從“簡單”到“不簡單”

卜俊

【摘 要】深度學習是相對于淺層次學習而言的，旨在克服當前教學中的膚淺化、淺層化問題。在實際教學中，由于教師容易將教學的關注點局限于基礎知識和基本技能的層面，在理解和處理教材的方式上較為簡單，導致學習過程出現淺層化。因此，教師應基于對學科知識和結構的深度理解，讓單一的表征豐富起來，讓程式化操作生動起來，讓刻板的練習靈動起來，從而幫助學生提升思維品質，真正成為學習的主人。

【關鍵詞】小學數學 深度教學 策略探微

鄭毓信教授在談到數學深度教學時指出：“數學教學必須超越具體知識和技能深入思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升。我們還應幫助學生由在教師（或書本）指導下進行學習，逐步轉變為學會學習。”依據數學深度教學的含義，我們可以看出：“深度教學”的一個重要目標就是幫助學生學會“深度學習”。

因此，數學的深度教學應當避免膚淺化、淺層化，從“簡單”到“不簡單”，引領學生經歷“圍繞具有挑戰性的學習主題，參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程”。

一、數學教學中的“簡單”現象舉隅

在實際教學中，由于教師對深度學習的理解不夠系統與深入，對深度教學的對象和教學內容也沒有清晰的認知，很容易出現對教學內容簡單處理的現象，使學生學習淺層化。

（一）單一表征：對知識的簡單化理解

概念教學是數學教學中的重要內容，對知識理解的簡單化體現在概念學習始終停留于直觀感知層面。如在蘇教版數學二年級下冊“認識線段”的教學中，教師常常會首先創設情境：把一根線拉直，讓學生指一指并說一說這段線的特征;接著電腦演示，由實物抽象出線段;最后通過豐富的活動如找一找、折一折、用尺子畫一畫、數一數等幫助學生抽象得出線段的概念。

這種教學方式遵循從感知經表象到概念這一認知順序，但是在表征方式上卻比較單一，只有實物表征。教師沒有超越直觀深入地去研究如何豐富表征以及研究表征系統內的相互作用，而這就會引發淺層學習。

（二）機械操作：對教材的簡單化處理

教材是數學知識與數學思想的濃縮精華，呈現給學生的往往都是高度概括與抽象化的靜態知識。如果教師對教材的處理比較簡單，學生獲得的也只能是靜態的知識。

如教學蘇教版數學三年級下冊“長方形和正方形的面積計算公式”時，教材中有一個探究長方形、正方形面積計算公式的操作過程。教師往往按照教材中提供的步驟進行教學：首先讓學生用1平方厘米的正方形任意拼出3個不同的長方形，并把拼成的長方形的長、寬、面積以及它所包含的小正方形的個數填在一張表里，引導學生初步體會長、寬的數量與所需小正方形的個數，以及小正方形的個數與拼成的長方形面積的關系。表面上看，學生動手操作了，但實際上學生只是按照要求拼一拼、寫一寫，并沒有進行實質性的猜想與創造。教師很顯然已經把這個操作過程看成一個靜態的“結果”進行教學，學生只是充當了數學知識結果的“搬運工”。這也是“淺層學習”的一個重要表現。

（三）“熟”能生巧：對習題設計的簡單化定位

習題是學生把知識用于生活實踐的橋梁，但是在實際教學中，教師容易偏重習題的知識功能與評價功能而輕視習題的教育功能。在這種簡單化的定位之下，教師常常會在課堂教學中設置大量的練習，認為“高強度”的操作性訓練是提高成績的有效途徑。

但是，數學學習不能等同于流水線作業，過量的操練會讓學生因為疲于完成作業而沒有時間進行梳理與反思，無法形成更高的思維與探索能力。為了“記住”結論而重復操練，會使學生感到枯燥無味、望而生畏，創造力和思維能力被遏制，學習停留在淺層次水平。

二、指向“不簡單”的數學深度教學策略

作為一線教師，當因簡單化處理帶來太多碎片化、淺表化的數學教學而感到疲憊無趣時，我們渴望能看到有深度的數學課堂。為了達成促進深度學習的數學教學，從“簡單”到“不簡單”，需要教師在理解學科知識、教材、學生、教學法知識的基礎上，對教學內容進行二度開發。

（一）指向數學知識的深刻理解：讓單一的表征豐富起來

在數學學習中，學生如果要深刻理解數學概念，可以借助多元表征來幫助豐富認識，進一步發展有關的數學素養。

例如，教學蘇教版數學一年級下冊“認識100以內的數”第一課時，教材借助“用小棒擺二十四和二十九”來幫助學生初步感知兩位數的組成（見圖1），這讓學生覺得比較簡單。一個環節結束，學生并不能體會到十進制計數法的簡潔與美妙。

因此，筆者嘗試對這部分內容進行加工：

師：我們還沒有學過二十四，你能用學具表示這個數嗎？老師給大家準備了三種學具，分別是小棒、方格條和數表，請你選擇用不同的方式試一試，并和同伴交流你的表示方法。

請同學上臺展示（見圖2）。

實物操作表征

符號表征

師：原來記數的方式可以有很多種，請小朋友們仔細觀察，這些方法有哪些相同的地方？

生：都用到了兩個計數單位，十和一，都有2個十和3個一。

師：下面，老師想請大家用學具擺一擺二十九，你能快速用多種方法表示出來嗎？想到幾種就用幾種，看誰的方法多。

（全班反饋時，讓學生看其他同學擺的結果，說說他是怎樣表示的）[圖像表征]

師：請你比較這些方法，都用到了哪兩個計數單位呀？

生：十和一。

師：怎樣很清楚地表示出幾十幾呢？

生：我們只要確定幾個十和幾個一，就能很清楚地表示出幾十幾。[語言表征]

師：你還想表示幾十幾呢？給大家15秒的時間，請你快速地試一試。[情境表征]

在這樣的多元表征與交流中，讓學生對數的概念有了深入的認識和理解，讓學生感受到用計數單位計數的合理性與優越性，有效地發展學生的數感，讓“簡單”的知識變得生動有趣、有深度。

（二）指向活動過程的深度體驗：讓程式化操作生動起來

動手操作是解決數學學科的抽象性與學生以具體形象思維為主要認知水平之間矛盾的重要手段。在實際教學中，教師不妨重新審視操作的過程，細化操作層次，通過主動的、有目的的活動，讓學生獲得全身心投入的深刻體驗，真正成為探究過程的主體。

下面以蘇教版數學一年級下冊“兩位數減兩位數（退位）”的核心問題“圍繞怎樣計算50-26展開動手操作”為例，重新梳理操作的三個層次。

1.第一層次：行為操作

行為操作，即根據經驗完成行動嘗試，如撥一撥、擺一擺、剪一剪、拼一拼等。在學生描述操作過程的時候，教師應當引導學生厘清思路，有條理、盡量保持簡潔地把過程描述清楚。具體過程如下：

教師提出操作要求：

（1）怎樣用學具表示從50枚里拿走26枚的過程呢？

（2）一人用小棒，一人用計數器，邊說邊操作。

（學生小組合作完成）

師：誰用小棒來擺一擺？

（學生上臺展示）

師：你看清楚他是怎樣操作的了嗎？為什么這樣做呢？

生：把1個十變成10個一，用10去減6。0減6不夠減，所以從十位上借。先去掉6根小棒，再去掉2捆小棒，還剩兩捆加4根小棒，所以50-26=24。

（教師結合學生反饋輔助板書，見圖3）

師：誰能在計數器上撥一撥？

（學生上臺展示）

師;你看清楚他是怎樣撥珠的了嗎？為什么這樣撥呢？

生：把1個十變成10個一，用10去減6。0減6不夠減，所以從十位上借。個位上先撥走6顆珠，十位上再撥走2顆珠，結果是24。

（教師結合學生反饋輔助板書，見圖4）

2.第二層次：表象操作

表象操作，即通過課件呈現引領回憶，根據問題幫助學生理解算理。在這一操作層次中，理解算理的核心即提煉問題，要通過引導讓學生更加聚焦核心問題。在反饋的過程中，教師要有問題引領意識與聚焦意識，避免讓學生無目的地回答。如此才能通過表象進一步強化算理，讓操作過程成為發展思維的支柱。具體過程如下：

師：50-26，個位0-6不夠減，該怎么辦呢？我們先結合小棒圖來說一說。

生：把一捆小棒拆開，變成10根小棒。先從10根小棒中去掉6根小棒，再從剩下的4捆小棒中去掉2捆，結果是24。

師：個位0-6不夠減，該怎么辦？誰能再結合計數器來說一說呢？

生：把十位上的一顆珠去掉，在個位上撥10顆珠。先在個位去掉6顆珠，再在十位上去掉2顆珠，結果是24。

師：無論是擺小棒還是撥計數器，個位0-6不夠減，我們都是怎么處理的呢？

生：退一作十。

3.第三層次：符號操作

符號操作，即根據擺小棒等操作經驗自由用符號（在本節課中指的是豎式）來記錄過程。由于符號操作其實大多數是人為的約定俗成的方式，以下（見圖5）便是中國、美國、英國三個國家對豎式的不同規定。

可以看出：退位點只是人為的約定俗成的方式，所以盡管大部分學生已經知道豎式怎么寫，但是教師在這里不能因此就簡單處理，而應使教學過程更加開放，關注學生是否理解這樣規定的道理。具體過程如下：

師：下面我們頭腦中帶上小棒或計數器，來看看豎式中是怎么列的。

（教師板書： ? ? 50

- 26 ? ?）

生：在十位上畫一個點。現在個位上就是10-6=4，十位上是4-2=2。

師：為什么要在十位上畫一個點呢？

生：提醒我們注意從十位退一當作十。

師：你的這個辦法很好。這個點叫作“退位點”，我們數學中用來表示從這一位退1。

師：其實，退位減法只是一種人為的規定，讓我們來看看其他國家在遇到豎式中需要退位是怎樣規定的。（展示美國與英國的豎式）請看懂的同學向大家介紹一下。

師：請和同桌說一說，這幾種規定有什么共同點。

生：個位不夠減，從十位退一。

（三）指向思維品質的深層培養：讓刻板的練習靈動起來

“深度教學”強調了數學教育的內在要求：我們必須超越具體知識和技能深入思維的層面，由具體的方法與策略過渡到一般性思維策略的教學與思維品質的提升。而數學習題使學生的思維活動有一定水平的目的性、方向性、確定性和辨別性，是培養學生良好思維品質的重要工具。

在設計習題時，我們應當更多地關注習題背后所蘊含的對于培養學生思維品質的價值所在。教師可以設計運用“概念”“判斷”“推理”等基本思維形式展開抽象邏輯思維的練習，讓學生經歷分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、具體化與系統化等豐富的思維過程，培養思維的深刻性。如圍繞“確定數”與“平均數”兩個概念設置判斷題：“小芳和小麗的平均體重是35千克，小芳的體重不可能超過35千克。”以此檢測學生對“確定數”與“平均數”兩個概念理解的深刻性。教師也可以通過設置可逆性習題、策略開放題、變通性習題等培養學生思維的靈活性。如設置以下逆向練習：有五筐梨，每筐質量一樣。從每筐中拿走60千克的梨，剩下的梨正好是原來兩筐的質量。每筐梨重多少千克？正向的想法是：要求每筐梨有多少千克，必須知道每筐重多少千克，也就是要先求剩下梨的質量。但是剩下的不好求，只知道拿走的梨的質量是可以求的，即60×5=300（千克）。反過來想：剩下的梨是原來兩筐的質量，那么拿走的梨便是原來三筐的質量。因此，每筐梨的質量為：300÷3=100（千克）。很多問題，順著想不易解決，反過來想想，常常很容易找到解決的方法。這道習題就能夠很好地通過培養學生思維的可逆性進而發展思維的靈活性。

教師在設計習題時不僅要關注習題的知識功能和評價功能，更要關注習題的教育功能。通過練習培養學生正確的數學觀念及良好的數學素養，形成科學的思維方法與合理的思維習慣，提高學生強烈的應用意識、創造能力以及運用數學語言進行交流的能力，從而讓學生在靈動的練習中體驗深度學習。

“杰出的教學，要求教師對學科知識和結構有深刻的理解。”為達成促進深度學習的數學教學，教師需要科學、準確地把握學科知識，對學生學習數學學科的概念障礙有深刻的認識，對與學生共同交往的有效策略有深刻的理解。之后，在理解數學知識、教材、學生、教學法的基礎上，對教學例題進行二度開發，讓單一的表征豐富起來，讓程式化的操作生動起來，讓刻板的練習靈動起來，讓學生感受到動態的、火熱的、生動的知識，從而吸引學生深度參與，真正成為學習的主人。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[2]田慧生.深度學習：走向核心素養（理論普及讀本）[M].北京：教育科學出版社，2019.

[3]鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐[J].數學教育學報，2019（5）.