以“畫”促“化”

吳華平

摘要：畫圖是運用圖形的重要方式之一，可以把抽象的語義表征轉化為形象的圖形表征，幫助學生對已學的概念進行分類、整理和內化，進而理解概念的本質。《趣HUA集合圖》一課，利用圖示（集合圖）的方法來表達數學知識之間的本質聯系，可以使隱性的知識外顯化、可視化，便于學生思考、理解和表達。課堂教學中，學生通過動手“畫圖”，并有條理地“話圖”，最終實現了認知的“數學化”。

關鍵詞：畫圖；幾何直觀；集合圖；數學化；小學數學

一、教學意圖與目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“幾何直觀”作為十大核心詞之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》依然將“幾何直觀”列為數學核心素養的主要表現之一，提倡運用圖形描述和分析問題。畫圖是運用圖形的重要方式之一，可以把抽象的語義表征轉化為形象的圖形表征，幫助學生對已學的概念進行分類、整理和內化，進而理解概念的本質。對此，我們開展了“趣HUA數學”的研究與實踐，并自編了系列學材。《趣HUA集合圖》就是其中的一課。

本節課的教學安排在五年級學生學習了方程、等式、質數、因數、倍數等諸多概念之后。數學概念之間的關系比較復雜，有的是交叉關系，有的是并列關系，還有的是包含關系，這些對于小學生而言顯然比較抽象，難以理解與掌握。這也導致學生在判斷“一個數不是質數就是合數”“一個算式不是方程就是等式”等問題時，錯誤率總是很高。而如果利用圖示（集合圖）的方法來表達數學知識之間的本質聯系，則可以使隱性的知識顯性化、可視化，便于學生思考、理解和表達。

本節課的教學目標如下：在具體情境中，親歷集合圖的產生過程，會畫圖表示兩個量之間的關系；能理解集合圖每一部分的含義，用自己的語言描述兩個量之間的關系，并能解決生活中稍復雜的實際問題；能在概念的整理應用中，不斷溝通概念之間的聯系，初步體會集合圖的價值和模型思想。

二、教學過程與說明

（一）喚醒經驗，體驗一個量的表示方式

師五（1）班參加跑步的有6人，如何簡潔地表示這個量？

生（展示畫法，如圖1所示）可以畫一條線段圖來表示。

生（展示畫法，如圖2所示）可以畫一個圓圈來表示。

師兩種表示方法都很直觀、簡潔。你是怎么想到用圓圈表示的呢？

生前面的學習中，我發現數學書上常常用一個圓把一些物體圈起來。

師的確，（出示圖3）數學上我們通常用一個圈來表示一個整體。

［說明：五年級學生在過去的學習中，已經接觸了一些有關集合的知識。比如，認識11—20各數時，把10根小棒捆成一捆，再圈一圈，這10根小棒就是一個整體，這樣圈可以看得更清楚。再如，認識分數時，把一些物體圈起來表示一個整體并平均分。基于學生已有的學習經驗，課始創設一個簡單的情境，讓學生用簡潔的方法表示一個量，感受一個指定的對象集中在一起就是集合，使后續的學習有了生長點。］

（二）趣HUA集合圖，促進學生思考

1.“畫”集合圖，讓思維可視

師五（1）班的體育社團中，參加跑步的有6人，參加跳遠的有5人。學校打算給他們每人準備一套運動服，一共要買幾套？

生11套，6加5等于11。

師一定是11套嗎？想一想，說一說。

生有可能比11套少。

師小于11套是什么情況呢？

生可能有同學兩個項目都參加了。

師看似簡單的“一共要買幾套運動服”的數學問題，實則并不簡單。能不能把你們的想法畫出來，讓大家一目了然呢？

（學生畫圖。）

師（展示學生畫法，如圖4所示）能說說這個圖表示什么意思嗎？

生2個圓分開擺放，表示跑步的同學中沒有參加跳遠的，跳遠的同學中也沒有參加跑步的，所以用算式表示為6+5=11（人）。

師真好！看著畫好的圖，我們一眼就能發現它們之間的關系，從而算出一共要買多少套運動服。（展示學生畫法，如圖5—圖7所示）這里還有3位同學的作品，誰能看懂這些圖的意思？

生前兩幅圖表示的都是有2人既參加了跑步又參加了跳遠，只是一個用的是線段圖，一個用的是長方形。

生我覺得長方形這個圖看得清楚一些，重復的2個人只畫了一次。

生第三幅圖表示的是有1個人重復了，他把兩個圓交叉起來，左邊的圓表示跑步的共有6人，右邊的圓表示跳遠的共有5人，中間交叉部分就是那個既參加跑步又參加跳遠的1人，所以有5+6-1=10（人）。

生為什么要減1呢？

生因為那1個人被重復加了，所以要減掉。

生第三幅圖，看上去跑步的好像有7人，跳遠的好像有6人，容易產生誤解，我覺得不太好。

師（出示圖8）老師也帶來了一幅圖，誰能看懂這幅圖的意思？

生左邊的“3”表示只參加跑步的人數，右邊的“2”表示只參加跳遠的人數，中間的“3”表示既參加跑步又參加跳遠的人數。圖讓我們一下子看清了較復雜的數量之間的關系。

生我還能對著圖說出兩道算式的意思呢。3+3+2=8，是把三部分的人數合并起來；6+5-3=8，是先把兩個圈里的人數加起來，再去掉重復的3個人。

師說得真好！大家想一想，重復的可能會有幾人？

生1人、2人、3人、4人、5人。

生不可能出現中間重復的有5人。

生我認為重復的有可能是5人。大家看，（展示畫法，如下頁圖9所示）我是這樣畫的。

生（展示畫法，如圖10所示）我也覺得有可能是5人。

生這兩幅圖，一個是用點表示人數，一個是用數表示人數，它們表達的意思是一樣的。

生從這兩幅圖中，我看出跳遠的那5個人同時都參加了跑步，最右邊的空白部分其實一個人也沒有。

師那我們能不能讓這個圖表示得更清楚一點呢？跟同桌商量商量。

（學生同桌討論。）

師（出示圖11）這個圖是不是比剛才更清楚了？你讀懂了什么？

生當兩個圈重合得越來越多時，跳遠的小圈里的人就慢慢全跑到跑步的大圈里去了。這時表示跳遠的5人都參加了跑步。

生外面的大圈表示參加跑步的有6人，里面的小圈表示兩項都參加的有5人，也就有1人只參加了跑步。

［說明：對于小學生來說，上述有重疊關系的問題比較抽象。讓學生畫圖表示兩種量的不同情況，旨在幫助他們借助圖形直觀理解數量之間的關系，讓思維可見，從而化難為易。隨著兩個圓的位置關系不斷變化，兩種量的關系由并列到交叉直至包含，學生的思維越來越全面。畫圖是解決問題的一種工具，學生在畫的過程中也在觀察、比較、分析，不斷地體驗、感悟、調整，進而能更準確地表示兩個量之間的關系，讓思維變得更嚴謹。］

2.“話”集合圖，讓表達有條理

師剛才我們通過畫一畫、說一說，解決了買運動服的問題。（出示圖12）老師這兒還有一幅圖，你能對著圖講一個生活中的數學問題嗎？

生在六一節班級聯歡會上，唱歌的有10人，跳舞的有8人，兩項都參加的有3人。

師這不是問題。你能提出一個數學問題并解決嗎？

生一共有多少人參加表演？10+8-3=15（人）。

生只參加唱歌的有幾人？10-3=7（人）。只參加跳舞的有幾人？8-3=5（人）。

生郊游時，帶飲料的有10人，帶水果的有8人，兩樣都帶的有3人。

……

師看，同樣的圖，同樣的數據，我們能講出這么多不同的故事，但不同的故事反映的是同樣的數量關系。（出示圖13）這兒還有一幅圖，你也能講個故事嗎？

生樂器社團中，會吹笛子的有18人，既會拉二胡又會吹笛子的有10人。

師你也能提出一個數學問題嗎？

生只會吹笛子的有幾人？

生只會吹笛子的有8人，18-10=8（人）。

生五（1）班喜歡看動畫片的有18人，既喜歡看動畫片又喜歡看科幻片的有10人。“18-10”就是只喜歡看動畫片的人數。

……

［說明：語言是思維的外殼，想得清楚才能說得明白。讓學生看集合圖創編實際問題并自主分析解決，可以以畫促思，以思促話。同樣的圖編出不同的故事，實現了由一到多，培養了學生有條理表達的能力和思維的靈活性。］

3.“化”集合圖，讓認知結構化

師（出示圖14—圖17）這些是部分教材中曾經出現的集合圖，請說說這些圖表示的意義。

（學生交流。）

師生活中我們常常用這樣的集合圖表示兩個量之間的相互關系。（指圖16）比如剛剛看的這一幅圖，我們可以用它來表示等式和方程的關系。你還想到用這樣的圖來表示什么？

生我想用它來表示三角形和直角三角形的關系。

生我想用它來表示長方形和正方形的關系。

……

（學生繼續說哪些概念之間的關系也可以用圖14、圖15、圖17這樣的圖來表示。）

師看來集合圖在我們的學習中隨處可見，它能直觀地表示出兩個量甚至是多個量之間的關系。

［說明：前面的“畫”“話”，最終是為了更高層次的“化”做鋪墊。這里的“化”，主要指數學化。教學中，再現學生曾經見過的集合圖，引導他們思考還有哪些概念之間的關系也能用同樣的圖來表示，溝通知識之間的聯系，凸顯知識的本質，完成縱向數學化，培養思維的深刻性。］

（三）應用集合圖，促進深度理解

師用集合圖表示下列題中數或式之間的關系，并和同桌說一說。

（1）①2的倍數：2、4、6……；②3的倍數：3、6、9……。

（2）2、3、4、7、9、11、12。

（3）①5+3=8；②x+3=28；③15-A=24；④27÷3=9；⑤16×4=64；⑥ △-9=122。

生第（1）題，我們可以畫兩個交叉的圈，因為2和3有公共的倍數。

生第（2）題，我把這幾個數分成了奇數和偶數。

師那該畫一個什么樣的集合圖表示它們的關系？

生畫兩個分開的圈，因為一個數是奇數就不可能是偶數。

生我把他們分成了質數和合數，畫的圖也是分開的兩個圈，因為是質數就不可能是合數。

生第（3）題這些等式中的②③⑥都是方程，可以畫一個大圈套一個小圈，因為所有的方程都是等式。

［說明：練習設計是在學生學過了方程、等式、倍數、奇數和偶數等多個概念以后，作為單元整體建構的延伸，試圖讓學生在應用中不斷溝通概念之間的相互聯系，再次體驗集合思想，培養思維的創造性。其中，第（2）題具有一定的開放性。］

（四）回顧與反思

師同學們，今天我們是怎樣解決問題的？

生我們通過畫圖、討論、聯想解決了一些實際問題。

師當我們解題有困難的時候，可以畫一畫；進行知識的歸類整理時，也可以畫一畫……借助HUA圖，我們能想得更清楚、說得更明白、理解得更深刻。

［說明：通過回顧與反思，幫助學生積累活動經驗，引導學生進一步體會畫圖策略的意義與價值，做好學習方法的儲備。］

本節課通過生活中常見的重復問題，制造認知沖突，引發學生畫圖的需要。讓學生把抽象的關系通過圖示表征出來，使學生的思維外顯化、可視化；讓學生用自己的語言去描述圖意，力求讓學生的表達更加條理化；借助集合圖，將前面所學的概念加以辨析、分類與整理，讓學生的認知結構化，理解更加深刻。此外，本節課通過同樣的圖讓學生聯想不同事物之間的相同關系，培養了學生的發散思維；再讓學生把不同事物之間的相同關系用本質相同的圖表示，培養了學生的模型意識。課堂中，學生有創意地“畫”，有個性地“話”，有深度地“化”——通過動手“畫圖”，并有條理地“話圖”，最終實現認知的“數學化”。