數形結合 突破難點

吳曉雄

【摘 要】本文以蘇教版數學四年級下冊“乘法分配律”的教學實踐為例，圍繞“數形結合”的思想，從起因、錯題分析、教學改進前的思考、教學改進嘗試、改進實踐后的成效這幾個方面層層深入地探究教學新方法，從而突破教學難點，提高教學效率。

【關鍵詞】教學難點 數形結合 教學探索

一、緣起

某省小學生數學學業水平測試中有這樣一道題（見圖1）。

測試下來，正確率比較低。那么，筆者所在的區域學校學生的情況如何呢？筆者在一所鄉鎮學校隨機抽取了五年級的一個班級的學生用這道題進行了測試，結果統計如下（見圖2）。

測試班應測41人，實測41人，選項選A的有9人，選B的有3人，選C的有10人，選D的有19人。

二、錯題分析

此題的正確選項應選D，從測試結果情況來看，筆者覺得有點出乎意料，因為蘇教版數學教材把“乘法分配律”這個內容安排在四年級下冊進行教學，而這個測試是安排在四年級下冊期末復習時進行的，按理說，學生剛學過，而且也復習整理過，不應該只有46.3%的正確率，但事實擺在眼前，那么，是什么原因造成如此低下的正確率？筆者個別訪談了幾位五年級的任課教師，他們普遍認為，“乘法分配律”比較難教。那么，乘法分配律到底“難”在哪兒？

（一）形式復雜

概括敘述乘法結合律比較容易，但敘述乘法分配律就比較難。我們不妨把乘法結合律與乘法分配律的文字表述與字母公式進行比較（見表1）。

我們可以看出，乘法結合律是只有乘法的一種運算定律，書寫形式相對比較簡單，概念的敘述比較清晰，而乘法分配律是含有乘法和加法兩種混合運算的運算律，等式中既有加法計算，又有乘法計算，而且等式左右兩邊的數字不完全相同（等式左邊有三個數字，等式右邊有四個數字），表達的形式也不對稱（等式左邊有小括號，等式右邊沒有小括號;等式左邊只有一個乘號，等式右邊有兩個乘號），教材安排的教學過程是“解決一個實際問題—看到一個數學現象—舉出更多例子—在眾多案例中抽象概括”，要求學生根據給出的三個等式抽象概括出乘法分配律的規律確實有點勉為其難。

（二）應用靈活

乘法分配律是所有運算律中應用相對比較廣泛的運算律，而且形式多樣，應用非常靈活，特別是它的隱蔽性特別強，變式又特別多，導致學生在運用乘法分配律的規律進行計算時往往漏洞百出。下面是學生在實際應用時出現的幾種常見的錯誤。

（1）405×16=405×10+6

錯因分析：乘法分配律理解不透，沒有掌握“分別相乘”的本質。

（2）405×（2×8）=405×2+405×8

錯因分析：乘法分配律理解模糊，與乘法結合律混淆。

（3）405×16=400×10+5×6

錯因分析：乘法分配律理解不深刻，憑感覺拆分計算。

……

從以上實例，我們可以看出，學生學習乘法分配律在客觀上存在著很大的認知困難，乘法分配律一直以來也被公認為是一個學習難點。另外，筆者在與一些任課教師的交流中發現，大家也都認為，乘法分配律是學生在學習了乘法交換律、結合律之后再一次深入地認識運算律。與乘法交換律、結合律相比，乘法分配律的形式復雜、算理抽象、變式多樣，由于學生沒有生活經驗基礎及相關認識，他們沒能真正理解其內涵，只是純粹地模仿。課后，學生對這個知識點的遺忘速度非常快，且不會靈活運用。數學基礎薄弱的學生，哪怕硬記了分配律的各種類型，依舊會邊記邊忘，更談不上從真正意義上去理解。但是，教師苦于想不出好的教學方法去幫助學生理解乘法分配律的內涵。

三、教學改進前的思考

通過對教材、學生學情前測和教師訪談的分析，筆者認為，學生只是機械地記住了乘法分配律的形式，而沒有很好地理解乘法分配律的意義的根本原因是學生在理解意義時缺少一個載體，這讓筆者想到“數形結合”的思想。數學家華羅庚先生曾說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”如果教師在教學時能輔之以直觀的圖形模型來幫助理解，從模型的角度組織教學，可以更加凸顯“抽象—推理—建模”的數學思想，效果肯定會更好。

基于以上考慮，筆者在教學設計時，以“有一條邊相等的兩個長方形面積之和”的素材為教學載體，試圖讓學生經歷具體問題、類比推理、建立模型、解釋模型的過程，充分感受數學模型的思想;在后續的拓展中再不斷賦予模型“生長”的力量，讓乘法分配律的模型既源于圖形，又高于圖形，使學生對乘法分配律意義的理解更深刻、更豐滿。

四、教學改進嘗試

（一）談話引入

（課件出示長方形圖）

師：同學們，這是什么圖形？你會求長方形的面積嗎？（長×寬）還可以怎樣求？（寬×長）。

（二）感受模型

師出示王大爺的菜地圖（見圖3）。

（1）王大爺種了哪兩塊菜地？它們的長和寬各是多少？

（2）你能提出有關面積計算的問題嗎？我們先來研究兩塊菜地的總面積。

（3）請你列綜合算式計算兩塊地的總面積。學生練習，教師巡視。

（4）交流算法[學生可能提出6×9+2×9和（6+2）×9]，師板書算式，說說你這種算法是先求什么，再求什么。多媒體動畫演示合起來算的思路。

（5）比較得數，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9。

（6）小結：通過計算王大爺的菜地面積，我們得到了一個等式，等式的左邊是 ，等式的右邊是 。

（7）觀察這個等式，你有什么發現？

【分析】由于兩個長方形有一條邊的長度是相等的，兩個長方形能直接拼成一個大長方形，學生計算面積之和時分開計算與合起來計算的思路很容易形成，在建立等式的同時將分與合的兩種思路建立起了必然的聯系。由此，抽象的算式有了直觀的形象支撐，變得生動起來，算式的結構特征也就一目了然，理解也就輕松容易多了。

（三）建立模型

1.自建模型

師：老師這里有這樣兩個長方形，它們的總面積是這樣計算的。

課件出示：兩個長方形的總面積為（6+4）×3。

師：你能根據這個算式畫出這兩個長方形嗎？

學生通過媒體展示交流，主要展示了兩種畫法：一種是兩個長方形分開畫，另一種是兩個長方形合起來畫。

師：這兩種畫法有什么不同？

師：你還能想到哪一個和它相等的算式？你是怎么知道這個算式是和它相等的？

師板書：（6+4）×3=6×3+4×3。

師（小結）：根據算式畫長方形，我們又得到了一個等式，等式的左邊是 ，等式的右邊是 。

師：觀察一下這個等式，你還有哪些發現？

【分析】從算式回歸圖形讓學生將具有“分”與“合”特征的算式“想象”成兩個具有相同長度的邊的長方形，緊接著引導學生嘗試建立“圖形模型”。

2.驗證說明

師：上面的兩組算式左右都相等嗎？左右兩邊的數有什么聯系？猜一猜，有這樣特點的等式還有哪些？你也能舉出這樣的例子嗎？請把你的例子寫下來。

【教師通過提出猜想，把集合圈放大，將“模型”推廣，以此來檢測它的普適性。】

學生在練習紙上舉例、驗證。

師：交流并板書一個學生的例子。

師（小結）：有這樣特點的算式還有很多。

【分析】體驗是最好的論證方法。學生通過“模型”的自主應用，發現了它的適用性，這使學生對腦海中乘法分配律“模型”的建立增強了“理解度”。

3.抽象概括

師：觀察這三個等式，它們有哪些相同的地方？把你的想法跟你的同桌交流一下。

師（小結）：兩個數的和與一個數相乘，等于把這兩個數分別與這個數相乘，再把所得的積相加。

【分析】由形到數再到文字表述，步步深入，從語言的描述中可以看出學生是否真正理解了“模型”。

師：剛才大家用文字敘述這個運算規律是不是有點麻煩，能不能跟乘法交換律一樣借助字母用一個式子就能表示出來？師板書：a ?b ?c

（a+b）×c=a×c+b×c

師（追問）：這個字母公式左邊表示什么？右邊呢？

師：跟剛才的文字比，感覺怎么樣？

師（小結）：字母符號是數學的特殊語言，用它來表示發現的運算規律就顯得簡潔明了。

師（揭示課題）：同學們發現的這個運算規律，在數學上叫作乘法分配律。

師板書課題：乘法分配律。

師（追問）：你怎么理解“分配”兩個字的含義？

師板書箭頭←，←。

【用兩個箭頭來表示分別，體現乘法分配律最本質的變化特征“分別去乘”，這時，學生大腦中已有了乘法分配律的雛形。】

4.解釋模型

師：我們借助計算長方形的面積和發現了乘法分配律，那么，這個字母運算規律（a+b）×c=a×c+b×c能不能看成是兩個長方形的面積之和呢？

課件出示圖形（見圖4）。

師：如果它是甲、乙兩個長方形的面積之和，那a、b、c分別是圖中哪幾條些邊的長度？（媒體演示）

師：a與b的位置可以交換嗎？為什么？

【根據字母等式來聯想圖形、在圖形中解釋模型，如此循環，可以把學生的認識推向深入。】

（四）應用模型

1.填一填

請你在□里填上合適的數，在○里填上合適的運算符號。

（42+35）×2=42×□+35×□（為什么右邊的算式出現了兩個2）

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□○（□+□）（這個乘法分配律跟我們剛才學的有什么不一樣）

72×（30+6） =□○□○□○□（說說你是運用什么運算規律來想的）

2.想一想：算式聯想

（1）64×8+8×36

（2）86×（30+1）（錯誤假象，“×1”可省略不寫嗎）

（3）（50+b）×c

（4）50×40+30×40+20×40（你是怎樣想的？在這里你又有什么發現？乘法分配律對于小括號里是三個數的和同樣適用）

【離開了直觀圖形，進行算式的聯想，是對乘法分配律理解的檢測，也是一種更高水平的數學思考。】

3.試一試：豐富拓展

師：我們借助了兩個長方形面積和的計算發現了乘法分配律，那么，像（65+45）×5=65×5+45×5這樣的等式是不是就一定表示兩個長方形的面積之和呢？還能表示其他的事情嗎？請把等式中的數填到下面的括號里：

一件上衣（ ? ）元，一條褲子（ ? ）元，買（ ? ）件上衣和（ ? ）條褲子一共要付多少元？

學生完成后，交流填寫的數據，再試著用生活中的其他事情來解釋。

師（小結）：乘法分配律的算式不是只能用長方形的面積和來解釋，還能用生活中的其他事情來解釋。

【分析】數學中的“模型”，是普遍適用性和豐富多樣性的統一。此處安排的“解釋”環節，把學生的思維引向更廣闊的天地，讓學生充分感受到數學的豐富和簡約。

（五）回望解讀

師：其實，我們今天并不是第一次接觸乘法分配律，在以前的學習中我們已經接觸過。

師出示長方形周長的計算（見圖5）。

師：在這里，你找到了我們今天學的乘法分配律的影子了嗎？

師出示等式：28×2+15×2=（28+15）×2。

師：在下面的乘法豎式計算中，你也能找到乘法分配律的影子嗎？

【分析】長方形的周長計算和計算兩位數乘兩位數等內容是學生已經熟練掌握的知識。通過這樣的回顧和比較，學生恍然大悟，對乘法分配律又有了幾分親切感。

（六）發散聯想

師出示課始王大爺的菜地圖。

師：怎樣計算青菜地比蘿卜地多多少平方米？你又發現了什么？（兩個數的差與一個數相乘的運算規律）如果用字母表示，可以怎么寫？

【分析】通過聯想，乘法分配律在學生眼中變得立體和豐滿了起來。

五、改進實踐后成效

新授課結束，為了檢驗課堂改進后的教學效果，筆者對學生進行了后測，后測內容為教材內容（見圖6）。

后測結果匯總（參與后測總人數為42人）見表2。

后測結果分析：絕大部分學生都能正確解答這8道題，說明乘法分配律模型的建構相當成功，學生能較靈活運用，不再出現結構上“丟三落四”和“畫蛇添足”的現象。認真分析教材，合情合理地根據學生學習的起點建構乘法分配律的知識，通過“數”與“形”的有機結合，由表及里，層層遞進，這樣的教學過程有利于學生對乘法分配律知識的有效建構，尤其是使學生對乘法分配律模型的理解更為深入，從而突破這個教學難點，可以大大減少練習中出現的一些典型錯誤。但是，由于乘法分配律的變式對學生來說，在理解上還是有一定難度的，這個問題是不可能在新授課結束后馬上能解決的。后續教師還是要讓學生通過一定量的對比練習、綜合練習、拓展練習，才能使學生達到知識與技能的鞏固。