好概念可以為學生的數(shù)學學習打下扎實的基礎(chǔ)。在概念教學中，如能有效借助幾何直觀，則可以降低概念學習的難度，催化、強化、深化、活化整個概念教學，讓學生理解得更深刻。本文主要對幾何直觀作用價值、運用現(xiàn)狀及在概念教學中的實際運用進行了深入探討。

【關(guān)鍵詞】概念教學 理解 幾何直觀

在第一次教學蘇教版數(shù)學四年級下冊“乘法分配率”一課時，筆者課前認真研讀了教材，并充分備好了課，像一般教師一樣先創(chuàng)設(shè)情境并提問：“足球單價32元，籃球單價45元，排球單價65元，那么7個籃球和排球一共需要多少呢？”再按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉例驗證、總結(jié)規(guī)律、鞏固練習的順序進行教學。各個教學環(huán)節(jié)也比較順暢，但在課后練習作業(yè)中，很多學生把（a+b）×c模型的算式寫成a+b×c或者是（a×b）×c，與（a+b）×c模型分不清。經(jīng)過單獨指導，大部分學生都能掌握乘法分配率，但還是有四五個學生總犯這樣的錯誤。

停下腳步尋找根源，筆者發(fā)現(xiàn)：根本原因是學生“數(shù)”感薄弱，用字母表征乘法分配律體驗淺薄。在教學中，教師如果只讓學生抽象數(shù)字表征，那么學生的認知只會如外在描摹一般，產(chǎn)生機械記憶思維，影響他們對其他運算律的理解。

如果把數(shù)的概念理解構(gòu)建在直觀圖形表征上，不就直觀形象，好理解了嗎？于是筆者在教學中分解長方形面積推導過程，構(gòu)建面積公式與乘法分配律的相關(guān)性，直觀展現(xiàn)乘法分配律的算理，大長方形整體面積等于兩小長方形面積之和（見圖1）。這樣竟收到了意想不到的教學效果——學生基本不再犯上述類似的錯誤了，筆者感到很欣慰。

一、意蘊解讀：“幾何直觀”的作用及價值

從數(shù)學課程標準對幾何直觀的闡述中，我們可以清楚地認識到，幾何直觀是借助圖形來描述和幫助分析問題的一種方法或思想。而幾何直觀的作用就是可以化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，幫助我們尋求思路，提供猜想的途徑。其價值就是使教學手段更豐富和多樣化，有利于學生思維的發(fā)散和聚焦;有利于學生對問題的理解與解決;有利于學生感悟數(shù)學之美。

二、審視： “幾何直觀”在數(shù)學概念教學中的運用現(xiàn)狀剖析

數(shù)學概念的教學一般分為前期、中期、后期三個階段。筆者對全校18位數(shù)學教師使用幾何直觀在概念教學前期、中期、后期的運用情況進行了調(diào)查統(tǒng)計。為了保證調(diào)查的真實性和準確性，本次調(diào)查利用課余時間在不同的時間點進行了調(diào)查與訪談。

通過調(diào)查我們發(fā)現(xiàn)：18位教師均會在概念教學的前期運用幾何直觀，即在概念的引入中運用，但在概念教學的中期、后期，即在概念的形成和鞏固中運用較少。通過訪談了解原因：所有教師都認為借助幾何直觀很重要，但大部分教師對幾何直觀只是有一定的了解，了解不夠深入。受傳統(tǒng)“灌輸式”概念教學的影響，大部分教師只體會到幾何直觀在概念引入教學時運用的好處，而未體會到在概念形成、鞏固教學時運用也能發(fā)揮其重要的作用。

三、探尋：幾何直觀在概念教學中的實際運用

在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，概念教學大都是以教師的直接呈現(xiàn)為主，即教師直接出示概念，學生只是表面對文字意義進行理解，看不見、摸不著，使得概念教學課堂氣氛沉悶、效果不甚理想。但是幾何直觀由于其圖形的直觀效果，在課堂教學中運用，能激發(fā)學生的直觀思維，從而降低理解難度，使概念教學直觀生動、易于理解。

（一）改變概念感知方式——凸顯本質(zhì)，催化理解

概念教學重點在引入階段，結(jié)合學生的智力發(fā)展水平，以直觀呈現(xiàn)的表征方式調(diào)整概念的感知力，讓學生主動探尋對概念的深度認知，借助幾何直觀支撐表象，能催化對抽象的數(shù)學概念的理解。

例如，在教學“認識中位數(shù)”一課時，難點是理解“在極端數(shù)據(jù)中，中位數(shù)比平均數(shù)更具代表性”。在教學過程中，一般教師都是先出示學生跳繩的7組數(shù)據(jù)：107、97、105、102、100、98、196，并引導學生求出平均數(shù)，觀察、比較數(shù)據(jù)。發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不能代表學生的一般水平，教師接著會引導學生對比認識中位數(shù)的性質(zhì)。由于學生對中位數(shù)比較陌生，這種從數(shù)中抽象概念的教學形式讓學生理解起來有一定的困難，教學效果并不很明顯。因此，在教學中，筆者充分運用幾何直觀的特性，幫助學生理解“在極端數(shù)據(jù)中，中位數(shù)比平均數(shù)更具代表性”，于是將7組數(shù)據(jù)表示在統(tǒng)計圖中，分別用直線畫出平均數(shù)、中位數(shù)所在的數(shù)據(jù)，再提問：“比115多5或少5的有幾人？”（學生回答：無）“那么有幾人比102多5或少5呢？”（學生回答：6）以直觀的方式對比認識中位數(shù)與平均數(shù)的性質(zhì)與區(qū)別，凸顯了其本質(zhì)，自然而然能快速催化學生對中位數(shù)性質(zhì)的認識。

由此可見，在數(shù)學概念教學中，充分借助幾何直觀，不僅可以把概念化繁為簡，而且還利于化難為易，有助于教學重難點的突破。

（二）展現(xiàn)概念生成過程——明晰本質(zhì)，強化理解

在概念教學的前期和中期，教師可以以直觀的方式，讓學生借助幾何畫板的動畫演示功能動手操作，親身經(jīng)歷并自我展現(xiàn)概念的生成過程，這樣有利于學生對概念的深度理解和提升理解思維水平。

例如，在教學“三角形的認識”一課時，若教師只是按照課本上的定義進行教學，認識三角形的高，只是像例題一樣從一個頂點到對應邊的垂直線段，學生會認為三角形的高就在三角形內(nèi)。但如果教師結(jié)合“幾何畫板”軟件演示三角形高的變化，操作直觀演示內(nèi)部高到外部高都符合高的定義，不但可以豐富學生對高的定義認知，而且可以使學生對高的定義理解更扎實（見圖2）。

在平時的數(shù)學概念課堂教學中，對于像此類歸化型的概念，讓學生借助“幾何畫板”的動態(tài)演示直觀功能，親身體驗，既讓各個分支知識點的歸納成型形成完整概念，又有利于螺旋降低理解的難度，真正克服了負遷移，強化了學生對概念的認知。

（三）發(fā)掘概念隱含特性——觸摸本質(zhì)，深化理解

數(shù)學教學階段，有些概念帶有表面性，在概念教學后期，概念雖已形成，但學生的探知欲望并沒有得到滿足，若不及時引導，容易限制學生思維的發(fā)展。教師要充分利用幾何直觀的自身特性，發(fā)掘概念中隱含的本質(zhì)特性，直觀、淺顯地讓學生觸摸到概念的本質(zhì)，從而深化對概念的理解。

例如，筆者曾聽過一節(jié)“3的倍數(shù)特征”的展示課，課上的結(jié)構(gòu)層次分明，無論是教師問題的設(shè)計、引導，還是學生的探索、交流、討論，都很到位，到最后的運用特征鞏固練習也做得非常好，于是教師在全課總結(jié)時問道：“還有什么疑問嗎？”這時有個學生問：“到底為什么各個位數(shù)上數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除呢？”教師顯得有些無奈，其他學生也質(zhì)疑起來……其實這位教師機智一點，借助幾何直觀，完全能發(fā)掘3的倍數(shù)特征的深層原因（見圖3）。

如325能被3整除嗎？

各個位數(shù)上數(shù)的和（3+2+5）=10，不能被3整除，所以325不能被3整除。究其本質(zhì)原因，結(jié)合幾何直觀很容易就能解釋：將3個100、2個10、5個1除以3分析一下，其中3個100中的3個99都能被3整除，2個10中的2個9都能被3整除，余下3個1（相當于百位上的3）、2個1（相當于十位上的2）和個位的5的和來判斷能否被3整除，其實就相當于判斷325能否被3整除。

學生的質(zhì)疑，是學生主動求知欲望的表現(xiàn)。在本課例中，幾何直觀不但發(fā)揮了其自身突出的價值，而且讓學生感受到幾何直觀的好處，同時，問題的成功解決，也激發(fā)了學生學好數(shù)學的興趣，有利于學生思維的多元化發(fā)展。

（四）構(gòu)建概念內(nèi)在聯(lián)系——完善認知，活化理解

分析數(shù)學教學內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)，教學知識三大領(lǐng)域的概念都是呈螺旋上升的，依據(jù)各自領(lǐng)域知識的邏輯思維層次縱向教學。面對每個知識概念時，師生互動能較容易突破重難點，可是同一領(lǐng)域知識相互交織，學生會混淆不理解。這就需要我們教師在進行概念教學時，既要注重單獨概念的應用和再理解，更要注重把多個概念放一起復習，系統(tǒng)整理其內(nèi)在聯(lián)系，以促進自我認知的完善。

例如：在復習“平面圖形面積的整理與運用”一課時，教師可以引導學生說一說這些圖形的面積公式的推導過程，讓學生發(fā)現(xiàn)這些圖形的面積計算公式都是以哪個圖形的面積公式為基礎(chǔ)來推導的。若教師引導學生借助幾何直觀，以“長方形的面積”為原始數(shù)學概念，利用樹形圖構(gòu)建概念之間聯(lián)系，能起到畫龍點睛的作用（見圖4）。

數(shù)學概念之間具有很強的關(guān)聯(lián)性，從最少的幾個原始數(shù)學概念出發(fā)，利用樹形圖、集合圖、網(wǎng)絡(luò)圖等，把已有的有聯(lián)系的各個概念知識點融會貫通，再通過系統(tǒng)的復習整理它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)散到該概念知識的整個領(lǐng)域，讓數(shù)學概念能結(jié)成一張網(wǎng)。因此，充分發(fā)揮幾何直觀圖形表征功能，讓數(shù)形有機結(jié)合理解概念，既有助于學生理清概念之間的關(guān)聯(lián)性，又可以完善概念的認知，活化學生對概念的理解。

綜上所述，在小學數(shù)學概念教學中，教師要想讓學生對內(nèi)隱的概念“看得見”，要想讓學生學習概念知識更輕松，巧妙地運用幾何直觀顯然是一條捷徑。它有助于化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，提高概念教學的實效性。

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